Курс лекций по "Статистике"

(4.5)

где Р_т – уровень текущий; Р_б – уровень базисный;

(4.6)

где Р_т – уровень текущий; Р_{т-1 –} уровень, предшествующий текущему.

Относительная величина сравнения (ОВСр) – соотношение одноименных абсолютных показателей, относящихся к разным объектам, но к одному и тому же времени (например, соотносятся темпы роста населения в разных странах за один и тот же период времени):

(4.7)

где МА – показатель первого одноименного исследуемого объекта; МБ – показатель второго одноименного исследуемого объекта (база сравнения).

Все предыдущие показатели относительных величин характеризовали  соотношения одноименных статистических объектов. Однако есть группа относительных  величин, которые характеризуют  соотношение разноименных, но связанных  между собой статистических показателей. Эту группу называют группой относительных величин интенсивности (ОВИ), которые выражаются, как правило, именованными числами. В статистической практике относительные величины интенсивности применяются при исследовании степени объемности явления по отношению к объему среды, в которой происходит распространение этого явления. ОВИ здесь показывает, сколько единиц одной совокупности (числитель) приходится на одну, на десять, на сто единиц другой совокупности (знаменатель).

Примерами относительных величин интенсивности могут служить, скажем, показатели уровня технического развития производства, уровня благосостояния граждан, показатели обеспеченности населения средствами массовой информации, предметами культурно-бытового назначения и т.д. ОВИ рассчитывается по формуле

(4.8)

где А – распространение явления;

В_А – среда распространения явления А.

При расчете относительных  величин интенсивности может  возникнуть проблема выбора адекватной явлению базы сравнения (среды распространения явления). Например, при определении показателя плотности населения нельзя брать в качестве базы сравнения общий размер территории того или иного государства, в этом случае базой сравнения может быть лишь территория в 1 км². Критерием правильности расчета является сопоставимость по разработанной методологии расчета сравниваемых показателей, применяющихся в статистической практике.

 

 

Тема 5. Средние величины как статистические показатели

 

1. Понятие  средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

2. Виды  средних величин и методы их  расчета

 

1. Понятие  средней величины. Область применения  средних величин в статистическом  исследовании

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения  полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

 

2. Виды средних величин и методы их расчета

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Используются две категории средних величин:

1. степенные средние;

2. структурные средние.

Степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую и среднюю геометрическую.

Структурные средние – это мода и медиана.

Различные средние выводятся  из общей формулы степенной средней:

(5.1)

при k = 1 – средняя арифметическая;

k = – 1 – средняя гармоническая;

k = 0 – средняя геометрическая;

k = -2 – средняя квадратическая.

Средние величины бывают двух видов:

1. Простые.

2. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая – это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической простой имеет вид

(5.2)

где n – численность совокупности.

При расчете средних  величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид

  (5.3)

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень  важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить четырех свойства средней арифметической в статистико-экономических расчетах:

1. Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

2. Свойство второе: если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Свойство третье: средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число.

4. Свойство четвертое: если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая – это обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая  используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно  вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

(5.4)

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

(5.5)

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или  объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении  для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.

Для простой средней геометрической

(5.6)

Для взвешенной средней  геометрической

(5.7)

Средняя квадратическая величина – сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула простой средней квадратической

(5.8)

Формула взвешенной средней  квадратической

(5.9)

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней  величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач  статистического исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность следующих этапов:

а) установление обобщающего  показателя совокупности;

б) определение для  данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с  помощью соответствующего уравнения.

 

 

Тема 6. Анализ вариации

 

1. Понятие  вариации. Показатели вариации

2. Виды (показатели) дисперсий и правило  их сложения

 

1. Понятие  вариации. Показатели вариации

Вариация – это количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение – variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

Для измерения вариации признака используют следующие показатели:

1. Абсолютные показателям вариации включают:

1.1. размах вариации,

1.2. среднее линейное отклонение,

1.3. среднее квадратическое отклонение,

1.4. дисперсию.

2. Относительным показателям вариации включают:

2.1. коэффициент осцилляции,

2.2. линейный коэффициент вариации,

2.3. относительное линейное отклонение.

Размах вариации (R) – это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

(6.1)

Среднее линейное отклонение (d), которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

Формула среднего линейного отклонения (простая)

(6.2)

Формула среднего линейного отклонения (взвешенная)

(6.3)

При использовании показателя среднего линейного отклонения приходится иметь дело не только с положительными, но и с отрицательными величинами, было предложено возводить все отклонений во вторую степень. К таким показателям относятся среднее квадратическое отклонение  и среднее квадратическое отклонение в квадрате, которое называют дисперсией.

Средняя квадратическая простая

(6.4)

Средняя квадратическая взвешенная

(6.5)

Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной  и простой:

(6.6)

Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных величинах. Данные показатели выражаются в процентах рассчитываются по следующим формулам:

1. коэффициент осцилляции – отношение размаха вариации к средней величине признака,

2. линейный коэффициент вариации – отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака,

3. коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака.

В статистической практике наиболее часто применяется коэффициент  вариации. Он используется не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

 

2. Виды (показатели) дисперсий и правило их сложения

Различают три вида дисперсий:

1. общая;

2. средняя внутригрупповая;

3. межгрупповая.

Общая дисперсия ( ) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

(6.8)

Средняя внутригрупповая  дисперсия ( ) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам ( ), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия ( ):