(18)

      Симплексы

      

      одни  и те же, если нагрузки, действующие  на модель, находятся в таком же отношении одна к другой, как и  соответствующие нагрузки, действующие на натуру. Нагрузки на модель соответствуют следующим зависимостям:

. (19)

      Симплексы у натуры и модели одни и те же, если рассматриваются сходственные точки натуры и модели. Согласно теореме  Кирпичева—Гухмана определяющими критериями подобия являются критерии подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности рассматриваемой задачи:

        (20)

      Полученные  критерии подобия позволяют установить связь между коэффициентами подобия (масштабами) величин, характеризующих исследуемую конструкцию:

        (21)

      Если  обеспечено числовое равенство у натуры и модели соответствующих  определяющих критериев  подобия (20) или, что то же самое, выдержаны соотношения между масштабами (21), то обеспечено полное упругое подобие при  статическом действии нагрузок, т. е. и все остальные критерии подобия в соответствующих точках натуры и модели соответственно численно равны.

      При этом искомые величины моделируются  в  следующих масштабах:

        (22)

      Два масштаба можно выбрать, а все остальные масштабы определяются уравнениями связи (21).

      Анализ  полученных результатов  показывает, что для  обеспечения полного  подобия модель можно  изготовить из материала, отличного от материала моделируемой конструкции, но при условии равенства коэффициентов Пуассона для обоих материалов. Выбирая, таким образом материал, обусловливаем и масштаб модулей продольной упругости

      

.

      Значит, теперь из всех остальных масштабов только один можно выбрать произвольно. Обычно таким масштабом является линейный масштаб модели l_c.

      Рассмотрим  влияние объемных сил на условия  полного подобия и моделирования.

      Если  единственной объемной силой является собственный вес конструкции то возможно два варианта обеспечения полного подобия.

      1. Если для модели выбран материал, у которого коэффициент Пуассона  численно такой же, как и у  материала моделируемой конструкции,  то, поскольку выбранный материал  характеризуется вполне определенными физическими параметрами, то тем самым одновременно определяются масштабы модулей продольной упругости E_с и объемного веса g_c. А это, в свою очередь означает, что для всех остальных величин ни один из масштабов уже нельзя выбрать произвольно и каждый из этих масштабов определяется величинами Е_с и g_c в соответствии с (21). В частности, линейный масштаб определится как

       .       (23)

      2. Может оказаться, что линейный  масштаб модели, определенный по  формуле (23), будет неудобным или технически трудно осуществимым. В этом случае все же можно произвольно выбрать линейный масштаб модели l_c, однако в соответствии с выбранным l_с надо обеспечить и соответствующий масштаб объемных сил

      

.

      Если модель и моделируемый объект выполнены из одинакового материала, для обеспечения полного подобия необходимо, чтобы модель была изготовлена в натуральную величину и все нагрузки равнялись соответствующим нагрузкам, приложенным к натуре. 

      ПРИМЕР.

      Пусть моделируемый объект — консольная балка прямоугольного поперечного сечения, загруженная, как показано на рис.2, и изготовленная из материала, имеющего модуль продольной упругости Е_н, коэффициент Пуассона  μ_н и объемный вес g_н. Выясним, какой должна быть модель и как ее следует загрузить. Выберем для модели материал, имеющий коэффиент Пуассона, равный коэффициенту Пуассона материала моделируемой балки (μ_м =μ_н). Пусть у подобранного таким образом материала модуль продольной упругости и объемный вес g_M, что обусловливает величину масштабов  модулей продольной  упругости и объемных сил 

      

, .

      Если  не осуществлено центробежное моделирование, то для обеспечения полного подобия  необходимо изготовить модель, геометрически  подобную натуре в линейном масштабе

      

      и укрепить ее в опоре, кинематически  тождественной соответствующей  опоре моделируемой конструкции. Значит

      

.

      Масштабы  нагрузок определяются уравнениями (6). Следовательно

      

.

      Рис. 3. Деформированная балка

      Выполнив  все эти условия, обеспечим полное упругое подобие. Это означает, в частности, что натура и модель, геометрически подобные до приложения нагрузок, являются  геометрически подобными и в деформированное состоянии. Следовательно, деформированные оси балок представляют собой две геометрически подобные плоские кривые (рис. 3). При этом перемещения сходственных точек моделируются в линейном масштабе модели.

      Условия полного упругого подобия — это очень жесткие условия, одновременное соблюдение которых при моделировании во многих случаях оказывается трудно осуществимым. 

6.   Неполное упругое подобие при статическом нагружении

 

      Если  установлено подобие относительно некоторой части (а не всех) величин, характеризующих исследуемое явление, то такое подобие называют неполным. В этом случае численно равны в сходственных точках натуры и модели не все, а только критерии подобия, составленные из величин, относительно которых соблюдено подобие. Иными словами, уравнения связи между масштабами (21) и (22) справедливы не для всех величин, а только для тех, относительно которых соблюдено подобие.

      Разберем  некоторые примеры. Пусть требуется  определить только продольные силы в  элементах кронштейна (рис. 4, а). Известно, что эти силы зависят только от нагрузки и угла между стержнями.

      Рис. 4. Стержневая система: 1, 2, 3 —номера стержней 

      Значит, только две величины Р_н и а_н однозначно определяют задачу в рассматриваемой постановке. Величина а_н - безразмерная, а поэтому она должна быть численно одинаковой у натуры и модели. А из оставшейся  единственной  размерной величины р_н никакого безразмерного комплекса составить нельзя. Значит, эти силы для модели, так же как и все остальные геометрические и физические параметры модели (длины стержней, форма и размеры поперечных сечений, модуль продольной  упругости  и  коэффициент Пуассона материала), могут быть произвольными. При этом необходимо, чтобы в ходе эксперимента не выйти за пределы упругой работы материала.

      Рассмотрим  модель (рис. 4, б). Значения Р_н и Р_м определяют произвольно выбранный масштаб сосредоточенных сил

      

.

      В этом же масштабе моделируются и продольные силы в стержнях, т. е. N_C = P_C. Определив эти усилия в модели, делаем простой пересчет и получаем их соответствующие усилия в натуре:

      

.

      Как видно, в целом модель геометрически  не подобна моделируемой конструкции, отсутствует подобие по напряжениям и деформациям, но по продольным силам в стержнях модель и натура подобны. Значит, здесь имеется неполное подобие.

      Рассмотрим  еще пример (рис. 4, в), где также требуется определить продольные силы в стержнях. В отличие от предыдущей, эта шарнирно-стержневая конструкция статически неопределима, а это значит, что продольные силы в стержнях зависят не только от нагрузки Р_н , углов а_н и β_н, но также и от погонных жесткостей стержней  на  продольную деформацию . Выделим все величины, однозначно определяющие задачу в рассматриваемой постановке, их размерности: .

      Углы  α и β безразмерны, а поэтому они должны быть соответственно равными у натуры и модели. Из оставшихся четырех размерных величин можно образовать только два независимых критерия подобия и . Размерности сосредоточенной силы Р и погонной жесткости i независимы, а потому силу Р нельзя ввести ни в один из критериев подобия. Значит, силу при моделировании можно взять в любом масштабе Р_с. Произвольным может быть и масштаб погонной жесткости i_c. Важно только, чтобы он был одинаковым для всех стержней, т.е.

       .

      Следовательно, модель может быть изготовлена из различных материалов с различными модулями продольной упругости и с различными коэффициентами Пуассона. Длины стержней модели могут быть не пропорциональны длинам соответствующих стержней натуры. Произвольной может быть и форма поперечных сечений стержней. Усилия в стержнях моделируемой конструкции примут вид

      

.

      Примером  использования неполного подобия  может служить также моделирование  плоской задачи теории упругости. Предположим, что односвязное тело находится  в плоском напряженном состоянии, причем интенсивность объемных сил не зависит от координат (например, если объемной силой является собственный вес, а упругое тело выполнено из одного материала). Пусть надо знать только распределение напряжений. Как известно, рассматриваемая задача характеризуется уравнениями равновесия

           (24)

      Уравнение совместности в напряжениях

       .      (25)

      и граничными условиями

            (26)

      В формулах (24) — (26) —общепринятые обозначения теории упругости: σ_{x ,} σ_y —нормальные напряжения в прямоугольных координатах; - касательные напряжения в прямоугольных координатах; X,Y—проекции объемной силы, приходящейся на единицу объема; - оператор Лапласа второго порядка; - проекции  внешней  нагрузки,  приходящейся  на единицу длины контура (размер, перпендикулярный срединной плоскости тела, принят равным единице); VX - угол между нормалью к контуру и осью X. В дифференциальных уравнениях исключаем знаки дифференцирования. В каждом из уравнений все члены делим на один из членов этого уравнения. Получившиеся выражения и являются критериями подобия:

               (27)

      Выделим определяющие критерии подобия, т. е. критерии подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности рассматриваемой задачи [X, Y, X, Y, (VX), характерный линейный размер l]:

       .     (28)

      Таким образом, для того чтобы обеспечить подобие, необходимо, чтобы модель была геометрически подобна натуре, причем линейный масштаб l_с можно выбрать произвольно. Произвольно также можно выбрать либо масштаб объемных сил Х_с= Y_c,, либо масштабконтурной нагрузки x_c=y_c. Ни в один из критериев подобия не входят упругие постоянные материала, а это значит, материал для модели можно выбрать произвольно. При этом будет неполное подобие: соблюдение подобия относительно рассматриваемых напряжений и отсутствие подобия относительно деформаций и перемещений. 

7.  Приближенное подобие при упругих деформациях

 

       Если, устанавливая условия подобия, не учитывать, некоторых факторов, незначительно (по сравнению с другими факторами) влияющих на рассматриваемые величины, то в этом  случае подобие будет  приближенным. При моделировании, основанном на приближенном подобии, надо в каждом отдельном конкретном случае суметь правильно оценить относительную степень влияния некоторых факторов, чтобы достаточно обоснованно пренебречь ими. Кроме того, вследствие получения приближенных, а не точных результатов,  необходимо  знать возникающие при этом погрешности.