Курсовая по моделированию социально-экономических систем

Статистический анализ данных

Первый этап – анализ данных выборки.

Цель этого анализа – получение  подтверждения гипотезы о репрезентативности данных выборки.

Анализ данных по выборкам состоит  из следующих процедур:

• определение значений моды и медианы выборок, а также их минимальных и максимальных значений элементов;
• определение стандартных среднеквадратических отклонений каждой из выборок и
• определение дисперсий выборок;
• Z – тестирование выборок.

Числовые значения моды, медианы, минимума и максимума дают общие представления относительно структуры выборки:

• минимальное и максимальное значения не требуют специальных пояснений;
• медиана определяет середину выборки, т.е. указывает такое значение элемента в выборке, для которого половина оставшихся значений элементов не превосходит его, а вторая половина элементов выборки по своему значению больше его.

Z – тестирование выборки применяется для получения стандартной оценки каждого элемента выборки. Стандартные оценки позволяют проверить (оценить) принадлежность рассматриваемых наблюдений конкретной генеральной совокупности. При применении Z – тестирования априорно устанавливается правило оценки репрезентативности выборки, например, выборка считается репрезентативной, если в выборке не более 10% данных должны иметь вероятностные оценки менее 0,7 согласно Z – тесту.

Если приведенное правило не выполняется, то выборку считают  не представительной и соответственно дальнейший анализ проводить с такими данными нецелесообразно.

Второй этап – корреляционный анализ данных.

На этом этапе осуществляется парное сравнение выборки результирующего  показателя с выборками показателей, которые согласно теоретической  модели рассматриваются как факторные, а также проверяется степень  коррелируемости факторных показателей.

Для этих целей рассчитываются коэффициенты парной корреляции, которые изменяются от -1 до 1. Чем ближе значение коэффициента корреляции к указанным значениям, тем выше степень коррелируемости  соответствующих случайных величин.

Знак коэффициента парной корреляции указывает на характер взаимосвязи  случайных величин: «+» - прямая зависимость; «-» - обратная зависимость.

Аналогично поступают с факторными показателями, для которых коэффициенты корреляции очень близки к нулю. Их исключают из дальнейшего рассмотрения исходя из того, что соответствующие случайные величины слабо коррелируемы и, следовательно, в качестве факторных не могут быть использованы.

Для оценки тесноты связи между  двумя выборками как множествами  данных рассчитывают коэффициенты ковариации, на основе значений которых делается вывод о том, насколько сильно влияние того или иного факторного показателя на результирующий.

И в заключении рассчитывают безразмерные коэффициенты Пирсона, на основе которых  оценивается степень линейной зависимости между двумя множествами данных (выборками). Т.е. значения этих коэффициентов позволяют сделать вывод о возможности и целесообразности использования линейной формы регрессионной взаимосвязи между результирующим и факторными показателями.

Построение линейной и степенной формы производственных функций для заданного производственного  процесса

Третий этап – регрессионный анализ.

Перед построением многофакторной регрессионной зависимости целесообразно  еще раз убедиться в правильности выбора факторных показателей для  моделирования производственной функции.

Для этого используется анализ по F – критерию. F – критерий – это результат дисперсионного анализа, позволяющий сделать вывод о степени влияния каждого фактора в совокупности выбранных для регрессионного моделирования на результирующий показатель. Чем больше влияние фактора на результирующий показатель, тем больше значение F – критерия.

В результате анализа по F – критерию ряд факторов, первоначально включенных в регрессионную зависимость, может быть исключен из-за слабой степени их влияния на результирующий показатель, что позволяет упрощать форму производственной функции.

После этого, используя метод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионная зависимость результирующего показателя от оставшихся после предшествующих шагов анализа факторных показателей.

Далее рассчитывается F – статистика. Последняя в совокупности с вспомогательной характеристикой степени свободы позволяет по стандартны таблицам критических значений F – критерия определить насколько установленная между факторами взаимосвязь случайна, т.е. определяет уровень надежности регрессионной модели: чем больше превышает наблюдаемая (расчетная) F – статистика табличное значение, тем надежнее построенная регрессионная модель.

 

Построение и анализ производственной функции.

В таблице приведена последовательность статистических расчетов, необходимых  для построения и выбора аналитической формы производственной функции.

 

Исходные данные						Z - тест
n	Y	K	L			Y	K	L
1	201,6	3,45	10,11			0,0000	0,0005	0,0000
2	202	3,48	13,65			0,0002	0	0,6376
3	202,6	3,06	13,75			0,0086	0,0000	0,7096
4	201,8	3,66	11,64			0,0000	0,0467	0,0001
5	203,3	3,79	12,87			0	0	0,1134
6	203,4	3,85	12,43			0	0,4236	0,0184
7	204,7	3,44	14,33			0,9592	0,0003	0,9566
8	204,3	4,08	15,26			1	0,9458	1
9	204,5	4,5	15,9			1	1,0000	1,0000
10	203,9	4,31	18,21			0,5676	0,9997	1,0000
11	202,7	3,57	13,22			0,0144	0	0,3056
12	205,8	3,55	13,45			1	0	0,4808
13	209,5	4,61	12,22			1,0000	1	0,0061
14	204,3	3,99	12			0,8304	0,8163	0
15	202,8	4,78	13,07			0	1	0,2094
Числовые характеристики выборок						Коэффициенты парной корреляции
Min	201,6	3,06	10,11			Y	0,462	0,145
Max	209,5	4,78	18,21			K		0,283
Медиана	203,4	3,79	13,22			Коэффициенты Пирсона
Ср. откл.	1,972	0,495	1,936			Y	0,214	0,021
Дисперс.	3,888	0,246	3,747			K		0,080
						F - тест
						Y	0,000	0,946
						K		0,000
			Линейная регрессия			Степенная регрессия
Коэффициенты регрессии			6,067	30,957		0,003	0,034	5,263
Стандартные ошибки коэффициентов			2,682	9,346		0,018	0,020	0,048
Коэффициент детерминации			0,990			0,214
Стандартная ошибка		Y	21,997			0,009
F - статистика			637,402			1,633
Степени свободы			13			12
Уравнение линейной регрессии					Уравнение степенной регрессии
Y = 6,067L + 30,957K

Экономический анализ производственной функции

 

Структуру экономического анализа  производственной функции продемонстрируем на примере линейной производственной функции, имеющей следующий вид:

 

Y = 30,957K + 6,067L

 

Определяем масштаб  производственной функции

Поскольку функция имеет линейную форму, очевидно, что при изменении  масштаба факторов производства масштаб Y изменится на такую же величину.

Строим графики «затраты – выпуск»

Последовательно элиминируется фактор L, а затем фактор K и рассматриваются зависимости Y от K и L.

Фиксируем три значения фактора, например, L = 2, 3 и 4. Соответственно получим следующие уравнения:

Y = 30,957K + 12,134

Y = 30,957K + 18,21

Y = 30,957K + 24,28

Графики данных уравнений строятся в системе координат «K0L».

Рис. 1

Аналогично необходимо построить  графики для фиксированных значений другой независимой переменной –  фактора производства K.

Фиксируем три значения фактора, например, К = 2, 3 и 4. Соответственно получим следующие уравнения:

Y = 61,914 + 6,067L

Y = 92,871 + 6,067L

Y = 123,828 + 6,067L

Графики данных уравнений строятся в системе координат «K0L».

Рис. 2

Определяем значения среднего и предельного продуктов  факторов производства.

Средняя фондоотдача AY_K и средняя производительность труда AY_L соответственно равны:

Предельная фондоотдача MY_K и предельная производительность труда MY_L равны:

 

Для линейной производственной функции  предельные продукты факторов производства K и L постоянны.

Определяем коэффициенты эластичности выпуска продукта по факторам производства.

Коэффициенты эластичности выпуска  продукта по факторам производства K и L рассчитываются по следующим зависимостям:

Осуществляется построение изоквант рассматриваемой модели

Для построения изоквант необходимо зафиксировать некоторые значения выпуска продукта у (не более четырех значений). Уравнение изокванты Q(Y) ЛПФ имеет вид: , где a, b – коэффициенты выражения линейной производственной функции. Семейство изоквант данной ПФ представляет собой параллельные прямые с угловым коэффициентом – b/a.

Семейство изоквант для выбранных  фиксированных значений выпуска  продукта у необходимо построить в системе координат «L0K».

 

           Рис. 3

Определяем предельную норму замещения труда капиталом и эластичность замещения труда капиталом.

Предельная норма  замещения труда капиталом для  линейной производственной функции  есть величина постоянная и равная:

Эластичность замещения труда  капиталом s линейной производственной функции равна бесконечности, т.к. = const.

Проводим имитационные расчеты  планируемых вариантов изменения  производства.

Фрагмент таких  расчетов выглядит следующим образом.

Допустим, что  в базовом периоде выпускалось 10 ед. продукции, т.е. Y₀ = 10 ед.

Планируется в  следующем периоде увеличить  объем выпуска на 25%, т.е. выпустить 12,5 ед.

Предполагается, что ограничений по ресурсам нет (K - это затраты основных производственных фондов (ОПФ), а L - ресурсы трудозатрат).

Так как в рассматриваемой  экономической системе имеет  место постоянная отдача от расширения производства, то очевидно, что для  планового периода следует планировать  затраты ресурсов пропорциональные затратам в базовом периоде.

Если в базовом  периоде на выпуск 10 ед. израсходовалось 5 ед. стоимости ОПФ и соответственно -23,87 единиц трудозатрат, то в плановом периоде их потребуется следующее количество:

• затрат фактора производства K: ед.;
• затрат фактора производства L: ед.

Объем выпуска продукта при этом составит:

Средние продукты факторов производства капитала и труда в плановом периоде  будут такие же, как и в предыдущем и равны: средняя фондоотдача AY_K = 1.99; средняя производительность труда AY_L = -0.403.

Не изменятся в плановом периоде и эластичности продукта по факторам производства. Также останутся постоянными  предельная норма замещения труда капиталом и эластичность замещения труда капиталом.

Заключение

Для моделирования функционирования производственных систем используются производственные функции, функции затрат и производственные способы. Функции затрат являются своего рода «обратными функциями» по отношению к производственным функциям и отражают зависимость объема затрат факторов производства от величины выпуска.

Производственные  функции, и функции затрат используются для описания таких производственных систем, в которых производится один вид конечного продукта и при  этом затрачивается несколько видов  ресурсов. Для моделирования производственных систем, производящих несколько конечных продуктов используются другие методы, среди которых наиболее распространенным является метод, основанный на концепции производственного способа.