8.  Подобие при динамическом действии нагрузок

 

      Рассмотрим  ряд примеров установления условий  подобия при динамическом действии нагрузок. Возьмем простейший случай равноускоренного подъема груза Q_H, подвешенного на тросе с площадью поперечного сечения F_H (рис. 5). Объемный вес материала троса равен γ_н ; груз поднимается с ускорением а_н. Искомой величиной является нормальное напряжение σ_xн в поперечном сечении на расстоянии х_н от нижнего конца торса.

      Выделим все величины, определяющие рассматриваемую  задачу и их размерности: Q[P], F[L²], γ [РL-³], ускорение силы тяжести g[LT^-2],a[LT^-2],x[L], σ_x[PL^-2]. Всего имеется семь величин, из них независимыми размерностями  обладают три величины, например Q, g и х. Значит, можно получить 7 — 3 = 4 независимых критерия подобия:

               (29)

      которым соответствуют следующие индикаторы подобия (уравнения связи между масштабами):

                 (30)

      Из (30) следует, что для модели продольный линейный масштаб х_с и масштаб груза Q_c можно выбрать произвольно. Тогда масштаб площади поперечного сечения троса определится зависимостью F_c=x²_c, а масштаб объемного веса материала троса .

       Масштаб g_c теоретически может быть произвольным, что достигается путем центробежного моделирования. В большинстве случаев этот масштаб принимают равным единице. Значит, и масштаб а_с тоже равняется единице. Следовательно, в данном случае при учете силы инерции ускорение в модели равняется ускорению в натуре. При соблюдении всех вышеуказанных условий нормальное напряжение моделируется в масштабе , то есть .

      В качестве примера учета сил инерции при моделировании рассмотрим задачу об определении напряжений во вращающемся диске постоянной толщины (рис.6). Примем, что в центре диска имеется круглое отверстие.

      Величины, определяющие рассматриваемую задачу: наружный радиус диска r₁[L], радиус отверстия r₂[L], коэффициент Пуассона μ[1], удельный вес γ[РL^-3], g[LT-²], n[T-¹], расстояние от центра диска до той точки, где определяется напряжение p[L], компоненты напряжений σ_r[PL-²] и σ_t[PL-²]. Среди этих величин имеется одна безразмерная (μ). Она и является одним из критериев подобия. Из остальных восьми размерных величин три величины (например, r₁, γ и n) имеют независимые размерности. Значит, можно получить еще 8-3 = 5 независимых критериев подобия, а всего независимых критериев подобия шесть:

            (31)

      При моделировании рассматриваемой задачи надо соблюсти геометрическое подобие при произвольном линейном масштабе 1_С. Материал для модели можно выбрать различный. Выбор материала для модели определит масштаб объемных весов Требуемый масштаб количества оборотов диска в единицу времени при g_c=l определится зависимостью . При соблюдении всех этих условий компоненты напряжений моделируются в масштабе .

       Рассмотрим, как по теории подобия  происходит статическое уравновешивание  вращающихся деталей, исходя из их равнопрочности, т. е. F_с = l_с². Развиваемые центробежные силы F=тrω², а их отношения F_c = m_crω² (здесь т — масса тела, r — расстояние от центра тяжести до оси). При одинаковом числе оборотов и для одного и того же материала тела вращения, т. е. при р_с = 1 имеем:

       ,

      откуда  1=l_c r_c или иначе: тело вращения больших размеров должно быть более тщательно уравновешено. Этот вывод принадлежит В. Л. Кирпичеву.

      Рассмотрим  теперь общий прием установления условий подобия напряженного и деформированного состояний при ударе. Предположим, что очень жесткое тело А весом Р, деформацией которого можно пренебречь, падая с некоторой высоты Н, ударяет по неподвижно закрепленной упругой системе В (рис.7).

        Известно, что перемещения б_д, напряжения р_д и реакции R_д определяются зависимостями

       ,     (32)

      где k_д — динамический коэффициент; б_ст, р_СТ, r_ct — соответственно статические перемещения, напряжения и реакции.

      Динамический  коэффициент является безразмерной величиной. Значит, для обеспечения подобия при ударе необходимо, чтобы были соблюдены рассмотренные условия подобия при статическом действии нагрузки, а динамический коэффициент был численно одинаковым у натуры и модели. Рассмотрим возможности влияния на величину динамического коэффициента в модели. Как известно, этот динамический коэффициент может определяться по разным формулам:

       .          (33)

      где Q —вес ударяемого тела; р — вес ударяющего тела; β— безразмерный коэффициент, зависящий от статических деформаций и веса ударяемого тела; υ — скорость ударяющего тела в начальный момент удара. Из (18) следует, что при моделировании удара необходимо учитывать критерий подобия

      

,

      которому  соответствует индикатор подобия   

      

,

      т.е. высота, с которой падает тело, наносящее удар должна моделироваться в масштабе, равном линейном масштабу модели. Из (33) следует, что безразмерный комплекс является критерием подобия, которому соответствует индикатор подобия

      

,

      откуда  следует, что при  g_c= 1 масштаб скорости ударяющего тела

      

.

      При моделировании явления соударения твердых тел в пределах упругости критерием подобия  является выражение

      

  или ,

      при , т.е. t_c = lс, или отношение времен совершающихся процессов пропорционально линейному масштабу. 
 
 
 
 

9.  Понятие нелинейного подобия

 

      Выполнение  при моделировании всех требований полного и точного подобия  часто вызывает ряд трудностей и неудобств, иногда весьма значительных, и не позволяет обеспечить одновременное соблюдение тех или иных условий подобия. Так, например, для обеспечения полного и точного подобия упругого деформированного состояния необходимо равенство коэффициентов Пуассона материалов натуры и модели, что не всегда возможно осуществить, в частности при замене металлических прототипов, моделями из фотоупругих материалов. Поэтому при исследовании часто приходится осуществлять моделирование, основанное на неполном и приближенном подобии, основные положения которого разработаны В. А. Вениковым, А. А. Гухманом , и А. Г. Назаровым.

      Расширение  возможностей моделирования показано Г. Е. Пуховым, который предложил новые математические модели (квазианалоговые модели). В основу построения этих моделей положен не принцип подобия, а общий принцип эквивалентности уравнений в отношении получаемых результатов.

      Моделирование, основанное на аффинном и приближенном подобии, расширяет возможности  экспериментатора, однако, не устраняет  всех трудностей, связанных с реализацией в модели необходимых критериев подобия. Одним из возможных путей преодоления  трудностей осуществления полного и точного подобия и увеличения круга задач, решаемых средствами моделирования, является  использование  такого вида подобия, который базируется на определенном соответствии между переменными и параметрами натуры и модели. Это соответствие названо нелинейным подобием, поскольку в его основе лежат нелинейные преобразования величин, характеризующих изучаемое явление.

      Исследуемый объект нередко бывает таким, что  практически представляется весьма затруднительным осуществить модель, имеющую точно такое же математическое описание, что и натура. Например, при физическом моделировании напряженного и деформированного состояний довольно сложно изготовить модель с физическими параметрами среды, изменяющимися по определенному закону. В этом случае задачу можно решить при помощи модели, процессы в которой описываются уравнениями, отличными от математического описания натуры, если только удастся установить соответствие между сходственными величинами натуры и модели. Средством к установлению такого соответствия и является нелинейное подобие.

      Например, для исследования методом фотоупругости  напряжённого состояния в теле железобетонной плотины или подпорной стены, которые имеют различное по высоте армирование, надо изготовить модель из материала с переменным модулем упругости. Это практически неосуществимо. Метод же нелинейного подобия дает возможность решать такую задачу при помощи модели, выполненной из однородного материала с постоянными физическими параметрами, т. е. из обычного фотоупругого материала. 

10.  Возможность линеаризации и автомодельность.

 

     Автомодельность - особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных, описывающих системы, может быть скомпенсировано преобразованием подобия др. динамических переменных. Автомодельность присуща многим физическим системам и существенно упрощает описание явлений в этих системах (напр., в аэромеханике и физике элементарных частиц).

      Заключение

 

      Обобщением  геометрического подобия является подобие динамическое, при котором два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого путем простого пересчета, аналогичного переходу от одной системы единиц к другой.

      Теоремы подобия и размерностей являются научной основой моделирования.

      1. Моделирование — один из способов познания закономерностей окружающего мира — имеет огромное практическое значение. Трудности расчета и постройки сооружений, вызывающие в ряде случаев значительные материальные затраты и мощности, требуют изучения явления в несколько ином масштабе на упрощенной модели, иногда схематизируя и выявляя главные определяющие факторы. Отметим, что уже созданные сооружения можно рассматривать как модели для последующих сооружений.

      2. Во время эксперимента осуществляется  проверка теории, гипотез, допущений, расчета,  устанавливаются значения опытных коэффициентов; изучаются различные режимы работы машины путем активного вмешательства в наблюдаемый процесс; устраняются замеченные недостатки, улучшается конструкция машины в целом; осуществляется управление новыми процессами.

      3. Теории подобия и размерностей  в ряде областей техники являются  связующим звеном между гипотезой  (или расчетом) и экспериментом,  указывая, как нужно ставить опыт, обрабатывать опытные данные, а  также обобщать и распространять полученные результаты  на другие объекты. Для этого нужно составить перечень всех существенных для изучаемого процесса (явления) величин и найти безразмерные комплексы — критерии подобия, которые имеют одно и то же значение для подобных явлений. Затем нужно получить критериальное уравнение, т. е. связь между  критериями подобия.  Эту связь между критериями  можно  найти  путем  расчета,  если имеется уравнение процесса, или экспериментально. При этом постановка эксперимента и обработка результатов может быть наиболее эффективна (сокращается  число опытов, так как связи ищутся между безразмерными комплексами, состоящими из ряда размерных величин, получаются зависимости между обобщенными характеристиками).

      4. Моделирование может быть физическое  и математическое с реальными  физическими  и  воображаемыми (образными или абстрактными) моделями. Следует отметить исключительное многообразие форм и видов моделирования. Одной из логических основ моделирования является умозаключение по аналогии, связывающей общность разнородные процессы (явления).