Курс лекций по "Статистике"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция 7. Вариация признаков, показатели вариации.

 

1. Понятие о вариации признаков. Показатели вариации.
2. Виды дисперсии. Правило сложения дисперсий.
3. Дисперсия альтернативного признака.
4. Основные свойства дисперсии.

 

                                                     -1-

Признаки, изучаемые статистикой  подвержены колебаниям. Эти колебания обусловлены тем, что на величину признака у отдельных единиц совокупности оказывают влияние различные факторы, вариация признаков может быть большей или меньшей, а поэтому возникает необходимость в её измерении.

Различают несколько показателей  вариации:

1. Размах вариации.
2. Среднее линейное отклонение.
3. Дисперсия.
4. Среднее квадратическое отклонение.
5. Коэффициент вариации.

Размах вариации является наиболее простым из показателей вариации. Обозначается R. Его исчисляют как разность между наибольшим  и наименьшим значением признака т.е.

Различия величин отдельных  вариантов означает различные размеры  их отклонений от средней. Чем больше индивидуальные значения признаков различаются между собой, тем больше они отличаются и от своей средней.

Степень размера отклонений от средней измеряется показателем среднее линейное отклонение (l).

В случае, если варианты в распределении не повторяются или их веса равны единице, то среднее линейное отклонение исчисляется по формуле.

 

Средняя величина отклонения признака от средней берется без учёта  алгебраического знака, т.е. по модулю, поскольку при суммировании отклонений в их алгебраическом виде всегда получается «0», в соответствии со свойством №1 средней арифметической.

Пример: даны показатели о выполнении рабочими норм выработки. Определить среднее  линейное отклонение (l).

 

 

Чтобы определить средне квадратическое отклонение нужно проделать ряд операций:

1. Найти отклонение каждой варианты ряда от средней арифметической.
2. Возвести эти отклонения в квадрат
3. Каждый квадрат отклонения умножить на соответствующую частоту и просуммировать.
4. Полученную сумму разделить на сумму частот. В результате этого деления получим средний квадрат отклонений от средней арифметической, который называется дисперсией.

 

5. Определив из этой величины квадратный корень получим средне квадратическое отклонение.

 

Средне квадратическое отклонение всегда выражается в тех именованных числах,  в которых выражены варианты и средние.

Коэффициент вариации даёт относительную  оценку вариации и позволяет сравнивать степень вариации признаков различных вариационных рядов. он представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

 

  Коэффициент вариации, величина  которого превышает 30%, свидетельствует о большой колеблемости значений признака в данной совокупности.

 

 

                                                       -2-

Дисперсия широко используется при  анализе  статистических показателей. Различают общую, межгрупповую и внутригрупповую дисперсии.

Величина общей дисперсии характеризует  вариацию признака под влиянием всех условий , вызвавших эту вариацию.

 

 

Межгрупповая дисперсия или  дисперсия  групповых средних  характеризует  различия в величине изучаемого результативного признака, возникающего  под  влиянием  одного условия ( признака, фактора), положенного в основание группировки:

                                    , где           - это общая дисперсия по каждой  группе

                                                   -численность каждой группы 

 

Пример. Группировка рабочих по признаку “Техническое обучение”

Группы рабочих	Число рабочих	Выработка изделий, шт.	Групп.средн.
Прошли техн.обучение	4	9,8,8,7	8
Не прошли техн. обучение	4	8,7,7,6	7

 

 

1)

2)

 

 

 

 

 

 

Правило сложения заключается в  следующем : общая дисперсия признака  всегда равна сумме дисперсии межгрупповой и внутригрупповой, т.е.

 

 

Зная общую дисперсию и межгрупповую дисперсию, можно судить о силе влияния  группировочного признака на результативный, т.е. определить эмпирическое  корреляционное отношение :

 

Значение             =1 при равенстве числителя и  знаменателя, в этом случае влияние  прочих факторных признаков равно 0, весьма значительно влияние группировочного признака.

Значение             =0, в этом случае влияние группировочного признака на результативный равно пустому множеству.

Промежуточное значение         оценивается по  степени близости к пределам, т.е. фактор, положенный в основу группировки существенно  влияет на результативный признак, но также существуют и другие факторы, влияние которых значительно.

 

 

             Фактор технического обучения  работников объясняет 57,7% вариаций, производительности труда работников, а не учтённые факторы 42,3%.

 

                                      

 

                                                      -3-

 

Среди варьирующих признаков, которые  изучает статистика, встречаются  признаки, вариация которых проявляется  в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, а у других нет.

Признаки, которыми обладают одни и  не обладают другие единицы, называются альтернативными.

В количественно-вариационной альтернативе признак проявляется в значении пустого множества у единиц, которые им не обладают и в значении, равном 1, у единиц, обладающим этим признаком. Доля единиц, обладающих этим признаком в численности всей совокупности, обозначается р, а доля единиц, не обладающих этим признаком-q, значит p+q=1.

Определим среднее значение альтернативного  признака:

 

 

Значение  признака	Численность 1
0 1	q p

т.е. среднее значение альтернативного  признака равно доле  единиц, обладающих этим признаком.

Определим дисперсию альтернативного  признака.

 

 

                 

Предельное значение дисперсии  альтернативного признака равно 0,25

 

                                                        -4-

Свойства дисперсий:

а) если из всех значений вариантов  отнять какое-либо произвольное число, то дисперсия от этого не изменится.

б) если все значения вариантов разделить  на какое-либо постоянное число А, то дисперсия уменьшится от этого в            раз. 

в) свойство минимальности, если исчислить  дисперсию от любой величины А  в той или иной степени отличающейся от среднего арифметического   , то она всегда будет большей дисперсии, исчисленной от среднего арифметического.

 при этом на вполне определённую  величину, т.е. на величину разности  между средней и этой условно взятой величиной               , это можно записать так

 

или это равно 

 

В том случае, когда А равно 0 и следовательно не вычисляем отношение, формула принимает следующий вид:

                                       

т.е.

 

Таким образом, дисперсия равна  разности среднего квадрата значения признака и квадрата среднего значения признака.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция 8. Выборочное наблюдение

 

1. Понятие о выборочном наблюдении. Этапы проведения выборочного наблюдения.
2. Генеральная и выборочная совокупности. Их характеристики.
3. Средняя и предельная ошибки выборки.
4. Способы отбора единиц в выборочную совокупность.
5. Способы распространения данных выборочного наблюдения.

 

                                                    -1-

Выборочным наблюдением называют такое не сплошное наблюдение, при  котором статистическому наблюдению подвергаются  не все единицы  изучаемой совокупности, а лишь отобранные в определённом порядке.

Его цель состоит в том, чтобы  по характеристикам отобранной части  единиц судить о характеристиках  всей совокупности.

Выборочное наблюдение состоит  из следующих этапов :

1) Постановка цели наблюдения.

2) Составление программы наблюдения  и разработки данных.

3) Решение организационных вопросов  наблюдения.

4) Определения % отбора и способа  отбора.

5) Проведение отбора.

6) Регистрация соответствующих  признаков по программе у отобранных  единиц.

7) Обобщение данных наблюдения  и расчёт выборочных характеристик.

8) Расчёт ошибок выборки.

9) Пересчёт выборочных характеристик на всю совокупность.

 

Применение выборочного наблюдения обусловлено следующими причинами:

1. Выборочное наблюдение является экономически более выгодным, чем сплошное.
2. Применяя выборочное наблюдение, можно получить необходимые данные значительно быстрее, чем при сплошном наблюдении.
3. При выборке обследованию подвергают сравнительно небольшую часть обследуемой совокупности, поэтому создаётся возможность более подробного изучения объекта наблюдения.
4. Применение выборочного наблюдения для уточнения результатов сплошного наблюдения.
5. В случаях , когда обследование каждой единицы связано с её частичным или полным уничтожением, применение невозможно, поэтому используют выборку.

 

                                                         -2-

Совокупность единиц, из которых  производится отбор некоторой части  единиц совокупности, называется генеральной совокупностью.

Характеристики этой совокупности также называются генеральными.

1) Средняя величина признака в  этой совокупности называется  генеральной средней и обозначается 

2) Отношение числа единиц генеральной  совокупности, обладающих данным

изучаемым признаком по всему числу  единиц генеральной совокупности называется генеральной долей. 

 

 

где   М-число единиц, обладающих данным признаком,

 N-объём генеральной совокупности.

 

3) Отношение числа единиц в  генеральной совокупности, не обладающих  данным признаком к объёму  совокупности, будет представлять  собой долю единиц q, не обладающих данным признаком.

 

 

Совокупность единиц, отобранных для  выборочного наблюдения, называется выборочной совокупностью.

Её характеристики:

1. Выборочной средней называется средняя величина признака в выборочной совокупности 
2. Число в выборочной совокупности, обладающих данным признаком, называется частотой m.
3. Относительная численность единиц выборочной совокупности, обладающих данным признаком, называется частостью.

          , где  n-объём выборки, число единиц выборочной совокупности.

Частость показывает, какая доля выборочной совокупности обладает изучаемым признаком.

 

                                                          -3-

Чтобы оценить качество материалов, полученных выборочным наблюдением, необходимо выяснить расхождения между выборочной и генеральной характеристиками.

 При выборочном наблюдении  могут возникнуть ошибки двух  видов:

1) Ошибки регистрации

2) Ошибки репрезентативности.

Ошибками регистрации называются такие погрешности, которые возникают  вследствие неправильной регистрации  данных об отдельных обследуемых  единицах.

Ошибками репрезентативности называются расхождения между обобщающими показателями отобранной части совокупности и всей совокупностью в целом в условиях правильной регистрации данных. Кроме того, ошибки регистрации и ошибки репрезентативности могут быть систематическими и случайными.

Систематические ошибки возникают  в силу нарушения принципа проведения выборочного наблюдения, т.е. неправильное производство отбора, произвольная замена попавших в выборку единиц другими единицами совокупности.

Расхождения между характеристиками отобранной части совокупности и  характеристиками совокупности в целом  в условиях правильно произведённого отбора и правильной регистрации носят название случайных ошибок репрезентативности или ошибки выборки.