Исследование неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе

Оглавление

1. Введение

По трубопроводам осуществляется более 50% транспортировки всех нефтегрузов. Одним из наиболее проблемных вопросов при транспортировке нефти являются задачи управления потоками этих продуктов. Особое значение здесь приобретает нестационарные режимы движения потоков. Нестационарность возникает, как правило, в результате необходимости остановить поток или возобновить его движение после остановки, замедлить или ускорить движение. Необходимость такого рода действий (остановка и возобновление движения) является следствием нештатных ситуаций, как правило, аварийного характера. Особенностями изучаемой ситуации являются:

• Большая инерционность потока(диаметр трубопровода - около метра, длина одного прямолинейного звена трубопровода может достигать 10 и более километров, штатная скорость потока около 2 м/с)
• Достаточно высокая кинематическая вязкость транспортируемых жидкостей(от 0.04 м²/с до 1.1 м²/с)
• На практике числа Рейнольдса , что позволяет принять предположение о ламинарном движении жидкости

В существующей литературе по вопросам движения нефти в трубопроводах, как правило, задачи рассматриваются  с точки зрения стационарного  движения жидкости по трубам, что основано на использовании сильно упрощенных уравнений гидродинамики, в реальной же жизни это не так. Для основной задачи работы явилась попытка проанализировать нестационарный режим движения потока вязкой жидкости по трубам в условиях диктуемых характером реальных потоков, возникающих при транспортировке нефти. Это приводит к необходимости решать полноценное уравнение Навье-Стокса в нестационарной постановке. Естественно при постановке задачи пришлось сделать определенные допущения и упрощения, которые, однако, не являются обременительными:

• Рассматривается прямолинейное движение. Это позволяет считать, что имеет место цилиндрическая симметрия.
• Нестационарность диктуется специфической постановкой граничных условий. На входе в трубопровод расход и давление имеют постоянные величины.

На основании сказанного построена  математическая модель. Задача была решена аналитическим методом, и был  проведен численный расчет со стандартными для нефтепровода и нефти показателями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Основные физические свойства и параметры жидкости

1. Плотность и удельный вес

Под средней плотностью, либо, что  тоже, плотностью физически бесконечно малого объема, понимают частное от деления его массы на объем, т.е.

      (2.1.1)

Плотность выражается в кг/м³.

В литературе часто оперируют понятием удельного веса, т.е. частного от деления  веса частицы на ее объем

     (2.1.2)

Как следует из (2.1.2), удельный вес  выражается в Н/м³. Заменяя в (2.1.2) M/V его значением из (2.1.1), получаем связь между плотностью и удельным весом:

2. Вязкость

Под вязкостью понимают свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению  ее частиц. В частности, возникшее  в жидкости движение после прекращения  действия причин, его вызвавших, постепенно замедляется. Следовательно, жидкость при своем движении в трубе испытывает сопротивление. Такого рода сопротивление называют вязким, подчеркивая тем самым отличие от сопротивления в твердых телах.

В твердых телах  в случае попытки изменения их формы (например, при сдвиге одной части тела относительно другой) возникает сила упругой деформации сдвига, пропорциональная смещению атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки соседних атомных слоев. В жидкости эта сила пропорциональна величине изменения скорости, наблюдающейся при переходе между соседними слоями взаимодействующих молекул.

Еще Ньютон установил  опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого  трения препятствуют этому скольжению. Так, при движении со скоростью v верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает сила вязкого трения, направленная против движения и равная

     (2.2.1)

Рис. 2.2.1

Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в поперечном направлении (градиенту скорости в направлении перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости жидкости μ.

Вышепривёдённая формула справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их линейных размеров . Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине). Если мысленно разбить жидкость на параллельные плоские слои, движущиеся равномерно, то нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний слой с силой . В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с силой, численно равной . На каждый слой действует сверху и снизу две равные, но противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их высотой (см. рисунок 2.2.1), а сила трения передается от одному слоя к другому. Как результат, усилие , приложенной к верхней пластине, передается на нижнюю пластину. Коэффициент вязкости среды определяется экспериментально, например, по скорости ее истечения через трубку известных размеров. Как показывает опыт с нагреванием, вязкость жидкости уменьшается, а газов - увеличивается.

Рис. 2.2.2

m - динамическая вязкость, зависит от физической природы жидкости, ее агрегатного состояния и температуры, и практически не зависящая от давления.

Помимо коэффициента вязкости , часто вводят в рассмотрение ещё и кинематический коэффициент вязкости, представляющий собой отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости, т. е.

 

Коэффициент может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически.

Вообще говоря, , так как зависимость от давления слабая, наиболее часто пользуются следующими приближенными формулами для зависимости от Т. Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость:

 

Здесь берется из эксперимента, - это значение коэффициента вязкости при .

3.  Классификация сил

Силы, приложенные к частицам жидкости, можно разделить на два класса: силы массовые и силы поверхностные.

1.   Массовые силы

Массовые силы - силы, действующие на каждый элемент объема независимо от того, имеются ли рядом другие части жидкости.

Массовыми называют силы, величина которых пропорциональна  массе рассматриваемого объема. Важнейшей  особенностью является то, что они действуют на все частицы жидкости. Пусть — главный вектор сил, действующих на массу М жидкости, заполняющей объем . Средней массовой силой, действующей на массу М, называют величину . Вектор

     (2.3.1)

называется массовой силой, действующей  в данной точке. Точнее называть вектор массовой силой, отнесенной к единице массы (в случае сил тяжести ).

Обычно сила известна как функция координат точек пространства и времени . Если сила известна во всех точках выделенного объема , то можно подсчитать главный вектор сил, действующих на массу жидкости в этом объеме. На объем с массой действует сила . Отсюда главный вектор массовых сил будет

    (2.3.2)

2.   Поверхностные силы

В отличие от массовых, поверхностные  силы действуют лишь на частицы, находящиеся  на поверхности жидкого объема.

Пусть объем  ограничен поверхностью . Жидкость, находящаяся вне объема , действует через поверхность на жидкость внутри . Силы, с которыми частицы жидкости, находящиеся снаружи поверхности , действуют на поверхностные частицы объема , называют поверхностными.

Выделим на поверхности  жидкого объема элементарную площадку , ориентация этой площадки в пространстве задается внешней нормалью . Главный вектор поверхностных сил, действующих на , обозначим . Среднее напряжение,  действующее на  площадку , будет . Пусть площадка стягивается в точку. Вектор

    (2.3.3)

называют напряжением поверхностных  сил, действующим в рассматриваемой  точке (вектором поверхностной силы, отнесенным к единице площади).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.3.1

Таким образом, первое, что необходимо усвоить при рассмотрении этого вопроса - это то, что под действием внешних сил в жидкости возникают напряжения. И второе по порядку, но не менее важное по существу. В общем случае не является обычным вектором. Его величина зависит от ориентации площадки в пространстве. Это означает, что если через данную точку пространства провести одинаковые по величине, но различно ориентированные площадки, то действующие на них напряжения поверхностных сил будут различны.

Физическая  величина, характеризуемая в данной точке вектором , принимающим бесконечное множество значений в зависимости от ориентации площадки, называется тензором напряжений.

Таким образом, на площадку dS действует поверхностная сила , а на всю поверхность, ограничивающую объем V

     (2.3.4)

Проекция  на направление нормали называется нормальным напряжением, а проекция на площадку действия - касательным напряжением.

3.   Тензор напряжения

Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть вектор .

В движущейся среде мысленно выделим частицу  в форме жидкого тетраэдра. Пусть  - внешняя нормаль к четвертой (наклонной) грани тетраэдра,  а площадь этой грани dS (см. рис. 2.3.2).

Площади других граней - соответственно , , , т.к. их можно рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Следовательно, , где обозначает направляющий косинус. Аналогично, , . Обозначим объем тетраэдра dV, тогда действующая на него массовая сила , а массовая сила инерции , где вектор ускорения жидкого тетраэдра. Поверхностная сила, действующая на наклонную грань - . Для трех других граней можем записать:

Рис. 2.3.2

Знаки минус, т.к. векторы  , и направлены в стороны, противоположные координатным осям.

Запишем уравнение  движения тетраэдра, которое в соответствии с общими законами механики должно иметь вид:

Масса × ускорение = (результирующая массовых сил) +

+ (результирующая  поверхностных сил).

Имеем:

Слагаемые и есть величины третьего порядка малости, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает

    (2.3.5)

Из этого равенства следует, что напряжение при произвольной ориентации нормали может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Oy и Oz.

Проекции векторов , и на координатные оси x, y, z обозначаются:

     

 

 

 

 

 

 

 

Рис 2.3.3

 

Первый подстрочный индекс указывает  ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй ­ ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 2.3.3.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси  координат выражение (2.3.5) может быть записано как

      (2.3.6)

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме  он записывается в следующем виде:

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны ( ; ; ). Следовательно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений , , в соотношении (2.3.5), носящем имя Коши, и приложенные к координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, применимые к физическим векторам.

К понятию тензора  можно подойти и другим путем, который, возможно, покажется более  простым. Поэтому целесообразно  хотя бы кратко остановиться на нем. Для  наглядности тензор можно представить  как какой-то оператор, с помощью  которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, оператор можно представить как какую-то «машину», которая по определенным правилам перерабатывает вводимые в нее векторы. Зная принцип работы этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выходе. Можно записать где - входной вектор;  - выходной вектор;  - оператор, который и называют тензором.