Оптимизация режимов ЭЭС

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Июня 2013 в 13:30, доклад

Описание работы

Оптимизация – задача выявления оптимального процесса из числа прочих, сопоставляемых по критерию оптимальности.
В оптимизации можно выделить:
определение оптимальной стратегии развития энергосистем - сооружение или реконструкция систем электроэнергетики и отдельных объектов (выбор месторасположения и мощности, установление сроков ввода в эксплуатацию новых электростанций, подстанций и ЛЭП;
выбор наилучшей конфигурации электрических сетей;
распределение нагрузок между отдельными электростанциями работающей или проектируемой системы;
выбор стратегии наилучшего использования материальных ресурсов (видов топлива и т. д.);

Файлы: 1 файл

Все.doc

— 1.26 Мб (Скачать файл)

Преимущество первого  критерия заключается в простоте реализации, однако в некоторых случаях он не соответствует приближению к экстремуму. Например, при отыскании минимума функции с оврагом, когда две соседние точки xk+1 и xk оказываются на дне оврага. Убывание целевой функции будет мало, хотя решение далеко не оптимально.

Более строгим является второй критерий — проверка длины градиента при отыскании абсолютного минимума F. Во втором критерии используется тот факт, что в точке экстремума все частные производные равны нулю, поэтому итерационный спуск осуществляется до получения , где – малая заданная величина.

В некоторых случаях  используют модификацию второго  критерия и не проверяют длину вектора градиента, а сравнивают максимальную компоненту вектора градиента с некоторой заданной контрольной величиной.

Расчет по второму  критерию связан с большим объемом вычислений, но он гарантирует правильность окончания расчета. В градиентных методах это наиболее рациональный способ прерывания циклического итерационного расчета, поскольку частные производные и так вычисляются для организации спуска.

Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска.

  1. Задаем начальные приближения .
  2. Находим значение целевой функции и антиградиента в точке .
  3. Делам пробные шаги и находим .
  4. Определяем оптимальную длину шага
  5. Определяем новые приближения оптимизируемых параметров .
  6. Проверяем выполнение критерия оптимальности .

Вторая итерация выполняется аналогично. Далее проверяем критерий окончания расчетов: При выполнении условия расчеты заканчиваются, при невыполнении продолжаем итерации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.1 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

В градиентных методах движение всегда осуществляется в направлении  наибольшего убывания целевой функции . Вектор градиента определяется через производные функции F(x) по всем независимым переменным .

Таким образом, чтобы  воспользоваться рекуррентным выражением градиентного метода , необходимо на каждом шаге итерационного процесса вычислять значения производных . Для организации скорейшего спуска необходимо определение оптимальной длины шага , которая в этом случае удовлетворяет условию . Это условие означает, что результирующий вектор спуска должен быть таким, чтобы новый градиент стал ортогонален предыдущему.

Достоинство этого метода состоит в том что, несмотря на сложность и большой объем  вычислений на каждом шаге, он в сочетании  с методом наискорейшего спуска дает очень быструю сходимость.

Метод проектирования градиента. Пусть требуется найти минимум выпуклой функции при условии, что независимые переменные удовлетворяют системе из P линейных ограничений в форме неравенств, т. е.

.

В начальной точке Х°, фазовые координаты которой удовлетворяют условиям ограничений , определяется вектор-градиент и в направлении антиградиента производится движение за границу допустимой области до точки x': , где –множитель, определяющий величину шага за границу допустимой области.

 

 

 

20.2 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

Полученная точка X1 проектируется на поверхность ограничений , в результате чего определится точка . Затем из точки так же как и из точки Х°, в направлении антиградиента совершается движение за границу допустимой области в точку .

Полученная точка X2 проектируется на поверхность ограничений, в результате чего получается точка и т. д.

Если начальная точка Х° находится вне допустимой области, она вначале должна быть спроектирована на поверхность ограничений, после чего осуществляется описанная процедура движения. Это позволяет решать задачу от любого начального приближения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.1 Учет ограничений   в форме равенств при решении  задач оптимизации в электроэнергетике.  Приведенный градиент

При решении задачи оптимизации режима должны учитываться уравнения связи, дающие зависимости между переменными y и x. Количество зависимых переменных M определяется числом уравнений связи, которые можно рассматривать как ограничения, выраженные в форме равенств. В качестве таких ограничений обычно принимаются УУН, записанные в форме баланса токов каждого узла, кроме балансирующего или в форме баланса мощностей каждого узла    (1), где – общее число узлов в системе без балансирующего. Целевую функцию можно представить в виде , где x, y – векторы независимых и зависимых переменных, связь между которыми выражается системой уравнений в виде вектор – функции .

В градиентном методе необходимо определить направление максимального уменьшения целевой функции, не нарушая связей между переменными. Поэтому найдем связь между приращениями зависимых и независимых переменных.

Рассмотрим точку (х°, у°) с координатами , удовлетворяющую системе равенств : (2), .

Это означает, что рассматриваются  режимы энергосистемы, удовлетворяющие (1).

Разложив нелинейные уравнения  в точке (х°, y°) в ряд Тейлора и ограничившись членами, содержащими производные не выше первого порядка, получим , .

С учетом (2) в матричной записи последняя система уравнений приобретает вид , откуда, переходя к бесконечно малым приращениям, получим (3).

Здесь – матрицы частных производных уравнений связи по независимым и зависимым переменным.

С учетом зависимости y(x) целевую функцию F(x,y) можно представить как F(x, y(x)). Выражение градиента приобретает вид

 

21.2 Учет ограничений   в форме равенств при решении  задач оптимизации в электроэнергетике.  Приведенный градиент

что в матричной форме записывается двумя способами:

; (4), , – векторы - столбцы частных производных целевой функции по независимым и зависимым переменным.

Вектор производных целевой функции по независимым переменным dF/dx называется приведенным градиентом. С учетом соотношения (3) представим (4) в виде .

Вектор dF/dx рассматривается как возможное направление и используется в рекуррентном выражении итерационной процедуры .

Наряду с методом  приведенного градиента ограничения  в форме равенств учитывает также  метод Лагранжа. При отыскании  экстремума целевой функции с  учетом ограничений в форме равенств методом Лагранжа вводится новая функция Лагранжа L, в которой все переменные рассматриваются как независимые. В данном случае нет необходимости вычислять матрицу частных производных [dу/dx], в чем и заключается преимущество метода по сравнению с предыдущим. Недостатком метода является увеличение размерности задачи за счет введения неопределенных множителей Лагранжа, число которых равно числу уравнений связи.

 

 

 

 

 

 

 

 

22.1 Учет ограничений  в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций

При оптимизации режима электрической системы задается совокупность ограничений в форме неравенств , определяющая некоторую допустимую область D. В задаче нелинейного программирования необходимо отыскивать относительный экстремум в области D, допуская, что активным может оказаться любое ограничение. В некоторых случаях активные ограничения могут быть выявлены в ходе итерационного процесса решения задачи оптимизации.

Пусть . В результате шага по рекуррентному выражению метода возможных направлений получается точка xk. Если эта точка также принадлежит области D, то осуществляется переход к точке xk+1. Если же , то необходимо найти граничную точку xk на поверхности области D. В результате выявляется активное ограничение (рис. 5-8), которое можно рассматривать как равенство. Однако правомерность такого перехода должна быть обоснована, так как не исключаются ситуации, подобные представленной на рис. 5-8. Здесь точка . Движение по антиградиенту с оптимальной длиной шага приводит в точку . Пусть найдена граничная точка x'. Если в дальнейшем ограничение рассматривать как равенство, то будет найден экстремум на ограничивающей поверхности в точке x". Как видим, в данном случае решение оказывается неправильным, так как фактически следует найти точку абсолютного минимума .

Метод штрафных функций. Для решения задачи отыскания экстремума целевой функции F (x,y) в допустимых областях Dy и Dz рассматривается новая функция , которая в отличие от F(x,у) определена в пространстве зависимых переменных при и (где рассматриваются в виде переменных, зависимых от x и у). Это свойство новой функции и достигается за счет введения штрафных функций Ш(y) и Ш(z), подчиняющихся условиям:

.

 

22.2 Учет ограничений  в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций

Эти условия означают следующее: если взята некоторая  точка хk так, что соответствующие ей зависимые переменные yk и zk удовлетворяют ограничениям и , то штраф равен нулю, в противном случае накладывается штраф в виде некоторой положительной добавки к исходной функции F(x,у). Чем существенней отклонение от допустимой области, тем больше величина штрафа. А так как методы возможных направлений в этом случае основываются на построении такой траектории х°, х1,..., хk, в которой Wk<Wk-1, то при надлежащем выборе функции штрафа движение всегда будет происходить в сторону допустимой области.

Штрафные функции должны удовлетворять двум условиям: 1) при их использовании не должны появляться новые локальные минимумы и абсолютный минимум функции W должен совпадать с относительным минимумом исходной целевой функции или быть достаточно близким ему; 2) функция штрафа должна возрастать при увеличении степени нарушения ограничения.

Способ задания квадратичной штрафной функции вида , где , – величины, характеризующие степень нарушения соответствующих ограничений. Коэффициенты штрафа и имеют смысл коэффициентов приведения штрафа к размерности целевой функции.

Выбор коэффициента штрафа существенно влияет на сходимость итерационного  процесса и точность отыскания минимума целевой функции. Чем больше величина , тем круче растет функция W вне области D и тем заметнее функция W приобретает свойства «овражности». Чаще всего при овражных функциях удовлетворительная сходимость не обеспечивается. Коэффициент штрафа влияет и на траекторию спуска.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.1 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе

Преимущество метода Ньютона заключается в том, что  количество итерационных шагов невелико. Как и во всяком итерационном методе, расчет начинается с задания некоторой исходной точки , для которой можно вычислить значение функции . Аппроксимируем в точке зависимость f(x) некоторой другой функцией путем разложения в ряд f(x) и сохранения членов, содержащих вторые производные: (1).

Такая аппроксимация соответствует  замене исходной функции f(x) параболой , совпадающей в точке по значениям первой и второй производных (рис. 5-10). Если обозначить через величину отклонения от , то вместо (1) можно записать   (2).

Найдем такое значение приращения , которое обращает в минимум . Для этого приравняем нулю производную от (2):  , откуда . Следовательно, точку экстремума можно найти из условия .

Если в этой точке  производная  существенно отличается от нуля, то эту точку следует рассматривать как исходную и повторить вычисления. В общем виде рекуррентное выражение итерационного процесса можно представить как .

Таким образом, суть метода заключается в том, что исходная функция заменяется полиномом второй степени – параболой – и  затем отыскивается ее минимум. В  новой точке аппроксимация повторяется, отыскивается ее минимум и т. д.

Аналогично функцию  двух переменных F(х1, х2), которая аппроксимируется разложением в ряд Тейлора, можно представить как (3).

Градиент этой новой  функции в точке ее экстремума равен нулю:

 

23.2 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе

  (4). Решая эту систему относительно и (5), находим точку экстремума, а следовательно, и точку нового приближения х1:   (6).

Геом-я интерпретация рассмотренного случая представлена на рис. 5-11. Истинная зависимость F(x) заменена параболоидом , линии равного уровня которого в проекции на плоскость осей x1 и х2 - эллипсы. Решение системы (4) позволяет найти центр эллипсов х1, а затем в этой точке повторить аппроксимацию и найти точку х2 и т. д.

Информация о работе Оптимизация режимов ЭЭС