Оптимизация режимов ЭЭС

Этот дифференциальный показатель очень чувствителен к погрешностям измерения расходов и мощностей, может резко меняться, поэтому измеренные характеристики относительных приростов обычно не являются выпуклыми, не удовлетворяют требованиям метода неопределенных множителей Лагранжа и точность их низка.

На рис. 6-9 показаны характеристики относительных приростов различных  гидроагрегатов, полученные при натурных испытаниях. Прежде чем воспользоваться такими характеристиками, нужно их обработать. Некачественность хар-к приводит к снижению эффекта оптимального распределения нагрузки между агрегатами.

14.1 Формулировка задачи оптимизации режима энергосистемы с позиций нелинейного программирования. Основные определения

Как известно, общая задача нелинейного программирования заключается в отыскании экстремума целевой функции F при заданных ограничениях в виде равенств и неравенств. При этом в качестве целевой функции выступает суммарный расход топлива в энергосистеме В.

Расход В есть функция независимых и зависимых переменных. Обозначим через вектор независимых переменных; через вектор зависимых переменных. К независимым переменным относятся активные и реактивные мощности станций. К числу зависимых переменных относятся напряжения генерирующих узлов нагрузочных узлов. Следовательно, задача оптимизации сводится к отысканию экстремума с учетом уравнении связи между зависимыми и независимыми переменными которые часто рассматриваются как ограничения в форме равенств. В качестве уравнений связи используются уравнения, описывающие установившийся  режим электрической   системы,   например уравнения узловых напряжений. Т. к. УУН являются нелинейными, отыскание зависимых переменных связано с задачей расчета режима электрической системы посредством решения УУН.

Целевая функция выглядит следующим образом:

Оптимальный режим должен удовлетворять  системе режимных ограничений в  виде неравенств:

                           (*)

Линия (поверхность) равного уровня целевой функции — геометрическое место точек в пространстве независимых переменных , в которых целевая функция имеет одно и то же значение F = const. На рис. 5-4 показаны проекции линий равного уровня на плоскость , . Каждая из систем неравенств (*) определяет некоторую допустимую область D_x, D_y, D_z. Результирующая область допустимых нормальных режимов D, удовлетворяющих всем перечисленным ограничениям, определяется пересечением  этих областей.

14.2 Формулировка задачи оптимизации режима энергосистемы с позиций нелинейного программирования. Основные определения

Область выпукла, если для любой пары точек данной области отрезок прямой линии, соединяющей   эти  точки, также полностью принадлежит этой области.

Абсолютным  минимумом называется точка экстремума целевой функции без учета ограничений     ( на рис. 5-4).

Относительным экстремумом называется точка на границе области,  где целевая функция принимает минимальное значение внутри области. Точка и соответствующее ей значение целевой функции называются оптимальным решением задачи. Если целевая функция унимодальна (имеет один экстремум), т. е. в любой точке значение , то оптимальное решение является глобальным. Если функция мультимодальна (многоэкстремальна), то найденное экстремальное решение необязательно глобальное и может быть локальным.

Среди ограничений (*) можно  выделить активные и пассивные. Если в точке  тот пли иной параметр принимает граничное значение, то соответствующее ему ограничение называется активным (ограничение II на рис. 5-4), остальные же ограничения — пассивными. Пассивные ограничения можно не учитывать в ходе оптимизации, однако заранее неизвестно, какие из ограничений являются активными, а какие — пассивными, и только поэтому приходится рассматривать всю совокупность ограничений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.1 Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Методы возможных относятся к классу итеративных, т. е. методов последовательных приближений, в которых строится последовательность точек х°, х¹, ..., х^к, стремящихся к значению на основании следующего критерия оптимальности: каждая точка x^k должна быть лучше предыдущей х^k-1: .

Последовательность точек  х^k образует траекторию спуска к минимуму F. Количество шагов в спуске, необходимое для приближения к экстремуму с заданной точностью, зависит как от выбранного исходного приближения х°, так и от способа организации спуска, т. с. перехода от х° к х¹, и т. д.

Суть методов возможных направлений  заключается в том, что спуск  из любой точки х° к  можно осуществить по различным направлениям, называемым возможными, при которых последовательно уменьшается функция F(x).

Все направления можно  разбить на три типа (рис. 5-5): – направления, приводящие к уменьшению целевой функции; – направления, приводящие к возрастанию целевой функции (противоположные направления dir (— ) – также возможные направления спуска); – направления, лежащие в плоскости, касательной к поверхности равного уровня F^о = const, не приводящие к уменьшению функции ни в прямом, ни в обратном направлениях. Таким образом, с учетом реверса любое направление, отличающееся от касательного, следует рассматривать как возможное.

Вектор, ортогональный  к касательной плоскости и  указывающий направление наибольшей скорости возрастания функции F, называется градиентом функции F в точке х° и обозначается как . С точки зрения локальных свойств противоположное ему направление антиградиента является наилучшим из всех возможных направлений, так как оно показывает путь наибольшего убывания функции F(x°).

 

 

 

15.2 Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Критерием выбора возможного направления Δх является условие , означающее, что скалярное произведение  векторов Δх и антиградиента не должно быть равно нулю, т. е. возможное направление не должно быть ортогонально антиградиенту. Если в точке x^k каким-либо образом найдено возможное направление спуска Δx^k, то во всех рассматриваемых методах новая точка на траектории спуска вычисляется по рекуррентному выражению

Различия в многочисленных методах возможных направлений  состоят либо в способах задания  направления спуска, либо в способах определения величины q^k, представляющей собой длину шага вдоль вектора

Все методы нелинейного  программирования, основанные па рекуррентном выражении (5-76), можно разделить на два класса в зависимости от способа задания длины шага: методы использования постоянного шага и методы наискорейшего спуска.

В методе наискорейшего  спуска исходная величина задается в виде константы. Однако для обеспечения сходимости процесса вычислений, чтобы на каждом шаге выполнялся критерий , необходим контроль правильного задания длины шага. При неудачно заданном значении критерий может быть нарушен, т. е. . В этом случае необходимо уменьшить длину шага, т. е. воспользоваться формулой  , где — также некоторая константа, меньшая единицы.

Процедура решения  выполняется до тех пор, пока не будет выполнено условие . При этом в качестве рассматривается последнее значение .

Достоинство методов  этого класса — малый объем  вычислений на шаге. Недостаток заключается  в том, что при неудачно выбранных значениях и количество шагов оптимизации может быть велико и в целом объем вычислений, а следовательно, и время решения задачи могут быть недопустимо большими.

 

 

 

 

 

 

16 Применение метода наискорейшего спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике

В данном методе длина шага q^k зависит от направления спуска Δx^k и вычисляется из условия обеспечения максимального уменьшения целевой функции в заданном направлении. Задача формулируется таким образом, чтобы найти значение , обеспечивающее минимум F(х) на Δx. Функция F(х) изменяется в направлении Δx. Для каждой конкретной задачи и направления может быть построена зависимость F(q) = F (х° + q Δx^k), имеющая один экстремум для унимодальной функции (рис. 5-6). Чтобы найти оптимальную длину шага , необходимо продифференцировать аналитическую функцию F(q) и, приравняв производную нулю решить полученное уравнение относительно q.

Определение величины – задача одномерного поиска экстремума функции одной переменной F(q). Однако путь точного аналитического определения часто оказывается неприемлемым, так как получение зависимости F(q) может быть сопряжено с большими трудностями. Кроме того, уравнение относительно может быть нелинейным, а его решение — непростым. Поэтому зависимость F(q) аппроксимируют чаще всего полиномом второй степени и находят псевдооптимальную длину шага , что следует из .

Параметры полинома a, b, c можно найти, если вычислить любые три точки, удовлетворяющие зависимости F(q). Удобно в качестве узлов аппроксимации принять значения F°, F', F" в точках х°; х' = х° + Δх; х" = х° + 2Δх, т. е. вычислить функцию соответственно в исходной точке, далее в точках х' и х" при одинарном шаге (q = 1) и двойном шаге (q = 2) вдоль вектора Δх. Подставив параметры трех узлов аппроксимации в наш полином, при q = 0, q = 1 и q = 2 получаем соответственно

откуда 

 

 

 

17 Способ вычисления оптимальной длины шага вдоль заданного направления спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике 

В данном методе длина шага q^k зависит от направления спуска Δx^k и вычисляется из условия обеспечения максимального уменьшения целевой функции в заданном направлении. Задача формулируется таким образом, чтобы найти значение , обеспечивающее минимум F(х) на Δx. Функция F(х) изменяется в направлении Δx. Для каждой конкретной задачи и направления может быть построена зависимость F(q) = F (х° + q Δx^k), имеющая один экстремум для унимодальной функции (рис. 5-6). Чтобы найти оптимальную длину шага , необходимо продифференцировать аналитическую функцию F(q) и, приравняв производную нулю решить полученное уравнение относительно q.

Определение величины – задача одномерного поиска экстремума функции одной переменной F(q). Однако путь точного аналитического определения часто оказывается неприемлемым, так как получение зависимости F(q) может быть сопряжено с большими трудностями. Кроме того, уравнение относительно может быть нелинейным, а его решение — непростым. Поэтому зависимость F(q) аппроксимируют чаще всего полиномом второй степени и находят псевдооптимальную длину шага , что следует из .

Параметры полинома a, b, c можно найти, если вычислить любые три точки, удовлетворяющие зависимости F(q). Удобно в качестве узлов аппроксимации принять значения F°, F', F" в точках х°; х' = х° + Δх; х" = х° + 2Δх, т. е. вычислить функцию соответственно в исходной точке, далее в точках х' и х" при одинарном шаге (q = 1) и двойном шаге (q = 2) вдоль вектора Δх. Подставив параметры трех узлов аппроксимации в наш полином, при q = 0, q = 1 и q = 2 получаем соответственно

откуда 

 

18 Применение метода покоординатной оптимизации в электроэнергетике. Внешний и внутренний циклы метода

Метод покоординатной оптимизации  относится к наиболее простым  по реализации алгоритмам. Суть его заключается в том, что в качестве возможных направлений рассматриваются орты исходной системы координат

При этом N шагов по всем независимым переменным образуют внутренний цикл. Это означает, что на первом итерационном шаге минимизируется целевая функция F(x) при изменении только первой переменной, а все остальные переменные остаются неизменными. Если спуск осуществляется с отысканием оптимальной длины шага, то

На втором шаге процедура повторяется для второй переменной: Частная минимизация по всем N переменным образует полный цикл, называемый внешним. Количество внешних циклов, т. е. повторений внутренних циклов, заранее неизвестно и определяется сходимостью вычислительного процесса, которая зависит от свойств минимизируемой функции F(x) и выбора исходного приближения х°. На рис. 1 штриховой линией показана траектория спуска. Несмотря на простоту реализации и малый объем вычислений на шаге, часто от метода приходится отказываться из-за неудовлетворительной сходимости. На рис. 2 приведена геометрическая интерпретация так называемой «овражной» функции для двумерной задачи F(x₁, х₂). Если «дно оврага» не совпадает с направлением координатных осей, то количество шагов становится неприемлемо большим.

 

19.1 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Критерии сходимости. Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска

В градиентных методах движение всегда осуществляется в направлении  наибольшего убывания целевой функции . Вектор градиента определяется через производные функции F(x) по всем независимым переменным .

Таким образом, чтобы  воспользоваться рекуррентным выражением градиентного метода , необходимо на каждом шаге итерационного процесса вычислять значения производных . Для организации скорейшего спуска необходимо определение оптимальной длины шага , которая в этом случае удовлетворяет условию . Это условие означает, что результирующий вектор спуска должен быть таким, чтобы новый градиент стал ортогонален предыдущему.

Рассмотрим два наиболее распространенных критерия окончания  расчета, на основании которых можно судить о степени близости к экстремуму и к окончанию расчета.

Первый  критерий основан на сопоставлении функции цели на двух соседних шагах k и к+1. Если убывание целевой функции мало, т. е. , где – заданная некоторая малая величина, то принимается, что найдено приближенное значение минимума F. Точность отыскания экстремума регулируется величиной : чем меньше , тем точнее решение, но тем больше потребуется итерационных шагов, так как при приближении к экстремуму сходимость методов возможных направлений замедляется.