Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Июня 2013 в 13:30, доклад
Оптимизация – задача выявления оптимального процесса из числа прочих, сопоставляемых по критерию оптимальности.
В оптимизации можно выделить:
определение оптимальной стратегии развития энергосистем - сооружение или реконструкция систем электроэнергетики и отдельных объектов (выбор месторасположения и мощности, установление сроков ввода в эксплуатацию новых электростанций, подстанций и ЛЭП;
выбор наилучшей конфигурации электрических сетей;
распределение нагрузок между отдельными электростанциями работающей или проектируемой системы;
выбор стратегии наилучшего использования материальных ресурсов (видов топлива и т. д.);
Преимущество первого критерия заключается в простоте реализации, однако в некоторых случаях он не соответствует приближению к экстремуму. Например, при отыскании минимума функции с оврагом, когда две соседние точки xk+1 и xk оказываются на дне оврага. Убывание целевой функции будет мало, хотя решение далеко не оптимально.
Более строгим является второй критерий — проверка длины градиента при отыскании абсолютного минимума F. Во втором критерии используется тот факт, что в точке экстремума все частные производные равны нулю, поэтому итерационный спуск осуществляется до получения , где – малая заданная величина.
В некоторых случаях используют модификацию второго критерия и не проверяют длину вектора градиента, а сравнивают максимальную компоненту вектора градиента с некоторой заданной контрольной величиной.
Расчет по второму критерию связан с большим объемом вычислений, но он гарантирует правильность окончания расчета. В градиентных методах это наиболее рациональный способ прерывания циклического итерационного расчета, поскольку частные производные и так вычисляются для организации спуска.
Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска.
Вторая итерация выполняется аналогично. Далее проверяем критерий окончания расчетов: При выполнении условия расчеты заканчиваются, при невыполнении продолжаем итерации.
20.1 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента
В градиентных методах движение всегда осуществляется в направлении наибольшего убывания целевой функции . Вектор градиента определяется через производные функции F(x) по всем независимым переменным .
Таким образом, чтобы воспользоваться рекуррентным выражением градиентного метода , необходимо на каждом шаге итерационного процесса вычислять значения производных . Для организации скорейшего спуска необходимо определение оптимальной длины шага , которая в этом случае удовлетворяет условию . Это условие означает, что результирующий вектор спуска должен быть таким, чтобы новый градиент стал ортогонален предыдущему.
Достоинство этого метода состоит в том что, несмотря на сложность и большой объем вычислений на каждом шаге, он в сочетании с методом наискорейшего спуска дает очень быструю сходимость.
Метод проектирования градиента. Пусть требуется найти минимум выпуклой функции при условии, что независимые переменные удовлетворяют системе из P линейных ограничений в форме неравенств, т. е.
.
В начальной точке Х°, фазовые координаты которой удовлетворяют условиям ограничений , определяется вектор-градиент и в направлении антиградиента производится движение за границу допустимой области до точки x': , где –множитель, определяющий величину шага за границу допустимой области.
20.2 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента
Полученная точка X1 проектируется на поверхность ограничений , в результате чего определится точка . Затем из точки так же как и из точки Х°, в направлении антиградиента совершается движение за границу допустимой области в точку .
Полученная точка X2 проектируется на поверхность ограничений, в результате чего получается точка и т. д.
Если начальная точка Х° находится вне допустимой области, она вначале должна быть спроектирована на поверхность ограничений, после чего осуществляется описанная процедура движения. Это позволяет решать задачу от любого начального приближения.
21.1 Учет ограничений
в форме равенств при решении
задач оптимизации в
При решении задачи оптимизации режима должны учитываться уравнения связи, дающие зависимости между переменными y и x. Количество зависимых переменных M определяется числом уравнений связи, которые можно рассматривать как ограничения, выраженные в форме равенств. В качестве таких ограничений обычно принимаются УУН, записанные в форме баланса токов каждого узла, кроме балансирующего или в форме баланса мощностей каждого узла (1), где – общее число узлов в системе без балансирующего. Целевую функцию можно представить в виде , где x, y – векторы независимых и зависимых переменных, связь между которыми выражается системой уравнений в виде вектор – функции .
В градиентном методе необходимо определить направление максимального уменьшения целевой функции, не нарушая связей между переменными. Поэтому найдем связь между приращениями зависимых и независимых переменных.
Рассмотрим точку (х°, у°) с координатами , удовлетворяющую системе равенств : (2), .
Это означает, что рассматриваются режимы энергосистемы, удовлетворяющие (1).
Разложив нелинейные уравнения в точке (х°, y°) в ряд Тейлора и ограничившись членами, содержащими производные не выше первого порядка, получим , .
С учетом (2) в матричной записи последняя система уравнений приобретает вид , откуда, переходя к бесконечно малым приращениям, получим (3).
Здесь – матрицы частных производных уравнений связи по независимым и зависимым переменным.
С учетом зависимости y(x) целевую функцию F(x,y) можно представить как F(x, y(x)). Выражение градиента приобретает вид
21.2 Учет ограничений
в форме равенств при решении
задач оптимизации в
что в матричной форме записывается двумя способами:
; (4), , – векторы - столбцы частных производных целевой функции по независимым и зависимым переменным.
Вектор производных целевой функции по независимым переменным dF/dx называется приведенным градиентом. С учетом соотношения (3) представим (4) в виде .
Вектор dF/dx рассматривается как возможное направление и используется в рекуррентном выражении итерационной процедуры .
Наряду с методом приведенного градиента ограничения в форме равенств учитывает также метод Лагранжа. При отыскании экстремума целевой функции с учетом ограничений в форме равенств методом Лагранжа вводится новая функция Лагранжа L, в которой все переменные рассматриваются как независимые. В данном случае нет необходимости вычислять матрицу частных производных [dу/dx], в чем и заключается преимущество метода по сравнению с предыдущим. Недостатком метода является увеличение размерности задачи за счет введения неопределенных множителей Лагранжа, число которых равно числу уравнений связи.
22.1 Учет ограничений в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций
При оптимизации режима электрической системы задается совокупность ограничений в форме неравенств , определяющая некоторую допустимую область D. В задаче нелинейного программирования необходимо отыскивать относительный экстремум в области D, допуская, что активным может оказаться любое ограничение. В некоторых случаях активные ограничения могут быть выявлены в ходе итерационного процесса решения задачи оптимизации.
Пусть . В результате шага по рекуррентному выражению метода возможных направлений получается точка xk. Если эта точка также принадлежит области D, то осуществляется переход к точке xk+1. Если же , то необходимо найти граничную точку xk на поверхности области D. В результате выявляется активное ограничение (рис. 5-8), которое можно рассматривать как равенство. Однако правомерность такого перехода должна быть обоснована, так как не исключаются ситуации, подобные представленной на рис. 5-8. Здесь точка . Движение по антиградиенту с оптимальной длиной шага приводит в точку . Пусть найдена граничная точка x'. Если в дальнейшем ограничение рассматривать как равенство, то будет найден экстремум на ограничивающей поверхности в точке x". Как видим, в данном случае решение оказывается неправильным, так как фактически следует найти точку абсолютного минимума .
Метод штрафных функций. Для решения задачи отыскания экстремума целевой функции F (x,y) в допустимых областях Dy и Dz рассматривается новая функция , которая в отличие от F(x,у) определена в пространстве зависимых переменных при и (где рассматриваются в виде переменных, зависимых от x и у). Это свойство новой функции и достигается за счет введения штрафных функций Ш(y) и Ш(z), подчиняющихся условиям:
.
22.2 Учет ограничений в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций
Эти условия означают следующее: если взята некоторая точка хk так, что соответствующие ей зависимые переменные yk и zk удовлетворяют ограничениям и , то штраф равен нулю, в противном случае накладывается штраф в виде некоторой положительной добавки к исходной функции F(x,у). Чем существенней отклонение от допустимой области, тем больше величина штрафа. А так как методы возможных направлений в этом случае основываются на построении такой траектории х°, х1,..., хk, в которой Wk<Wk-1, то при надлежащем выборе функции штрафа движение всегда будет происходить в сторону допустимой области.
Штрафные функции должны удовлетворять двум условиям: 1) при их использовании не должны появляться новые локальные минимумы и абсолютный минимум функции W должен совпадать с относительным минимумом исходной целевой функции или быть достаточно близким ему; 2) функция штрафа должна возрастать при увеличении степени нарушения ограничения.
Способ задания квадратичной штрафной функции вида , где , – величины, характеризующие степень нарушения соответствующих ограничений. Коэффициенты штрафа и имеют смысл коэффициентов приведения штрафа к размерности целевой функции.
Выбор коэффициента штрафа существенно влияет на сходимость итерационного процесса и точность отыскания минимума целевой функции. Чем больше величина , тем круче растет функция W вне области D и тем заметнее функция W приобретает свойства «овражности». Чаще всего при овражных функциях удовлетворительная сходимость не обеспечивается. Коэффициент штрафа влияет и на траекторию спуска.
23.1 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе
Преимущество метода Ньютона заключается в том, что количество итерационных шагов невелико. Как и во всяком итерационном методе, расчет начинается с задания некоторой исходной точки , для которой можно вычислить значение функции . Аппроксимируем в точке зависимость f(x) некоторой другой функцией путем разложения в ряд f(x) и сохранения членов, содержащих вторые производные: (1).
Такая аппроксимация соответствует замене исходной функции f(x) параболой , совпадающей в точке по значениям первой и второй производных (рис. 5-10). Если обозначить через величину отклонения от , то вместо (1) можно записать (2).
Найдем такое значение приращения , которое обращает в минимум . Для этого приравняем нулю производную от (2): , откуда . Следовательно, точку экстремума можно найти из условия .
Если в этой точке производная существенно отличается от нуля, то эту точку следует рассматривать как исходную и повторить вычисления. В общем виде рекуррентное выражение итерационного процесса можно представить как .
Таким образом, суть метода
заключается в том, что исходная
функция заменяется полиномом второй
степени – параболой – и
затем отыскивается ее минимум. В
новой точке аппроксимация
Аналогично функцию двух переменных F(х1, х2), которая аппроксимируется разложением в ряд Тейлора, можно представить как (3).
Градиент этой новой функции в точке ее экстремума равен нулю:
23.2 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе
(4). Решая эту систему относительно и (5), находим точку экстремума, а следовательно, и точку нового приближения х1: (6).
Геом-я интерпретация рассмотренного случая представлена на рис. 5-11. Истинная зависимость F(x) заменена параболоидом , линии равного уровня которого в проекции на плоскость осей x1 и х2 - эллипсы. Решение системы (4) позволяет найти центр эллипсов х1, а затем в этой точке повторить аппроксимацию и найти точку х2 и т. д.