Оптимизация режимов ЭЭС

1.1 Понятие оптимизации. Основные задачи оптимизации в электроэнергетике. Степени свободы электроэнергетической системы. Допустимый и оптимальный режимы

Оптимизация – задача выявления оптимального процесса из числа прочих, сопоставляемых по критерию оптимальности.

В оптимизации можно выделить:

1. определение оптимальной стратегии развития энергосистем - сооружение или реконструкция систем электроэнергетики и отдельных объектов (выбор месторасположения и мощности, установление сроков ввода  в  эксплуатацию новых электростанций, подстанций и ЛЭП;
2. выбор наилучшей конфигурации электрических сетей;
3. распределение нагрузок между отдельными электростанциями работающей или проектируемой системы;
4. выбор стратегии наилучшего использования материальных ресурсов (видов топлива и т. д.);

Уравнения установившегося режима W (X,Y) = 0 связывают между собой параметры установившегося режима электроэнергетической системы. Обозначим совокупность этих параметров вектор - столбцом Z=( Z₁, Z₂, ..., Z_m). При расчете установившегося режима параметры режима Z делятся на заданные независимые Y и неизвестные зависимые X переменные. Число уравнений установившегося режима в системе W (X,Y) = 0 2n равно числу зависимых параметров режима X. Число т параметров режима Z, входящих в уравнение W (X,Y) = 0, больше 2n— числа этих уравнений. Такие системы уравнений называются недоопределеннымн. Избыток числа переменных по сравнению с числом уравнений физически означает, что электроэнергетическая система имеет т—2n степеней свободы. Наличие степени свободы позволяет регулировать режим. Например, пусть имеется система из двух станций и одного нагрузочного узла (см. рисунок).

Предположим, что уравнения установившегося режима имеют вид баланса мощностей для нагрузочного узла, т. е. Р_Г1 + Р_Г2 + Р_Н3 = 0; Q_Г1 + Q_Г2 + Q_Н3 = 0.

Нагрузки Р_Н3, Q_Н3 заданы. Два уравнения баланса Р и Q содержат четыре переменные. Эти уравнения можно удовлетворить при различных сочетаниях Р_Г1 и Р_Г2, Q_Г1 и Q_Г2. Две из этих мощностей можно задавать произвольно в пределах между минимально и максимально возможными их значениями. Остальные мощности будут определены из условий баланса. В данном случае система имеет две степени свободы.

1.2 Понятие оптимизации. Основные задачи оптимизации в электроэнергетике. Степени свободы электроэнергетической системы. Допустимый и оптимальный режимы

Степени свободы определяются возможностью регулирования Р и Q станций, наличием регулируемых трансформаторов, возможностью включения и отключения оборудования и т. д. Именно наличие степеней свободы и определяет существование множества возможных режимов, удовлетворяющих заданной нагрузке потребителей. Среди режимов этого множества практический интерес представляют лишь допустимые режимы, при которых параметры режима остаются в допустимых пределах. Цель управления — среди допустимых режимов найти наиболее экономичный.

При оптимизации за счет наличия степеней свободы параметров режима, т. е. в результате возможности их изменения, выбираются такие значения параметров режима, которые обеспечивают меньшие суммарные потери активной мощности в сети или меньший суммарный расход условного топлива.

Допустимый  режим должен удовлетворять условиям надежности электроснабжения и качества электроэнергии. При расчетах допустимых режимов условия надежности электроснабжения и качества электроэнергии учитываются в виде ограничений-равенств и неравенств на контролируемые параметры режима.

Оптимальный режим — это такой из допустимых, при котором обеспечивается минимум суммарного расхода условного топлива при заданной в каждый момент времени нагрузке потребителей.

Наиболее часто решаются оптимизационные задачи трех видов:

Оптимизация режима энергосистем по Р тепловых электростанций, или распределение активных мощностей между тепловыми станциями, позволяет найти активные мощности станций, соответствующие минимуму суммарного расхода условного топлива на тепловых электрических станциях с приближенным учетом потерь в сети при заданных нагрузках потребителей.

Оптимизация режима электрической  сети приводит к уменьшению потерь активной мощности в результате оптимального выбора напряжений узлов, реактивной мощности источников и коэффициентов трансформации регулируемых трансформаторов и автотрансформаторов при учете технических ограничений.

Комплексная оптимизация  режима позволяет находить оптимальные значения как активных мощностей станций, так и генерируемых реактивных мощностей, а также модулей и фаз напряжений в узлах сети при учете технических ограничений.

 

2 Применение метода  множителей Лагранжа при решении  задач оптимизации  в электроэнергетике

Этот метод позволяет  отыскать условный (относительный) экстремум  непрерывной функции, являющейся максимумом или минимумом при выполнении дополнительных условий в форме равенств (уравнений связи).

Метод множителей Лагранжа дает возможность найти такую систему уравнений, которой должен удовлетворять экстремум функции f (X₁,..., X_m) на множестве N, определяемом системой уравнений g_i (X) для i=1, 2, ..., т.

Для того чтобы найти точку экстремума, характеризующуюся на множестве N неким вектором X, необходимо найти т чисел λ₁,…, λ_m, которые вместе с вектором X удовлетворяли бы следующей системе (т+п) уравнений с (т+п) неизвестными: ; j = 1,…,n; =0;  i = 1,…,m.

Эти уравнения получены как условия экстремума функции Лагранжа , где числа λ₁,…, λ_m называются множителями Лагранжа.

Задача заключается в применении метода Лагранжа к определению наивыгоднейших режимов энергетических установок, в частности к нахождению оптимального распределения нагрузки между несколькими агрегатами. Например, если котельная, имеющая п котлов, должна выдать тепло в количестве Q, а расход топлива Вi на каждом i-м котле известен, то минимум суммарного расхода   топлива устанавливается с помощью метода Лагранжа, позволяющего найти экстремальное значение целевой функции. Для этого, приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа, находbv, что условием относительного минимума суммарного расхода топлива будет одинаковость (idem) относительных приростов расхода топлива всех агрегатов, т. е. величин .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1 Оптимальное распределение перетоков мощности в замкнутых контурах электрической сети

Оптимизация распределения  мощностей в замкнутом контуре - это частная задача оптимизации режима электрической сети. Будем считать, что в узлах сети заданы неизменные токи, т. е. уравнения установившегося режима линейны. Если в узлах заданы неизменные мощности, то будем определять их по номинальному напряжению:   (1) , где , - заданные комплексные мощность и ток в каждом узле; - номинальное напряжение сети.

При этом ток в ветви kj определяется следующим образом: . (2)

При выполнении условий (1) или (2) уравнения  установившегося режима остаются линейными, т. е. вместо заданных комплексных токов  в узлах можно использовать комплексные  мощности в узлах, а вместо токов  в ветвях — мощности в ветвях.

Найдем распределение мощностей в сети на рис. 13.2, соответствующее наименьшим потерям активной мощности, при выполнении первого закона Кирхгофа для мощностей при условии (1). Иными словами, определим такие значения мощностей в линиях , , , которые соответствуют минимуму потерь активной мощности в сети min ΔP при выполнении следующих ограничений-равенств первого закона Кирхгофа для узлов 2 и 3: или для активных и реактивных мощностей:

;

                                        (3)             

;

Потери активной мощности в сети на рис. 13.2 с учетом условия (2) равны .

Условие минимума потерь запишем так:

(4)

3.2 Оптимальное распределение перетоков мощности в замкнутых контурах электрической сети

Потери мощности, записанные в таком виде  — это целевая функция задачи оптимизации режима сети, условия (3)—это ограничения-равенства первого закона Кирхгофа. Задача (3), (4) - одна из простейших формулировок задачи оптимизации режима электрической сети.

Система ограничений (3) содержит четыре уравнения и шесть неизвестных активных и реактивных потоков мощности в ветвях P₁₂, P₁₃, P₂₃, Q₁₂, Q₁₃, Q₂₃. Она имеет бесконечное множество решений. Можно задать любые значения, например, четырех потоков P₁₃, Р₂₃, Q₁₃, Q₂₃ и из (3) найти значения потоков P₁₂, Q₁₂, удовлетворяющие первому закону Кирхгофа. Параметры режима имеют две степени свободы. Изменяя параметры режима, можно найти такие их значения, при которых потери мощности ΔР в сети минимальны.

Определим потоки мощности, соответствующие минимуму потерь. Для этого выразим P₁₃, Р₂₃, Q₁₃, Q₂₃ из (3) через неизвестные потоки Р₁₂, Q₁₂ и заданные нагрузки в узлах:

                                                (5)

Подставим (5) в целевую функцию (4) и выразим потери через два неизвестных потока Р₁₂ и Q₁₂:

.

Получили целевую функцию, которая  зависит только от двух неизвестных  Р₁₂ и Q₁₂. При этом задача определения условного экстремума функции шести неизвестных сведена к отысканию безусловного экстремума функции двух переменных. Последний определяется из условия равенства нулю частных производных от ΔР по Р₁₂ и Q₁₂:

 

Решив эти уравнения, получим следующие аналитические выражения для оптимальных потоков мощности Р₁₂ и Q₁₂.

 

 

4.1 Применение метода множителей Лагранжа для оптимизации перетоков мощности в электрической сети

Применение метода Лагранжа для решения задачи оптимального распределения потоков мощности в сети состоит в определении минимума функции Лагранжа, в которую входят потери активной мощности

 и уравнения первого закона Кирхгофа (1):

;

                                                     

; каждое из которых умножается на соответствующий множитель Лагранжа. Рассмотрим задачу оптимизации режима сети на рис. 13.2, когда потоки реактивной мощности в линиях Q_kj равны нулю.

Равенство нулю потоков Q в линиях 12, 23, 31 означает, что в узлах 2 и 3 на рис. 13.2 имеет место полная компенсация реактивной мощности. Необходимо определить (2)

при выполнении двух ограничений равенств из (1)

.                                (3)

Функция Лагранжа

, где  и - множители Лагранжа.

Задача на условный экстремум (2), (3) с тремя переменными P₁₂, Р₂₃ и Р₁₃ сведена к определению безусловного экстремума (минимума) функции Лагранжа, которая зависит от пяти переменных; трех потоков мощности и двух

4.2 Применение метода множителей Лагранжа для оптимизации перетоков мощности в электрической сети

множителей Лагранжа и . Минимум функции Лагранжа соответствует решению исходной задачи и определяется равенством нулю пяти частных производных:

Для решения системы  линейных алгебраических уравнений (4) преобразуем ее первые три уравнения в уравнение второго закона Кирхгофа, исключив из них множители Лагранжа. В результате получим выражение:

.

Решая два последних  уравнения системы (4) совместно с  этим уравнением, получим

.

Отсюда  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1 Оптимизация распределения перетоков мощности сложной электрической сети

Оптимизация распределения  мощностей в сложной сети при  выполнении первого закона Кирхгофа приводит к распределению потоков мощности в сети только с активным сопротивлением.

Рассмотрим самый простой случай, когда все потоки Q равны нулю. Потери активной мощности в сети являются квадратичной формой потоков активной мощности в линиях, которую можно записать следующим образом:   (1), где Р_В — вектор - столбец потоков активных мощностей в ветвях, порядок которого равен числу ветвей т; индекс «т» означает транспонирование; R_B — диагональная матрица активных сопротивлений ветвей порядка т, l-й элемент которой равен активному сопротивлению l-й ветви.

Для сети на рис. 13.2 потери мощности можно  записать

в таком виде:

.

Первый закон Кирхгофа можно записать: (2),  где Р - вектор-столбец активных мощностей в узлах, порядок которого равен числу независимых узлов п;  М — первая матрица инциденций, число строк которой равно п, а число столбцов — числу ветвей т. Для сети на рис. 13.2

 и первый закон Кирхгофа

Задача оптимизации  и  

 в матричном виде имеет вид: определить   (3) при выполнении условия (2). Это задача квадратичного программирования, так как целевая функция (1) - квадратичная форма, а ограничения (2) - система линейных алгебраических уравнений. Запишем функцию Лагранжа в матричном виде: