Курсовая по моделированию социально-экономических систем

    (2)

Формула (2) – это система уравнений, которые называются уравнениями  распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Суммируя по отраслям (1) получим:

Аналогичное уравнение дает и суммирование (2):

Из этих зависимостей следует, что  должно выполняться равенство:

     (3)

Левая часть уравнения (3) – это  сумма третьего квадранта, а правая – итог второго квадранта.

Т.е. в МОБ соблюдается принцип  единства материального и стоимостного состава национального дохода.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

Основу информационного обеспечения  модели МОБ составляет технологическая  матрица, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции. Эта же матрица является основой ЭММ МОБ.

Предполагается, что для производства единицы продукции в j - ой отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i - ой отрасли, равное a_ij. Оно не зависит от объема производства в отрасли и является постоянной величиной во времени.

Величины a_ij - это коэффициенты прямых материальных затрат:

     (4)

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i - ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции в j - ой отрасли.

С учетом (4) СУ (2) примет вид:

    (5)

Введем матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат А = { a_ij } и вектор – столбец продукции Х и вектор-столбец валовой продукции Y и тогда СУ (5) примет вид:

     (6)

СУ (5,6) называют ЭММ МОБ (моделью  Леонтьева). С помощью этой модели выполняют три варианта расчетов:

• задав в модели валовой продукции каждой отрасли (X_i) можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_i):

    (7)

• задав величины продукции всех отраслей (Y_i) можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

   (8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав величины конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Обозначим через В матрицу , ее элементы будем обозначать через b_ij. Тогда можно записать 

    (9)

Из (9) следует, что валовая продукция  выступает как взвешенная сумма  величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты b_ij, которые показывают сколько всего нужно произвести продукции i - ой отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j - ой отрасли.

В отличие от коэффициентов прямых затрат a_ij коэффициенты b_ij называют коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков.

Определение 2. Коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i - ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j - ой отрасли.

Коэффициенты прямых и полных материальных затрат

Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необходимо прежде всего рассмотреть  основные свойства матрицы коэффициентов  прямых материальных затрат А.

Основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А.

1. Матрица А должна быть неотрицательной: .

2. Процесс воспроизводства нельзя  осуществлять, если для собственного  воспроизводства в отрасли затрачивалось  больше количество продукта, чем  создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше 1: a_ii < 1.

3. Вектор валовой продукции состоит  из неотрицательных компонентов: Х 0.

Актуален вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям.

Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых затрат.

Определение 3. Неотрицательную матрицу А будем называть продуктивной, если существует такой вектор Х 0, что

X>AX      (10)

Очевидно, что (10) означает существование  положительного вектора конечной продукции Y>0 для модели МОБ.

Для того, чтобы А была продуктивной необходимо и достаточно выполнение одного из нижеперечисленных условий:

1. матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. ;

2. матричный ряд    сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)^-1;

3. наибольшее по модулю собственное  значение  матрицы  , т.е. решение характеристического уравнения строго меньше 1;

4. все главные миноры матрицы  (Е - А), т.е. определители матрицы, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны.

Только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм ее элементов в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше 1, то эта матрица продуктивна.

Наибольший по модулю корень характеристического  уравнения (условие 3) * может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно величина (1 - *) характеризует остаток после затрат, т.е. продуктивность.

Чем больше (1 - *) , тем больше возможность достижения других целей, кроме текущего производственного потребления.

Определение 4. Коэффициентом полных материальных затрат c_ij называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i -ой отрасли для производства единицы продукции j -ой отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

Обозначим коэффициенты косвенных  материальных затрат k - ого порядка через , то можно записать:

    (11)

Введем матрицу коэффициентов  полных материальных затрат С и матрицы коэффициентов косвенных материальных затрат различных порядков А^(к) = ( ), то (11) можно записать в виде:

     (12)

Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат можно записать: .

Если матрица коэффициентов  прямых материальных затрат А является продуктивной, то из условия 2 следует, что существует матрица , являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:

   (13)

Сопоставляя (12) и (13) получаем: В = Е + С и

    (14)

Данная связь определяет экономический  смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличии от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу продукции, которая выходит за сферу производства.

Вычислительные аспекты  модели МОБ.

Основной объем расчетов по модели МОБ связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В.

Если матрица А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, или приближенным способом, используя разложение в матричный ряд (13).

Первый способ нахождения матрицы В. Находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу (Е - А)^-1.

Одним из наиболее употребительных  методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы матричной алгебры:

где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е - А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е -A)', a в знаменателе — определитель матрицы (Е - А).

Алгебраические дополнения в свою очередь для элемента с индексами i и j получаются умножением множителя (-l)^i+j на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i - й строки и j - го столбца.

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется формула (15). Обязательным условием корректности этих расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).

Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических  показателей

Одной из важнейших аналитических  возможностей рассматриваемого метода является определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции  и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей. При этом исходной моделью служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении.

В межпродуктовом балансе в натуральном  выражении по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты МОБ). Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции.

Пусть L_j - затраты живого труда в производстве j -ого продукта.

X_j - объем производства j -ого продукта.

Коэффициент прямой трудоемкости – прямые затраты труда на единицу j -ого продукта равен:

    (15)

Полные затраты труда – это сумма прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства.

Полные трудовые затраты на единицу j -ого вида продукции (коэффициент полной трудоемкости):

     (16)

где - затраты овеществленного труда, перенесенные на единицу j -ого продукта через i - ое средство производства (коэффициенты прямых материальных затрат выражены в натуральных единицах).

Введем вектор-строку коэффициентов  прямой трудоемкости и вектор – строку коэффициентов полной трудоемкости .

Тогда используя матрицу А в натуральном выражении (16) можно записать в виде:

     (17)

Проведя несложные матричные преобразования

получим соотношение для вектора  полной трудоемкости:

Пусть L - величина совокупных затрат живого труда по всем видам продукции:

В итоге можно  записать

      (18)

где t, T  - вектор-строка коэффициентов прямой трудоемкости и вектор – строка коэффициентов полной трудоемкости; X, Y - вектор – столбцы валовой и конечной продукции соответственно.

Выражение (18) – основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. Его экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной продукции, оцененной по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда.

Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов  с полными трудовыми затратами  на их выпуск, можно сделать заключение о сравнительной эффективности их производства.

Модель МОБ развивается за счет включения в нее показателей  фондоемкости продукции. В простейшем случае модель дополняется одной  строкой, где указаны в стоимостном  выражении объемы производственных фондов Ф_j, занятые в каждой j - ой отрасли.

На основании этих данных и объемов  валовой продукции всех отраслей определяют коэффициенты прямой фондоемкости продукции j - ой отрасли:

     (19)

Коэффициент прямой фондоемкости – показывает величину производственных фондов, непосредственно занятых в производстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции.

Коэффициент полной фондоемкости F_j – показывает величину производственных фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции j - ой отрасли:

     (20)

Введем вектор-строку коэффициентов  фондоемкости прямой  и вектор – строку коэффициентов полной фондоекости .

Тогда (20) в матричной форме примет вид:

F = FA + f      (21)

По аналогии с преобразованиями проведенными для трудоемкостей  можно записать:

F = fB,       (22)

где B = (E – A)^-1 - матрица коэффициентов полных материальных затрат