Исследование неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе

 

Рис. 8.4 Сумма  ряда (8.3) в зависимости от числа  слагаемых при постоянном t.

Приводить в  данном пункте все графики не имеет  смысла, их достаточно много. Наихудший  результат наблюдается при минимальных  значениях r и t (рис. 8.5)

Рис. 8.5. График частичных сумм ряда (8.3) при r=0.1м. и t=10 сек.

Видно, что 5-10 членов в ряде (8.1) вполне достаточно для  относительно точных вычислений. Для  очень точных лучше выбрать n не менее 15. Но вычисления при этом займут достаточно много времени.

Также на погрешность влияет шаг интегрирования, чем он меньше тем точнее интегрирование. Выберем  наименьший шаг - 0.05 для r и 5 секунд для t.

Теперь приступим  к вычислению распределения скоростей  при переходном процессе.

 

 

 

 

 

 

Как видно на рисунке 8.6 с течением времени скорости растут, начальная скорость обозначена красным цветом, а конечная синим.

Рис. 8.6 Распределение  скоростей при переходном процессе.

 

Для большей  наглядности стоит построить  график изменение максимальной скорости. как уже говорилось максимальная скорость будет в центре трубы, т.е. при r=0.

Рис 8.7 Изменение  максимальной скорости при переходном процессе.

 

Так как нам  известно конечное распределение скоростей, можно определить конечную скорость в центре

 решив уравнение

относительно t узнаем приблизительную длительность переходного процесс8.

По прошествии 1700 секунд процесс можно считать  установившимся и в целях уменьшения вычислительной сложности для описания распределения скоростей вместо полученной модели можно использовать модель Пуайзеля.

 

 

Мы приняли  экспоненциальную функцию изменения  давления при расчете. Вместо экспоненциального  закона мы можем подставить в расчет закон линейного, синусоидального, квадратичного, видов на время переходного процесс8. Изменение давления имеет такие же характеристики: от -2 до -3 за 200 секунд.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 8.8 Экспоненциальный, синусоидальный, параболический, линейный законы изменения давления.

 

 

 

 

 

 

Рис 8.9 Распределение  скоростей при параболическом изменении разности давления.

 

 

Рис 8.10 Распределение  скоростей при линейном изменении  разности давления.

Рис 8.11 Распределение  скоростей при синусоидальном изменении  разности давления.

 

На рисунках 8.9-8.11 представлены графики распределения скоростей при различных значениях времени.

Рис 8.12 Изменение  максимальной скорости при различных  видах возмущающей функции.

Из графиков рис.9 - рис.12 видно что замена внешнего вида функций изменения разности давлений не влияет существенным образом на распределение скоростей нефти в трубе при переходном процессе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Выводы по работе.

В данной работе исследовано поведение одного элементарного элемента сложной системы трубопроводов. Объект исследования – процессы, происходящие при движении нефти или иных сходных по характеристикам вязких жидкостей.  Предметом исследования явилось математические модели указанных процессов. Исследовательские приёмы – математический анализ, теория дифференциальных уравнений.

Итак, получено нестационарное решение в виде ряда. С помощью этого решения можно  вычислить значение скорости в конкретной точке внутри трубы в конкретный момент времени. Также можно получать значения с заданной погрешностью. Погрешность можно варьировать выбирая число членов ряда в решении.

Работа с  выведенной формулой предполагает в  начальный момент времени известное  распределение скоростей, например, функцию Пуайзеля, что и было сделано при численном моделировании.

При численном  моделировании был смоделирован переходный процесс. Это процесс  между двумя установившимися  состояниями, которые в свою очередь, описываются моделями установившегося движения жидкости. Модели установившегося движения задает формула Пуайзеля.

Переходный  процесс рассчитанной модели завершается  за 1700 секунд. Это время в несколько  раз большее времени изменения  функции, задающей давление. Можно сделать вывод, что «инерция» при переходных процессах в вязких жидкостях довольно большая. Уменьшение вязкости сможет укорить процесс, однако модели ламинарного течения принятые для сильновязких жидкостей могут оказаться непригодными.

Просчитанный  участок является элементарным элементом реальной трубопроводной системы. Исследовав поведение всех участков системы, и зная, какие элементы (насосы, заслонки, трубы) её составляют, и как поведение каждого из них влияет на систему в целом, можно выработать алгоритмы оптимизации работы трубопроводной системы. Необходимо создать единую систему управления всеми элементами системы и оснастить трубопроводы насосами переменного вращения, датчиками и регуляторами давления и скорости (в том числе автоматическими и аварийными), что позволит удешевить процесс перекачки, избежать перегрузок, разрыва труб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Список Литературы

1. Валандер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Учеб. пособие. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. Ил. – 58, библиогр. – 5 назв. 269 с.
2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. М., Физматгиз, 1963 г., 584 стр. с илл.
3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. 2. М., Физматгиз, 1963 г., 728 стр. с илл.
4. Кузьмин А.А. Бесселевы функции. М.,1954.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 2. М., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.
6. Уравнения математической физики. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Изд. 5-е, стереотипное, учебное пособие для высших учебных заведений, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»,М., 1976, 736 стр.ё
7. Полянин А.Д. Справочник по уравнениям математической физики. «Наука»,М., 2001.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

 

Ввод  констант и расчёт корней функции  Бесселя

 

 

 

 

 

 

 

Исследование сходимости ряда

 

 

 

 

 

 

Начальное, конечное распределение скоростей, задание экспоненциального изменения  давления

 

 

 

Расчёт  переходного процесса

 

 

 

 

 

Различные виды функции изменения давления

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчёт  переходных процессов для нефти  при различных видах функции  изменения давления