Обобщенные  координаты этих систем являются одинаковыми функциями параметров: 

       ,             (7)

       .             (8)

      Вообще

      

.

      Две системы называют подобными, если их любые две соответствующие обобщенные координаты для любых сходственных моментов времени (сходственных точек пространства) пропорциональны, т. е. две системы подобны, если

      

,

      где - сходственные моменты времени.

      Таким образом, если известно, что две системы  подобны и можно найти коэффициенты подобия q_ci, то, зная поведение одной системы (модели), можно знать и то, как будет вести себя другая система (натура).

      Если  между точками систем существует еще материальное подобие, т. е.

      

,

      то  системы называют динамически подобными. При наличии динамического подобия  очень легко устанавливается  связь между всеми кинематическими  и динамическими характеристиками систем. Так, для скоростей характерна связь

      

;

      аналогично для ускорений

      

      и так далее.

      Легко заметить, что при динамическом подобии  систем коэффициенты подобия различных  величин выражаются через исходные коэффициенты подобия m_с, l_c, t_c - при помощи формул размерности этих величин:

      

;  ;  ;  .

      Основные теоремы теории подобия:

      1) теорема о достаточных условиях  подобия (третья теорема подобия);

      2)   теорема о необходимых условиях (первая теорема подобия);

      3)   П-теорема (вторая теорема подобия). 

      Теорема: достаточным условием подобия двух систем является равенство любых двух соответствующих критериев подобия этих систем, составленных из их основных параметров и начальных (граничных) условий.

      Итак, чтобы создаваемая машина или  имитируемое явление были подобны  модели, нужно:

      1) выбрать s определяющих параметров, включая в них начальные (граничные) условия и, если необходимо, время, и составить из них s-r независимых критериев подобия;

      2)   выбрать параметры натуры так,  чтобы ее критерии были такие  же, как у модели;

      

, k=1, 2, …, s-r.

      Причем  условие

      

.

      принято выражать так:

      

.

      При выборе на основе модели значений для величин натуры произвольные значения можно придать лишь стольким величинам натуры, сколько имеется основных единиц измерения (точнее — каков ранг матрицы).

      Предположим теперь, что подобие между системами  имеется заведомо. Какова в таком  случае связь между критериями подобия? Или иначе — каковы необходимые условия подобия? Здесь возможны два случая.

      1. Выше было отмечено, что рассматриваются  системы, в которых обобщенные  координаты являются однозначными  функциями параметров, т. е. каждому  набору параметров p_k соответствует одно, и только одно, значение q_i:

      

,  i=1, 2, …, n.

      Рассмотрим  теперь только системы, в которых, помимо отмеченного, каждому значению q_i соответствует только один набор параметров p_k, т. е. связь между обобщенными координатами и параметрами взаимно одноначная.

      Итак, поскольку подобие между моделью  и натурой заведомо имеет место, для сходственных моментов времени (для сходственных точек пространства) справедливо соотношение

      

.

      Теперь поставим такую задачу: выполнить еще одну модель, подобную натуре, с тем же коэффициентом подобия

      

      (штрихом  помечаем величины, относящиеся  ко второй модели). В таком случае  все соответствующие критерии  подобия второй модели и натуры будут равны (обеспечиваем при создании второй модели достаточные условия их подобия):

      

      Кроме того, имеем:

      

,

      

,

      

.

      Но  поскольку  то,  ввиду отмеченной  однозначности

      

,  ,  ,

      т.е. в нашем случае, при подобии  модели и натуры соответствующие  критерии модели и натуры равны.

      2. Если одному и тому же значению q_i могут соответствовать различные наборы параметров р_k, то в общем, случае при подобии не все критерии  модели и натуры равны.

      Таким образом для систем с взаимно  однозначной связью между параметрами  и обобщенными координатами доказана теорема о необходимых условиях:

      Теорема: Необходимым условием подобия двух систем является равенство соответствующих критериев подобия этих систем, составленных из обобщенных координат и параметров систем.

      Если  достаточные условия накладывают  определенные ограничения на параметры систем, обусловливая этим их подобие, то необходимые условия позволяют установить связь между координатами и параметрами систем, коль скоро они подобны.

      При выводе теоремы отмечалось, что координаты и параметры - размерные величины. Заметим, что полученные выводы сохраняются и в случае наличия безразмерных величин, которые тогда используются в качестве критериев подобия.

      Отметим еще, что часто вместо условия

      

      используют  равносильное ему выражение

      

,

      и соответственно — вместо формулировки: при подобии критерии подобия одинаковы — используют формулировку: при подобии индикаторы подобия L равны единице.

      П-теорема: Функциональная зависимость между характеризующими процесс величинами может быть представлена в виде зависимости между составленными из них критериями подобия.

      Применяя  безразмерные комплексы величин, полученные результаты можно распространить на все подобные процессы, уменьшить  число величин, которые следует  связать функциональной зависимостью.  

4.   Определение критериев подобия в случае заданного дифференциального уравнения,

      описывающего физический процесс

 

      Дифференциальным уравнением, описывающим физический процесс, является следующее

       .    (15)

      Размерности всех членов уравнения (15) одинаковы (правило Фурье), аргумент синуса — безразмерная величина, знак дифференциала не влияет на размерность. Поэтому, если, опустив знаки дифференцирования, поделить все члены уравнения на один из его членов, то в результате деления получатся безразмерные комплексы величин:

      

.

      Получившаяся  группа из четырех критериев подобия  может быть сведена к одной  из двух первых групп.

      Очевидно, можно сделать следующий вывод:

      для получения критериев подобия в дифференциальном уравнении следует опустить знаки дифференцирования и поделить все члены-уравнения на один из них. Получившиеся выражения, а также аргументы входящих в уравнение неоднородных функций  являются критериями подобия.

      Критерии  подобия, если в них вместо переменных величин ввести соответствующие начальные  условия, дают достаточные условия подобия двух систем.   

5.   Полное упругое подобие при статическом нагружении. Центробежное моделирование

 

      Рассмотрим  конструкцию (или вообще упругое  тело), изготовленную из однородного изотропного материала, деформации в котором происходят по закону Гука. Допустим, что размеры и форма конструкции определяются линейными l, l₁ , l₂ , ... и угловыми j, j₁, j₂, ... параметрами. Допустим также, что на конструкцию действуют сосредоточенные силы Р, P₁ , P₂, ..., моменты М, M₁, M₂, ..., нагрузки, распределенные по длине q, q₁, q₂, ..., нагрузки, распределенные по поверхности р, р₁, р₂, ..., нагрузки распределенные по объему, которые характеризуются силами, приходящимися на единицу объема g, g₁, g₂,.... Для модуля продольной упругости и коэффициента Пуассона введем общепринятые обозначения: соответственно Е и m.

      Характер  опорных закреплений конструкции  математически можно описать  соответствующими условиями, которые  накладываются на перемещения  u₀, v₀, ω₀ точек конструкции, примыкающих к этим опорам. Под u₀, v₀, ω₀ понимаем также известные перемещения точек контура конструкции (упругого тела), если эти перемещения заданы по условию задачи. Наконец, если среди опор имеются упруго-податливые, то в расчете необходимо учитывать и соответствующие упругие характеристики  этих опор K₁[PL^-1] — для упругих опорных стержней, K₂[PL] — для упругих заделок, К₃[РL^-3] —для упругих оснований.

      Все приведенные выше величины полностью  определяют напряженное и деформированное  состояние конструкции. Требуется определить усилия R и моменты М_R (опорные реакции и внутренние усилия в элементах конструкции), напряжения σ и τ, относительные деформации; ε и γ и перемещения u, v, ω.

      Обозначим х, у и z координаты точки, в которой нужно найти какую-либо из необходимых величин. Задача определения усилий, напряжений, упругих деформаций и перемещений, возникающих в данной конструкции под действием заданных нагрузок, может считаться решенной, если получены зависимости вида:

      

      где

       (16)

      Среди различных величин, входящих в (16), имеются только две размерные величины (например, Р и l), обладающие независимыми размерностями. Поэтому количество независимых безразмерных комплексов и симплексов, которые можно образовать из этих размерных величин, на два меньше общего количества размерных величин. Составим эти безразмерные комплексы и симплексы (критерии подобия):

      

 и т.д.

      Таким образом согласно П-теореме

       .    (17)

      Здесь Ф₁, Ф₂, … — определенные функции для каждой, конкретной задачи. Зависимости (2) дают решение задачи в самой общей форме. Условия подобия заключаются в числовом равенстве соответствующих критериев подобия у моделируемой конструкции (натуры) и модели в сходственных точках.

      Отношения   и безразмерные геометрические параметры φ, φ₁, φ₂, - являются одними и теми же, если соблюдено геометрическое подобие натуры и модели. Коэффициент Пуассона μ численно одинаков для натуры и модели. Числовое равенство соответствующих симплексов у натуры и модели обеспечивается, если опорные закрепления у модели кинематически тождественны соответствующим опорным закреплениям у моделируемой конструкции. Упругие характеристики упруго-податливых опор удовлетворяют следующим зависимостям: