Контрольная работа по "Финансовой математике"

 

Задача  №1.

Кредит  в размере Ко=2000 у.е. был выдан в момент времени tо=1.01.1999 г. на срок Т = 2 года под р=15% процентов годовых и должен быть погашен частями актуарным способом. Поступили следующие платежи: в момент времени t1=01.08.1999 г. – в объеме R1=150 у.е., t2=01.01.2000 г. – в объеме R2=800 у.е., t3=01.06.2000 г. – в объеме R3=500 у.е. Определить остаток долга на конец срока.

 

Исходные данные:

К_о = 2000 R₁= 150

t_o = 01.01.99 t₂ = 01.01.00

Т = 2 R₂ = 800

р = 15% t₃ = 01.06.00

t₁= 01.08.99 R₃ = 500

 

Решение:

На 1 января 1999 г. долг 2000 д.е.

На 1 августа 1999 г. долг с процентами: 2000 + 175 = 2175 д.е.

It = Ко х р х t = 2000 * 0,15 * 7/12 = 175 д.е.

Поступление: 150 < 175, значит, разница  не идет на погашение основной суммы  долга.

На 1 января 2000 г.:

Сумма долга: 2175 д.е.

Проценты: I_t = К_о * р * t = 2000 * 0,15 * 12 /12 = 300 д.е.

Основная сумма долга на 1 января 2000 составляет (2000 + 300) = 2300.

Поступление: (150 + 800) > (300), значит, разница  идет на погашение основной суммы  долга:

2300-950 = 1350 - остаток на 1 января 2000 г.

На 1 июня 2000 г.: долг: 1350 д.е.

Проценты: I_t = Ко * р * t = 1350 * 0,15 * 5 /12 = 84 д.е.

Сумма долга с процентами: 1350 + 84 = 1434 д.е.

Поступление: 500 д.е. > 84 д.е., значит, разница  идет на погашение основной суммы  долга.

1434 - 500 = 934 д.е. - остаток на 1 июня 2000 г.

1 января 2001 г. (по прошествии двух лет): долг с процентами: 934 + 82 = 1016

I_t = K_o*p*t = 934 x 0,15 х 7/12 = 82 д.е.

 1016 - остаток на 1 января 2001 г.

Ответ:

Долг к концу срока составит 1016 д.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача  №2.

Какую номинальную стоимость  должен вписать кредитор в вексель, выданный ему на n = 150 дней при учетной ставке q = 19% годовых, если заемщик просит в долг сумму К_о= 70 000 ден.ед.

 

Исходные данные:

Ко = 70000 

n = 150

q = 19%

Решение: 

K_t =K₀ *1/(1-t*q)

t =n/K

K=365

K_t=K₀*1/(1-(N/K)*Q)=70000*1/(1*(150/365)*0.19=75928.70

Ответ:

Номинальная стоимость составляет 75928,7 ден. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача  №3.

Кредит  в Ко= 18 000 ден. ед. был предоставлен на n = 0,5 года при ежемесячных капитализациях и был погашен суммой в S =20 000 ден.ед. Найти годовые сложные проценты ставки кредита р и q.

 

Исходные данные:

Ко = 18000

n = 0,5

S =20000

Решение:

 

S₁=K₀*(1+p/m)^m*n, отсюда:

(1+p/m)^m*n=S₁/K₀=20000/18000=1,11

(1+p/m)= ^0.5*12=1,018

p/m=1,018-1=0,018

p=0,018*12=0,216 (21,6%)

 

K₀=S₁*(1-q/m)^n*m

18000=20000*(1-q/12)^0,5*12

(1-q/12)⁶=18000/20000=0,9

=(1-q/12)

1-0,9826=q/12

q=0,0174*12=0,2088 (20,88%)

Ответ:

p = 21,6%,

 q = 20,88%

 

 

 

 

 

 

Задача №4.

Постоянная  рента (аннуитет) имеет параметры: Т=1/4 – период ренты, n = 1 год – длительность контракта, p = 15 % - простая процентная ставка, a = 1000 сумма платежа. Найти накопленную сумму по схеме пренумерандо и постонумерандо.

 

Исходные данные:

T =1/4 

р =15%

n = 1

a = 1000

Решение:

N=1*4=4

 

Пренумерандо:

 

Kpre =a*N(l+(p*T(n+l)/2)) = 1000*4 (1+((0,15*0,25*2)/2)) = 4000*1,0375 = 4150 д.е.

Постнумерандо:

 

K post =a*N(l+(p*T(n-l)/2)) = 1000*4 (1+((0,15*0,25)/2)) = 4000*1,01875=4075 д.е.

 

Ответ: 4150 ден.ед. и 4075 ден. ед.

 

 

 

 

 

 

Задача  №5.

Кредит  в размере D =100 000 ден.ед., выданный на n = 1/4 год под p = 20 % годовых, погашается равными частями m = 12  раз в год. Определить величину каждой выплаты Rк, к=1.

Исходные данные:

D =100000 n =1/4

Р =20 m =12

Решение:

 

Количество платежей: N=16

Выплата :    b = K / N

K-кредит, ден.ед. 
N-количество платежей

b1 = 100000 / 16 = 6250 ден.ед.                                                                              b2 = 93750 / 16 = 5859,38 ден.ед.

b3 = 87500 / 16 = 5468,75 ден.ед.

b4 = 81250 / 16 = 5078,13 ден.ед.

b5 = 75000/ 16 = 4687,50 ден.ед.

b6 = 68750 / 16 = 4296,88 ден.ед.

b7 = 62500 / 16 = 3906,25 ден.ед.

b8 = 56250/ 16 = 3515,63 ден.ед.

b9 = 50000 / 16 = 3125 ден.ед. 
b10 =43750 / 16 = 2734,38  ден.ед. 
b11=37500/ 16 =  2343,75 ден.ед. 
b12= 31250 / 16 = 1953,13 ден.ед. 
b13=25000 / 16 = 1562,50 ден.ед.

b14= 18750 / 16 = 1171,88 ден.ед.

b15= 12500 / 16 = 781,25 ден.ед.

b16= 6250 / 16 = 390,63 ден.ед.

Платёжный %: 
I = b * р * (N + 1 - к ) 100 * m

 
I = b *     р       * (N + 1 -  к )         100 * m

I1 = 6250 *(     20     ) * ( 16+ 1 – 1) =1666,67 ден. ед.

               ( 100*12 )

I2= 5859,38 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 1562,50 ден. ед.

                    ( 100*12 )

I3 = 5468,75 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 1458,33 ден. ед.

                 ( 100*12)

I4 = 5078,13 * (     20     ) * ( 16+ 1 – 1) = 1354,16 ден. ед.

                     ( 100*12 )

I5 = 4687,50 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 1250 ден. ед.

                 ( 100*12 )

I6 = 4296,88 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 1145,83 ден. ед.

                      ( 100*12 )

I7 = 3906,25 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 1041,66 ден. ед.

                 ( 100*12 )

I8 = 3515,63 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 937,50 ден. ед.

                    ( 100*12 )

I9 = 3125 *(     20     ) * ( 16+ 1 – 1) =833,33 ден. ед.

               ( 100*12 )

I10= 2734,38  * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 729,17 ден. ед.

                    ( 100*12 )

I11 = 2343,75 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 625 ден. ед.

                 ( 100*12)

I12 = 1953,13 * (     20     ) * ( 16+ 1 – 1) = 520,83 ден. ед.

                     ( 100*12 )

I13 = 1562,50 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 416,67 ден. ед.

                 ( 100*12 )

I14 = 1171,88 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 312,50 ден. ед.

                      ( 100*12 )

I15 = 781,25 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 208,33 ден. ед.

                 ( 100*12 )

I16 = 390,63 * (     20     ) * ( 16 + 1 – 1) = 104,17 ден. ед.

                    ( 100*12 )

 

Формула для k очередного платежа :

R= K/N * (1+p/m*(N+1-k)) 
 
Выплата + платёжный % 
 

R1 = 6250 + 1666,67  = 7916,67 ден.ед.                   R2 = 6250 + 1562,50  = 7812,50 ден.ед.                        R3 = 6250 +1458,33 = 7708,33 ден.ед.                                 R4 = 6250 + 1354,16 = 7604,16 ден.ед.                                                      R5 =6250 + 1250 = 7500 ден.ед.                                            R6 = 6250 + 1145,83 = 7395,83 ден.ед.                                                 R7 = 6250 + 1041,66 = 7291,66 ден.ед.                                                            R8 = 6250 + 937,50 = 7187,50 ден.ед.

R9 = 6250 + 833,33 = 7083,33 ден.ед.                   R10 = 6250 + 729,17 = 6979,17 ден.ед.                        R11 = 6250+ 625= 6875 ден.ед.                                 R12 = 6250 + 520,83 = 6770,83  ден.ед.                                                      R13 =6250 + 416,67 = 6666,67 ден.ед.                                            R14 = 6250 + 312,50 = 6562,50 ден.ед.                                                 R15 = 6250 + 208,33 = 6458,33 ден.ед.                                                            R16 = 6250 + 104,17 = 6354,17 ден.ед.                 

 

 

S = K – a

остаточная сумма: 
b1 = 100000 - 6250 = 93750 ден.ед.                                                                              b2 = 93750 - 6250 = 87500 ден.ед.

b3 = 87500 - 6250 = 81250 ден.ед.

b4 = 81250 - 6250 = 75000 ден.ед.

b5 = 75000- 6250 = 68750 ден.ед.

b6 = 68750 - 6250 = 62500 ден.ед.

b7 = 62500 - 6250 = 56250 ден.ед.

b8 = 56250- 6250 = 50000 ден.ед.

b9 = 50000 - 6250 =43750  ден.ед. 
b10 =43750 - 6250 = 37500  ден.ед. 
b11=37500 - 6250 =  31250 ден.ед. 
b12= 31250 - 6250 = 25000 ден.ед. 
b13=25000 - 6250 = 18750 ден.ед.

b14= 18750 - 6250 = 12500 ден.ед.

b15= 12500 - 6250 = 6250 ден.ед.

b16= 6250 - 6250 = 0 ден.ед.

 

 

                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы:

1. Рожков Ю.С. Финансовая математика: Методические указания и задания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения. - СПб.: Инжэкон, 2002. - 28 с.
2. Четыркин Е.М., Финансовая математика: Учебник. - М.: «Дело», 2004. -400 с.
3. Белобродский А.В., Гриценко М.А. Поиск решений с Excel 2000: Руководство по решению экстремальных задач в экономике. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. - 76 с.