Курсовая по моделированию социально-экономических систем

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  ФУНКЦИИ СПРОСА

2.1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Изучение спроса на рынке сейчас становится первоочередной задачей  при функционировании предприятия. Постоянное отслеживание спроса и способность моментально реагировать на малейшие его изменения (то есть гибкость производства) – все это предопределяет выживание и успешную работу предприятия. Сейчас для любой фирмы важнее даже не произвести какую-либо продукцию, а сбыть ее, найти конкретную нишу на рынке для своего товара.

Поэтому-то на первые роли выходят в настоящее время  многочисленные отделы маркетинга, непосредственно занимающиеся вопросами сбыта и реализации продукции. И там хорошо знают, что такое спрос, и как он изменяется с течением времени. «Клиент всегда прав» – этот принцип, принятый на вооружение многими ведущими производителями, лишний раз доказывает первостепенное значение такого экономического понятия, как потребительский спрос.

При построении функции полезности все эти нюансы, связанные с понятием полезности, учитываются тем обстоятельством, что эта функция строится сугубо на основе отношения предпочтения, то есть каждому отношению предпочтения соответствует своя функция полезности.

Определение 2.1. Пусть в определено отношение предпочтения . Любая функция такая, что тогда и только тогда, когда , называется функцией полезности, соответствующей этому отношению предпочтения.

Если интересы потребителя ограничиваются множеством , то функция полезности определяется на этом множестве, .

В терминах функции полезности отношение безразличия задается равенством .

Актуален вопрос о возможности  определения функции полезности, удовлетворяющей определению 2.1, исходя из предпочтения . Ответ на этот вопрос заключается в следующей теореме, которую примем без доказательства.

Теорема 2.1. Для любого отношения предпочтения, определенного и непрерывного в , можно построить представляющую его (непрерывную) функцию полезности .

Таким образом, для любого непрерывного отношения предпочтения можно построить целое семейство функций полезности, что можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 2.2. Пусть - функция полезности, представляющая отношение предпочтения . Для любой строго возрастающей функции сложная функция (суперпозиция) является функцией полезности, так же представляющей это отношение предпочтения .

Следует отметить, что для потребителя  все эти функции полезности равнозначны. Он не в состоянии отдать предпочтение одной из них перед множеством возможных других, так как все они отражают одно и то же отношение предпочтения.

Различие этих функций касается различных «масштабов» измерения полезности и не является принципиальным.

Так как функция полезности должна быть адекватной отношению предпочтения, то для нее можно сформулировать свойства 5, 6, 7.

В терминах функции полезности свойство ненасыщаемости формулируется следующим образом.

6’. Для любых неравенство x ≥ y влечет неравенство и неравенства х ≥, y .

Из данной формулировки видно, что в случае ненасыщаемости функция u не достигает своего максимума на множестве Х: для любого найдется , который имеет большую полезность чем х.

Свойство вогнутости функции полезности:

7’. Для любых .

Если в условии вогнутости имеет место строгое неравенство, то функция полезности называется строго вогнутой. В этом случае, выбор потребителя определяется однозначно.

Преимущество функции полезности против отношения предпочтения состоит в том, что для анализа потребительского выбора можно использовать аппарат дифференцирования.

Пусть функция полезности и дифференцируема  и 

    (2.1)

Определение 2.2. Частная производная (2.1) называется предельной полезностью товара вида i.

Это есть полезность, получаемая от «дополнительной» доли товара вида i:

Поэтому неравенство (2.1) можно интерпретировать так: для любого набора товаров возрастание потребления товара вида i при постоянном уровне потребления других товаров приводит к увеличению полезности.

Таким образом, выражение (2.1) - это условие ненасыщаемости, записанное для дифференцируемой функции полезности.

Следует отметить, что именно предельная полезность товара является определяющим цену товара фактором.

Предположим теперь, что функция полезности u(х) дважды дифференцируема и имеет непрерывные вторые частные производные.

Тогда, в частности, выполнены условия:

 

.    (2.2)

Это неравенство говорит о том, что предельная полезность товара уменьшается по мере того, как продукт потребляется.

С понятием функции полезности неразрывно связано понятие кривых безразличия, имеющее широкое применение в математической теории потребления.

Определение 2.3. Кривой безразличия для данного набора товаров называется геометрическое место точек , которые находятся в отношении безразличия с этим набором х, то есть множество .

Так как для всех точек из этого  множества полезность одна и та же, то кривые безразличия задаются уравнениями u( x) = c = const.

Таким образом, кривая безразличия математически представляется как линия уровня функции полезности.

Поэтому для любой функции полезности существует бесконечное множество кривых безразличия (для разных const) и они заполняют все пространство , образуя так называемую карту безразличия.

Неоклассическая функция  полезности (функция Кобба-Дугласа):

,     (2.8)

где а - фактор шкалы измерения полезности, 0 < b_i < 1.

Для построения кривых безразличия  функции (2.8) в из уравнения находим

то есть карту безразличия составляет семейство (по параметру с) гипербол.

Наиболее общими для построения функций полезности являются методы регрессионного анализа, которые применимы при наличии подходящего статистического материала. Для выбранного вида функции полезности на основе этих данных оцениваются ее коэффициенты (параметры). Сложность метода зависит от класса функций (линейных, квадратичных, степенных и др.), в котором ищется функция полезности.

 

Предельный анализ и  понятие эластичности в теории потребления

Рассмотрим произвольный набор товаров . Если полезность от x_i обозначить через , то суммарная полезность набора х есть

.

Определение 3.1. Средняя полезность набора товаров х определяется, как вектор

,    (3.1)

где - средняя полезность товара вида i, т.е. полезность, приходящаяся на единицу товара i.

Определение 3.2. Предельная полезность набора товаров х определяется, как вектор

.   (3.2)

Вычисляя значение частной производной  , можно получить ответ на вопрос: как себя поведет полезность u(x) при изменении объема потребления того или иного товара.

Полезность товара растет, пока справедливо условие (2.1). Если с ростом потребления товара неравенство (2.1) переходит в обратное, то нет смысла и дальше увеличивать его потребление.

Сравнивая среднюю и предельную полезности, можно обнаружить тенденцию средней полезности «стремиться» к предельной полезности:

• среднее значение полезности возрастает (при возрастании потребления), если оно ниже предельной полезности;
• среднее значение полезности остается постоянным (при изменении потребления), если оно равно значению предельной полезности;
• среднее значение полезности убывает (при возрастании потребления), если оно превосходит предельную полезность.

Рассмотрим среднюю и предельную полезности для нескольких функций полезности из предыдущего параграфа.

Средняя полезность набора товаров равна:

,

где b_i – средняя полезность товара вида i.

Предельная полезность, в свою очередь, равна:

.

Следовательно, для функции (2.3) средняя и предельная полезности совпадают.

Этот факт является следствием линейности функции u(x).

Это подтверждается рассмотрением средней и предельной полезностей для функции полезности для взаимодополняющих друг друга товаров (2.4):

,

.

Для функции Кобба-Дугласа (2.8) , полагая для простоты n = 2, имеем:

С учетом условия  ясно, что предельная полезность пропорциональна средней и всегда меньше ее.

Для оценки относительного изменения  функции полезности u(x) под воздействием относительного изменения величины товара х_i , входящего в набор х = (х₁, …, х_п), используется коэффициент эластичности (эластичность) , определяемый выражением:

.     (3.3)

При расчете  полагается, что все остальные значения величин товаров, входящих в набор х = (х₁, …, х_п), остаются постоянными.

Вычислим эластичность некоторых из функций полезности приведенных в п.2 (для простоты будем полагать n = 2).

Для функции полезности с полным взаимозамещением благ (2.3) согласно (3.3) имеем:

Например, в точке  получаем:

Видим, что в точке  полезность в целом неэластична; при этом неэластичность по второму товару «выше», чем по первому товару.

Для функции полезности Кобба-Дугласа (2.8) имеем:

Итак, параметры b₁ и b₂ в функции Кобба-Дугласа как раз являются коэффициентами эластичности по видам товаров; они постоянны, то есть не зависят от объема потребления.

Поэтому функция полезности Кобба-Дугласа относится к классу функций полезности с постоянной эластичностью (вернее, неэластичностью, так как ).

 

Определение 3.3. Предельная норма замещения S_ij показывает, на сколько единиц нужно уменьшить (увеличить) количество i - го товара при увеличении (уменьшении) j - ого о товара на единицу, чтобы при этом полезность набора товаров х = (х₁, …, х_п)осталась неизменной.

Предельная норма замещения S_ij определяется зависимостью:

      (3.4)

Следовательно, предельная норма замещения товаров S_ij выражается через отношение их предельных полезностей.

Так, для функции полезности Кобба-Дугласа (2.8) предельная норма замещения товаров S_ij определяется зависимостью:

, .

Из закона об убывающей предельной полезности следует выпуклость кривых безразличия (не путать с вогнутостью функции u).

Предельная норма замещения применяется при изучении спроса (напр., что нужнее в данный момент для домашнего хозяйства, один диван или два кресла; насколько нужно жертвовать технической характеристикой автомобиля ради увеличения комфорта и т.д.).

Относительно спроса различают товары эластичного спроса и товары неэластичного спроса.

Для товаров первого вида повышению цены на 1% соответствует понижение спроса более, чем на 1% и, наоборот, понижение цены на 1% приводит к росту покупок более, чем на 1% ( ).

Для товаров второго вида повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее, чем на 1% и, наоборот, уменьшение цены на 1% приводит к росту покупок менее чем на 1% ( ).

2.2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ  ВЫЧИСЛЕНИЙ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

 Проверка функции U(q₁, q₂) на выпуклость.

 

Находим значение второго полного дифференциала функции U(q₁, q₂).

Первый полный дифференциал данной функции равен:

Находим значение второго  полного дифференциала функции U(q₁, q₂).

Первый полный дифференциал данной функции равен:

 

 

Второй полный дифференциал соответственно равен:

 

Т.к. и положительны при всех значениях q₁ и q₂, то < 0, а следовательно, U(q₁, q₂) выпукла к осям и может служить целевой функцией потребления (функцией полезности).

 

Построение карты безразличия  и потребления

 

Кривые безразличия являются линиями  равного уровня затрат U(q₁, q₂).

Для их построения следует  выразить одно из благ через другое и уровень затрат, величина которого принимается за константу.

Формула для выражения q₂ имеет вид:

Подставляя различные значения q₁ при равных значениях U(q₁, q₂), можно получить расчетные точки и построить по ним кривые безразличия.

Найдем кривые безразличия для  уровней потребления U(q₁, q₂) равных: 10, 15, 20, 25.

            Так как величины q₁ и q₂ положительны, то дуги кривых безразличия расположены только в первом квадранте системы координат (q₁; 0; q₂) (Рис.1).