Математическое моделирование и теория подобия в механике

      В современном понимании модель (от лат. modus— копия, образ, очертание) это - особого рода промежуточный предмет исследования, построенный из материальных или идеальных (воображаемых) элементов, находящихся в определенном соответствии с самим познаваемым объектом и способный замещать объект на некоторых этапах познания.

      В современном естествознании имеются  две существенные тенденции в развитии моделирования:

      Понятие модели трактуется не как наглядная  механическая система, а как абстрактная логико-математическая структура. На смену модели-аналогии приходит модель-гипотеза, являющаяся предварительной формой объяснения новых явлений. В качестве примера можно привести модель-вакуум (пустое пространство!), модель атома и т. д.

      Широко  применяются кибернетические функциональные, информационные модели. Кибернетическое  моделирование имеет весьма абстрактный  и общий характер (примером общности могут быть водопроводный кран и  диод). Общим для этих объектов является способность пропускать воздействие только в одну сторону и не пропускать в противоположную.

      Кибернетическое моделирование использует относительную  самостоятельность функции по отношению  к содержанию. В качестве абстрактной кибернетической модели можно рассматривать не только технические устройства, реализующие какие-либо фиксированные формальные языки, но также человека и даже целые человеческие коллективы, реализующие сколь угодно сложные мыслительные процессы.

      Целью моделирования является построение научной теории, критерием истинности которой служит общественно историческая производственная практика человечества в целом.

      В теоретическом познании основными  этапами моделирования являются:

      а) построение модели в виде образа объекта (здесь существенна роль аналогии);

      б) исследование построенной модели (здесь  существенна роль абстракции) и ее объективности;

      в) экстраполяция информации (на познаваемые объекты);

      г) практическая проверка экстраполяции.

      Современное научное знание все дальше отходит  от обычных представлений (теория относительности, квантовая механика и т. д.) и в то же время глубже проникает в реальный мир и в этом смысле становится более объективным. Характерной особенностью является диалектическое единство растущей абстрактности, активности знания и усиливающейся объективности результатов научного исследования (наука становится непосредственно производительной силой).

      5. Наряду с установлением соотношений,  даваемых теориями подобия и  размерностей (в области, ограниченной  условиями подобия), нужно глубже  изучать специфику каждого явления и процесса в конкретных условиях, ибо задачей науки является изучение не только соотношений между объектами реального мира, а главное и прежде всего — изучение свойств самих объектов, обобщение и распространение полученные результатов на другие объекты.

      Становление теории подобия в историческом аспекте  характеризуют следующие вехи —  ее теоремы:

      Первая  теорема подобия  формулирует свойства подобных систем, утверждая, что подобные явления имеют одинаковые критерии подобия, т. е. первая теорема указывает необходимые условия подобия. Критерии подобия — суть безразмерные выражения, которые можно рассматривать как некоторую среднюю меру отношения интенсивности двух физических эффектов, существенных для исследуемого процесса.

      Критерии  подобия можно определить различными путями: либо из условий тождественности уравнений, описывающих процессы, или из анализа размерностей, разновидностью которого является метод нулевых размерностей. При этом разница состоит лишь в способах решения задачи, результат в конечном счете один и тот же.

      Доказательство  возможности приведения уравнения  к критериальному виду составляет содержание второй теоремы подобия (П-теорема). Однако применение метода анализа размерностей не ставит вопроса о достаточных условиях для существования подобия, что может привести к опасности чрезмерно широких обобщений.

      Пределы закономерного распространения  единичного опыта указываются в  третьей теореме теории подобия, которая кратко формулируется так: подобными явлениями будут те, которые имеют подобные условия однозначности и одинаковые определяющие критерии. Определяющие критерии составляются из независимых между собой величин, которые входят в условия однозначности (геометрические соотношения, физические параметры, краевые условия: начальные и граничные).

      Теория  подобия исходит из тех же предпосылок, что и аналитический расчет: должны быть заданы начальные (граничные) условия, параметры и координаты исследуемого процесса. Теория подобия, таким образом, служит связующим звеном между теорией и экспериментом.

      Эксперимент с моделями, выполненный на основе теории подобия, освобождает от необходимости  аналитического решения задачи, не всегда являющегося возможным. Нужно отметить, что теория подобия и размерностей, вскрывая ряд связей и соотношений, указывая рациональную форму обработки опытных данных, не может дать больше того, что содержится в уравнениях, описывающих явление, и она не является «универсальной» теорией, пригодной для любого случая... «Общего решения теория подобия не дает: она позволяет лишь обобщать опытные данные в области, ограниченной условиями подобия. При пользовании методов подобия об этих ограничениях всегда нужно помнить».

      Постановка  и задача эксперимента на основе теории подобия и размерностей упрощается и облегчается еще благодаря тому, что в этом случае находится функциональная связь между целыми комплексами величин, определяющих явление (в ряде случаев нет надобности изучать влияние на процесс каждого фактора в отдельности) . Кроме того, имеется (в известных границах) возможность распространения результатов единичного опыта на подобные системы.

      Моделирование может быть физическое и условное - математическое (по аналогии). При физическом моделировании происходит изменение масштаба, но сохраняется природа явления. Качественные и количественные связи подобных явлений устанавливаются в виде критериальных соотношений. Анализ явлений природы в виде обобщенных (критериальных) зависимостей позволяет выделить наиболее общее и существенное, дает возможность видеть, что единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений». Математическое моделирование основывается на тождественности уравнений, описывающих процессы модели и исследуемого явления. Так, электрическая схема с индуктивностью, емкостью и сопротивлением может служить математической моделью колеблющегося на пружине груза.