Контрольная работа по "Статистике"

Вопросы к зачету по предмету «Статистика» соответствуют перечню  изучаемых тем учебных пособий (1 и 2 частей) (см. Оглавление)

 

 

Номер зачетной книжки = 9, т.е. n = 9.

 

Для решения  задач использовать последний номер  зачетной книжки вместо n, если требуется его подставить для вычислений, или использовать последовательность данных в таблице с позиции, начиная с номера n.

 

Пример 1. С вероятностью 0,997 рассчитать предельную ошибку среднего веса изделия, если при собственно случайной бесповторной выборке (n*100) изделий он оказался равным (n*40) г., среднее квадратическое отклонение – n*10 г. При этом в партии осталось необследованными (4n*100) изделий.

Исходные данные: собственно случайная бесповторная выборка F(t) = 0,997; n = 100 * 9 = 900 (изд);

N = 100 * 9 + 4 * 9 * 100 = 900 + 3600 = 4500 (изд);

σ² = 9 * 10 = 90 (г), = 9 * 40 = 360 (г), где

F(t) - функции Лапласа,  которая позволяет определить  по таблице значений функции  Лапласа параметр t (коэффициент доверия), необходимый для определения предельной ошибки выборки. По задаче t = 3.

n – численность выборочной совокупности;

N – численность генеральной совокупности.

σ² - среднее квадратическое отклонение.

Найти: предельная ошибка выборки ∆_x.

Решение.

Предельная ошибка выборки: ∆_x = ±t * m_х, где m - средняя ошибка выборки; t – коэффициент кратности ошибки.

Средний размер ошибки признака:

 

______________________ ____

m_х = Ö 90 / 900 * (1 – 900 / 4500) = Ö 0,08   = 0,2828 » 0,28 (г)

∆_x = ±t * m_х = ± 3 * 0,2828 = ± 0,8484 » ± 0,85 (г)

Средний вес изделия  будет находиться в следующих пределах

 - ∆_x £ £ + ∆_x

360 – 0,85 £ £ 360 + 0,85

Ответ: С вероятностью 0,997 предельная ошибка среднего веса изделия при собственно случайной бесповторной выборке составляет ± 0,85 г.

 

Пример 2. Из n*100 отобранных изделий 95% соответствовали первому сорту. Определить среднюю ошибку выборки и границы, в которых находится доля продукции первого сорта во всей партии, с вероятностью 0,954. Отбор производился собственно случайным повторным способом.

 

Исходные данные: собственно случайная повторная выборка, F(t) =0,954; n = 100 * 9 = 900 (изд);

w = 0,95, где

F(t) - функции Лапласа,  которая позволяет определить  по таблице значений функции  Лапласа параметр t (коэффициент доверия), необходимый для определения предельной ошибки выборки. По задаче t = 2,

n – численность выборочной совокупности;

w - доля продукции первого сорта во всей партии.

Найти: средняя ошибка выборки, доверительные интервалы для генеральной доли.

 

 

Решение:

Расчет предельной ошибки повторной случайной выборки. Предельная ошибка для доли (∆_p)

, где 

_________________

∆_p = ± 2 * Ö0,95 * (1 – 0,95) / 900 = ± 2 * 0,00726 = ± 0,01453 или ± 1,45%

Доверительные интервалы  для генеральной доли устанавливаются  на основе соотношений

 

Итак, 95 – 1,45 £ ρ £ 95 + 1,45

Ответ: средняя ошибка выборки ± 1,45%, доверительные интервалы для генеральной доли

95 – 1,45 £ ρ £ 95 + 1,45

 

Пример 3. С вероятностью 0,954 определить пределы генеральной средней по следующим результатам типической повторной выборки:

Номер района	Отобрано единиц (fi)	Средняя величина признака (y)	Дисперсия (σ2i)
1	3n*100 = 3 * 9 * 100 = 2700	n*10 = 9 * 10 = 90	n*100 = 9 * 100 = 900
2	2n*100 = 2 * 9 * 100 = 1800	n*10+n = 9 * 11 =99	2n*100 = 2 * 9 * 100 = 1800
3	n*100 = 9 * 100 = 900	n*10+2n = 9 * 12 = 108	3n*100 = 3 * 9 * 100 = 2700

 

Исходные данные: типическая повторная выборка, F(t) =0,954 (значит, t = 2)

Найти: доверительные интервалы для генеральной средней

 

Решение:

В формуле предельной ошибки типической выборки учитывается  средняя из групповых дисперсий, т.е.

, где n - численность выборочной совокупности, t – коэффициент кратности ошибки, - средняя из групповых дисперсий.

= ∑ σ²_i * f_i / ∑ f_i = (900 * 2700 + 1800 * 1800 + 2700 * 900) / (2700 + 1800 + 900) = 8100000 / 5400 = 1500

n = 2700 + 1800 + 900 = 5400

________

∆_х = ± 2 * Ö1500 / 5400 = ± 2 * 0,527 » ± 1,0541

Доверительные интервалы  для генеральной средней можно  установить на основе соотношений

, где  - генеральная и выборочная средние соответственно; - предельная ошибка выборочной средней.

 = ∑ y * f_i / ∑ f_i = (90 * 2700 + 99 * 1800 + 108 * 900) / (2700 + 1800 + 900) = 518400 / 5400 = 96

96 – 1,0541 £ £ 96 + 1,0541

Ответ: доверительные интервалы для генеральной средней 96 – 1,0541 £ £ 96 + 1,0541

 

Пример 4. Из ранее проведенных обследований известно, что среднее квадратическое отклонение веса детали не превышает (n+1) г. С вероятностью 0,954 определить необходимый объем собственно случайной повторной выборки для определения среднего веса детали при условии, что предельная погрешность не должна превышать (n+2)*0.05 г.

Исходные данные: собственно случайная повторная выборка F(t) = 0,954;

σ² £ (9 + 1) (г), ∆_х £ ((9 + 2) * 0,05) г (∆_х £ 0,55 г), где

F(t) - функции Лапласа,  которая позволяет определить  по таблице значений функции  Лапласа параметр t (коэффициент доверия), необходимый для определения предельной ошибки выборки. По задаче t = 2;

σ² - среднее квадратическое отклонение веса детали; ∆_х - предельная погрешность.

Найти: n – объем собственно случайной повторной выборки.

Решение:

Формула для средней  при повторном способе:

n = (t² * σ²) / ∆_x². где t – коэффициент кратности ошибки.

n = (2² * 10) / 0,55² = 132,23 (детали)

Ответ: объем выборки должен быть 133 детали, чтобы с вероятностью 0,954 можно было определить средний вес детали при условии, что предельная погрешность не должна превышать 0,55 г.

 

Пример 5. Генеральная доля примерно оценивается в (1/n)*100%. Какой должен быть объем собственно случайной повторной выборки, чтобы ошибка выборочной доли не превышала (n+1)% с вероятностью 0,997?

Исходные данные: собственно случайная повторная выборка F(t) = 0,997; w = 1/9 * 100% = 11,11%,

∆_р £ (9 + 1) (∆_р £ 10), где

F(t) - функции Лапласа,  которая позволяет определить  по таблице значений функции  Лапласа параметр t (коэффициент доверия), необходимый для определения предельной ошибки выборки. По задаче t = 3;

w - генеральная доля; ∆_р – ошибка выборочной доли.

Найти: n – объем собственно случайной повторной выборки.

Решение:

Формула для доли при  повторном способе 

n = 3² * 0,1111 * (1 – 0,1111) / 10² » 0,00889

Ответ: объем собственно случайной повторной выборки должен быть 0,0089, чтобы ошибка выборочной доли не превышала 10% с вероятностью 0,997.

 

Пример 6. Произвести анализ динамики производства продукции за 10 условных лет (взять10 строк  начиная со строки с номером n) по следующим данным в столбце 2 и 3 таблицы в Приложении 1. Определить показатели динамики.

Решение:

1. Рассчитаем необходимые  показатели, сделаем вывод на  примере 18 условного года.

Условный год (n)	Объем продукции (y), млн т	Абсолютный  прирост		Темп роста		Темп прироста		Аiц
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
9	111,3	-	-	100	100	-	-	-
10	115,3	1,8	4	103,59	103,59	3,59	3,59	1,113
11	112,8	-2,5	1,5	97,83	101,35	- 2,17	1,35	1,153
12	110,6	-2,2	-0,7	98,05	99,37	- 1,95	-0,63	1,128
13	109,5	-1,1	-1,8	99,01	98,38	- 0,99	-1,62	1,106
14	107	-2,5	- 4,3	97,72	96,14	- 2,28	-3,86	1,095
15	104,8	-2,2	-6,5	97,94	94,16	- 2,06	- 5,84	1,07
16	103,4	-1,4	-7,9	98,66	92,9	- 1,34	- 7,1	1,048
17	106,6	3,2	-4,7	103,09	95,78	3,09	-4,22	1,034
18	109,7	3,1	-1,6	102,91	98,56	2,91	-1,44	1,066
Среднее значение	109,1 млн.т.	- 0,1778 млн. т.		99,84%		0,16%.		1,1113 млн.т.

 

а) Абсолютный базисный и цепной прирост вычисляются следующим образом:

• Δ^б_i =Y_i-Y₀, где Y_i- данный уровень;Y₀-уровень, принятый за базу сравнения;

Δ^б₁₀ = 115,3 -111,3 = 4 (млн. т.)

Δ^б₁₁ = 112,8 – 111,3 = 1,5 (млн. т.)

Δ^б₁₂ = 110,6 –111,3 = - 0,7 (млн. т.)

Δ^б₁₃ = 109,5 – 111,3  = - 1,8 (млн. т.)

Δ^б₁₄ = 107 – 111,3  = - 4,3 (млн. т.)

Δ^б₁₅ = 104,8 – 111,3  = - 6,5 (млн. т.)

Δ^б₁₆ = 103,4 – 111,3  = - 7,9 (млн. т.)

Δ^б₁₇ = 106,6 – 111,3  = -4,7 (млн. т.)

Δ^б₁₈ = 109,7 – 111,3  = -1,6 (млн. т.)

Вывод. В 18 условном году по сравнению с 9 условным годом производство продукции уменьшился на 1,6 млн.т.

 

Δ^ц_i=Y_i-Y_i-1; где Y_i- данный уровень;Y_i-1- уровень, предшествующий данному уровню.

Δ^ц₁₀= 115,3 -111,3 = 4 (млн. т.)

Δ^ц₁₁= 112,8 – 115,3 = -2,5 (млн. т.)

Δ^ц₁₂= 110,6 – 112,8 = -2,2 (млн. т.)

Δ^ц₁₃= 109,5 – 110,6 = -1,1 (млн. т.)

Δ^ц₁₄= 107 – 109,5 = - 2,5 (млн. т.)

Δ^ц₁₅= 104,8 – 107 = -2,2 (млн. т.)

Δ^ц₁₆= 103,4 – 104,8 = -1,4 (млн. т.)

Δ^ц₁₇= 106,6 – 103,4 = 3,2 (млн. т.)

Δ^ц₁₈= 109,7 – 106,6 = 3,1 (млн. т.)

Вывод. В 18 условном году по сравнению с 17 условным годом производство продукции увеличилось на 3,1 млн.т.

 

б) Темп роста, цепной и базисный, рассчитывается по следующей формуле:

К_р^б_i=Y_i/Y₀; где У_i- данный уровень;Y₀-уровень, принятый за базу сравнения;

К_р^б₁₀=115,3/111,3 =1,0359 или 103,59%

К_р^б₁₁=112,8/111,3 =1,0135 или 101,35%

К_р^б₁₂=110,6/111,3 =0,9937 или 99,37%

К_р^б₁₃=109,5/111,3 =0,9838 или 98,38%

К_р^б₁₄=107/111,3 =0,9614 или 96,14%

К_р^б₁₅=104,8/111,3 =0,9416 или 94,16%

К_р^б₁₆=103,4/111,3 =0,929 или 92,9%

К_р^б₁₇=106,6/111,3 =0,9578 или 95,78%

К_р^б₁₈=109,7/111,3 =0,9856 или 98,56%

Вывод. В 18 условном году производство продукции составило 98,56% объема производства продукции по сравнению с 9 условным.

 

К_р^ц_i=Y_i/Y_i-1; где Y_i-уровень;Y_i-1- уровень, предшествующий данному уровню.

К_р^ц₁₀= 115,3/111,3 =1,0359 или 103,59%

К_р^ц₁₁= 112,8/115,3=0,9783 или 97,83%

К_р^ц₁₂= 110,6/112,8=0,9805 или 98,05%

К_р^ц₁₃= 109,5/110,6=0,9901 или 99,01%

К_р^ц₁₄= 107/109,5=0,9772 или 97,72%

К_р^ц₁₅= 104,8/107=0,9794 или 97,94%

К_р^ц₁₆= 103,4/104,8=0,9866 или 98,66%

К_р^ц₁₇= 106,6/103,4=1,0309 или 103,09%

К_р^ц₁₈= 109,7/106,6=1,0291 или 102,91%

Вывод. В 18 условном году по сравнению с 9 условным годом производство продукции увеличилось в 1,0291 раза.

 

в) Темпы прироста вычисляются так:

Т_прi=100%(К_р-1); где К_р - коэффициент роста.

 

Т^б_пр10=100%(1,0359 -1)=3,59%

Т^б_пр11=100%(1,0135 -1)=1,35%

Т^б_пр12=100%(0,9937-1)= -0,63%

Т^б_пр13=100%(0,9838 -1)= -1,62%

Т^б_пр14=100%(0,9614 -1)= -3,86 %

Т^б_пр15=100%(0,9416 -1)= - 5,84%

Т^б_пр16=100%(0,929 -1)= - 7,1%

Т^б_пр17=100%(0,9578 -1)= -4,22%

Т^б_пр18=100%(0,9856 -1)= -1,44%

Вывод. В 18 условном году по сравнению с 9 условным годом производство продукции уменьшилось на 1,44%.

 

T^ц_пр10=100%(1,0359 -1)=3,59%

T^ц_пр11=100%(0,9783-1)= - 2,17%

T^ц_пр12=100%(0,9805 -1)= - 1,95%

T^ц_пр13=100%(0,9901 -1)= - 0,99%

T^ц_пр14=100%(0,9772-1)= - 2,28%

T^ц_пр15=100%(0,9794 -1)= - 2,06%

T^ц_пр16=100%(0,9866 -1)= - 1,34%

T^ц_пр17=100%(1,0309 -1)=3,09%

T^ц_пр18=100%(1,0291 -1)=2,91%

Вывод. В 18 условном году по сравнению с 9 условным годом производство продукции увеличилось на 2,91%.

 

г) Абсолютное значение 1% прироста (убыли) вычисляется следующим образом:

А_i^ц=Δ_i^ц/Т_прi^ц = 0,01 * y_i-1; где Δ_i^ц- абсолютный цепной прирост; Т_прi^ц- цепной темп прироста; у_i-1 – уровень, принятый за базу сравнения. Можно использовать 2 метода. Неточности вычислений возможны из-за округлений в ходе решения задачи.

А₁₀^ц=4/3,59%=1,114(%)^-1 или 0,01 * 111,3 = 1,113 (млн.т.)

А₁₁^ц=(-2,5) /(- 2,17)%=1,152 (%)^-1 или 0,01 * 115,3 = 1,153 (млн.т.)

А₁₂^ц=(-2,2)/( -1,95) %=1,128 (%)^-1 или 0,01 * 112,8 = 1,128 (млн.т.)

А₁₃^ц=(-1,1)/( - 0,99) %=1,111 (%)^-1 или 0,01 * 110,6 = 1,106 (млн.т.)

А₁₄^ц=(-2,5)/(-2,28)%= 1,096 (%)^-1 или 0,01 * 109,5 = 1,095 (млн.т.)

А₁₅^ц=(-2,2)/(-2,06)%=1,07 (%)^-1 или 0,01 * 107 = 1,07 (млн.т.)

А₁₆^ц=(-1,4)/(-1,34)%=1,045 (%)^-1 или 0,01 * 104,8 = 1,048 (млн.т.)

А₁₇^ц=3,2/3,09%=1,035 (%)^-1 или 0,01 * 103,4 = 1,034 (млн.т.)

А₁₈^ц=3,1/2,91%=1,065 (%)^-1 или 0,01 * 106,6 = 1,066 (млн.т.)

Вывод. 1% прироста производства продукции в 18 условном году составил 1,066 млн. т.

 

2.Определение средней  величины уровня динамического  ряда, абсолютных приростов, средний  темп роста, средний темп прироста, абсолютное значение 1% прироста.

 

Среднее значение уровней интервального динамического  ряда определяется:

у_cр=Σ y_i/n; где y_ср- среднее значение уровней ряда динамики, y_i- данный уровень, n- количество уровней ряда динамики.

у_ср = (111,3+115,3+112,8+110,6+109,5+107+104,8+103,4+106,6+109,7)/10=109,1 (млн.т.)

Вывод. В среднем за 1 условный год объем производства продукции составляет 109,1 (млн.т.)

 

Средний абсолютный прирост определяется:

∆у_ср = (у_n – у₁) / (n - 1)= (109,7 – 111,3) / (10 – 1) = - 0,1778 (млн. т.)

Вывод. В среднем за 10 условных лет объем производства продукции уменьшался на 0,1778 млн. т.