РАСЧЕТНО–ГРАФИЧЕСКАЯ  РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математическое моделирование  и теория подобия  в механике» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Новосибирск 2006

 

       Содержание 

      Введение

 

      В результате развития производства и, в  частности, вследствие строительства  однотипных конструкций машин и  сооружений возникло моделирование, основой которого является подобие явлений по ряду признаков. При строительстве новых объектов без правильно построенной модели «эксперимент» может оказаться неэкономичным. Поэтому для изучения различных явлений или процессов, происходящих в сооружении, необходимо предварительно изучить их на модели, а затем сделать прогноз о его судьбе на какой-то отрезок времени.

      Моделирование находит применение как метод  познания, исследования и расчета  при решении вопросов строительства  гидротехнических сооружений, высотных зданий, мостов, конструкций кораблей, самолетов и ряда новых машин, серийный выпуск которых требует предварительного изучения ранее созданных образцов и экспериментирования с новыми образцами.

      Эксперимент  является одним из краеугольных камней познания, методом исследования, при помощи которого проверяется справедливость гипотез, догадок, моделей и устанавливаются значения ряда коэффициентов и показателей. Теория подобия является в известной мере «грамматикой» эксперимента.

      Акад. М. В. Кирпичев в своих работах  показал, что теория подобия является теорией эксперимента и моделирования, что она указывает, как нужно  ставить опыт, обрабатывать опытные  данные, а также обобщать и распространять полученные результаты на другие объекты.

      Теория  подобия исходит из тех же предпосылок, что и аналитический расчет: должны быть заданы начальные (граничные) условия, параметры и координаты исследуемого процесса. Теория подобия, таким образом, служит связующим звеном между теорией  и экспериментом.

      Постановка  и задача эксперимента на основе теории подобия и размерностей упрощается и облегчается еще благодаря  тому, что в этом случае находится  функциональная связь между целыми комплексами величин, определяющих явление (в ряде случаев нет необходимости изучать влияние на процесс каждого фактора в отдельности). Кроме того, имеется (в известных границах) возможность распространения результатов единичного опыта на подобные системы.

 

1.   Единицы измерения. Переход от одних единиц измерения к другим.

 

      Измерить  какую-либо величину Q — это значит сравнить ее с другой величиной q той же физической природы, т.е. определить, во сколько раз Q больше q. Для единообразия устанавливают (в масштабе страны, континента, всего мира) определенное значение величины q и называют ее единицей измерения. Так, за единицу длины (метр) принимается длина 1650763,33 волн излучения атома криптона. Единицы измерения различных физических величин, объединенные на основе их непротиворечивости друг другу, образуют систему единиц. Наиболее распространенной и имеющей предпочтительное применение является Международная система единиц (СИ) (System International).

      Основные единицы в СИ – это масса (килограмм, кг), длина (метр, м), время (секунда, сек), сила тока (ампер, а), температура (градус Кельвина, К°) и сила света (свеча, св). Единицы измерения остальных, вторичных, величин выражаются через основные. Формула, указывающая зависимость единицы измерения вторичной величины от основных единиц измерения, называется размерностью этой величины.

        Размерность любой физической  величины представляет собой  произведение возведенных  в степень размерностей первичных величин. 

      При решении какой-либо задачи очень  редко бывает так, что имеются  шесть основных единиц измерения. Для большей наглядности будем иметь в виду только механические системы с их тремя основными единицами измерения; легко заметить, что общность получаемых ниже выводов от этого не теряется. Как известно, этими тремя основными единицами являются единицы измерения длины [L], массы [М] и времени [Т].

      Можно ли выбрать в качестве первичных  величин какие-либо три иные: u₁, u₂, u₃. Очевидно, это можно сделать в том случае, если:

      1) размерности [u₁], [u₂], [u₃] являются независимыми функциями [М], [L], [Т], т.  е. при любых a и b;

      2) возможно однозначное обратное преобразование, т.е. [М], [L], [Т] единственным образом можно выразить через [u₁], [u₂], [u₃].

      Выясним, при каком условии оба эти  требования удовлетворяются.

      Пусть размерности u₁, u₂, u₃ таковы:

      

,

      

.

      Прологарифмируем  эти выражения

      

      Как известно, такая система уравнений  имеет решение, и притом единственное, если составленный из коэффициентов  уравнения определитель отличен  от нуля, то есть

            (1)

      Тем самым удовлетворяется второе требование, т. е. при выполнении условия (1) [М], [L], [Т] единственным образом выражается через [u ₁], [u₂], [u ₃].

      В то же время условие (1) указывает  на независимость функций [u₁], [u₂], [u₃].  

 

      

2.   Количество основных единиц измерения. Формула размерностей.

 

      Покажем, что количество основных единиц измерения является в известной степени произвольным. Будем иметь в виду только механическую систему с ее тремя основными единицами [М], [L], [Т].

      1. Пусть первичные величины —  масса, время, длина. Выше сила  считалась вторичной величиной  с определительным уравнением  F=ma. Если же силу примем за первичную величину с произвольно выбираемой единицей её измерения [F]=b, то второй закон Ньютона нужно выразить так:

      F=k₁ma,

      где k₁ — размерный коэффициент.

      Тогда

      

.

      Основных единиц может быть сколь угодно много. При этом с добавлением каждой новой единицы вводится в рассмотрение новая размерная постоянная.

      2. Потребуем, чтобы первичных величин было только две: длина и время. Тогда нужно определительное уравнение для массы. Легко заметить, что таковым может быть закон всемирного тяготения, в котором коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная) принят равным единице:

      

,

      где F — сила взаимодействия между телами с массами т и М, центры масс тел отстоят на расстоянии r .

      Используя определительное уравнение силы F=та, имеем

      

.

      Отсюда

      

.

      За  единицу массы здесь принимается масса тела, которая сообщает другому телу при расстоянии между центрами масс, равному 1 м, ускорение 1 м/сек².  

3.   Понятие подобия. Критерии подобия. Необходимые и достаточные условия подобия.

      П - теорема

 

      В теории подобия большое значение имеют безразмерные комплексы величин, представляющие собой произведение различных степеней этих величин; их называют критериями подобия и обозначают П (пи). Критерии подобия используют в качестве параметров и переменных исследуемой системы.

      Независимость s величин П_i означает, что ни для одного значения i не может быть образовано тождество

      

,

      символ  f означает всевозможные операции (умножение, сложение и т. д.).

      Итак, пусть имеется п величин p_i, i=1,2,…,п. Будем рассматривать теперь электромеханические явления; основные единицы измерения [М], [L], [Т].

      Размерность любой величины p_i можно выразить через эти единицы:

      

, i=1, 2,…, n.

      Любой критерий подобия — некоторая  комбинация величин р_1,...,p_n:

       ,            (2)

      где с — безразмерная величина, или

      

      Так как критерии подобия — величины нулевой размерности, то

                   (3)

      Таким образом получена система четырех  уравнений с неизвестными z₁, z₂,..., z_n. Для выяснения числа независимых решений следует составить матрицу

                     (4)

      Обозначим r ранг матрицы. В таком случае, система (3) имеет n-r независимых решений

                   (5)

      Любое (n-r+1) решение будет линейно зависимым от предыдущих

                  (6) 

      В соответствии с (2) каждое  решение  позволяет получить один критерий подобия. Значит, n-r независимых решений дадут n-r  независимых критериев. Поскольку каждое (n-r+1) решение выражается через другие, то любой n-r+1 критерий подобия выражается через n-r независимых.

      Согласно (2)

      

.

      Эти n-r независимых критериев назовем фундаментальными.

      В соответствии с (6)

      

.

      Итак, независимых критериев подобия может быть n-r, где r-ранг матрицы (4). Причем, ранг матрицы не может быть больше числа основных единиц выбранной системы измерения, так как число строк матрицы (4) равно числу основных единиц.

      Обозначим словом система совокупность физических объектов (элементов системы), объединенных на основе некоторого признака, индивидуализирующего набор данных элементов и сообщающего системе определенные качества. Параметрами системы назовем величины, характеризующие ее элементы и воздействующие на нее внешние объекты. Из множества параметров данной системы выделим минимально возможное количество параметров, достаточное для однозначного определения состояния системы; эти параметры между собой независимы, назовем их основными, или определяющими.

      Пусть имеются две системы одинаковой физической природы, состоящие из одинакового числа аналогичных элементов, которые играют в обеих системах одинаковую роль. Одну систему назовем модель, другую систему — натура, относящиеся к ним величины обозначим соответственно индексами м, н.

      Система определяется s независимыми (основными) параметрами p_k и имеет n независимых обобщенных координат q_i*. В целях единообразия время и начальные условия включим в число параметров и условимся, что индекс i имеет значения 1, 2,..., n, а индекс k - значения n+1,..., n+s.