Исследование неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе

2. Уравнение неразрывности (закон сохранения масс применительно к жидкой среде)

Одним из основных законов механики является закон сохранения масс. Это физический закон, справедливый для движений, происходящих со скоростями, незначительными по сравнению со скоростью света.

Рассмотрим интегральную запись закона сохранения масс.

Рассмотрим  в момент времени  некоторый объем жидкости , ограниченный поверхностью . Обозначим через М массу жидкости в этом объеме. Частицы жидкости, находившиеся в момент в объеме , перемещаясь, заполнят в момент объем с массой М'.

Предположим, что в процессе движения жидкости нет ни возникновения, ни исчезновения массы; тогда закон сохранения массы запишется в виде

     (4.2.3)

Масса жидкости в объеме равна . Масса в объемах и соответственно будут равны

    (4.2.4)

Таким образом закон сохранения массы будет выглядеть так:

    (4.2.5)

Или, что тоже

    (4.2.6)

Формула (4.2.6) и представляет собой закон сохранения масс в интегральной форме.

Теперь дифференциальная запись закона сохранения масс.

Дана формула (4.2.6) закона сохранения масс. Вычислим данную производную по известной формуле (1.21) приняв .

  (4.2.7)

Преобразуем подынтегральное выражение

  (4.2.8)

Равенство имеет смысл для любого объема . Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю, таким образом

     (4.2.9)

Эта запись есть дифференциальная запись закона сохранения масс, иначе еще  уравнение (4.2.9) носит название уравнения неразрывности.

Уравнение неразрывности либо сплошности выражает один из фундаментальных законов природы - закон сохранения массы применительно к жидкой среде.

Поскольку при  выводе его не делалось никаких ограничений, то оно справедливо как для  установившегося, так и для неустановившегося движений сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение (4.2.9) относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости.

Рассмотрим  некоторые частные случаи. При  установившемся движении все производные  по времени равны нулю, что следует  из самого определения этого понятия, поэтому

    (4.2.10)

Если движение установившееся и жидкость несжимаема, т.е. , то

     (4.2.11)

Либо в проекциях  на декартовы оси координат (см. формулу 1.6)

    (4.2.12)

Установим физический смысл этого  соотношения. Частные производные  , ,   характеризуют скорость относительного удлинения (укорочения) жидкой частицы. Если этот процесс происходит одновременно вдоль всех координатных осей, то он приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Ясно, что если частица удлиняется вдоль осей x и y, то она должна укорачиваться относительно оси z. Другими словами, хотя бы одна из производных, входящих в (4.2.12), должна быть отрицательна, т.к. в противном случае соотношение не может быть равным нулю.

Поле, в котором  , носит название соленоидального.

 

 

 

 

 

5. Гидродинамика вязкой жидкости

1. Модель вязкой жидкости

Приступая к рассмотрению движения вязкой жидкости, необходимо прежде всего уяснить терминологию , т. е. смысл, вкладываемый в понятие «вязкая жидкость». С математических позиций необходимо установить вид функциональной зависимости для напряжений, либо, другими словами, сформировать модель вязкой жидкости. В дальнейшем под вязкой мы будем понимать жидкость, удовлетворяющую трем гипотезам: линейности, однородности и изотропности.

Гипотеза  линейности.

Применим закон Ньютона к  жидкости, движущейся параллельно плоскости xOy (рис. 4.1.1), что дает

Воспользуемся результатом, полученным при помощи теоремы Гельмгольца(см [7]) о движении жидкой частицы. Согласно теореме, скорость угловой деформации относительно оси y

 

Так как движение происходит в плоскости xOy, то и

  

и, следовательно, касательное напряжение

                          (5.1.1)

Рис. 5.1.1

Полученный результат иллюстрирует так называемый закон  трения Стокса. Согласно этому закону, напряжения, возникающие в жидкости, в отличие от твердого тела, пропорциональны не величинам, а скоростям деформаций, и связаны с ними линейной зависимостью. При этом коэффициент пропорциональности остается неизменным и равным 2m.

Кроме того, согласно закону Стокса касательные напряжения, как показано выше, пропорциональны скоростям угловой деформации, а нормальные - скорости линейной деформации, т.е. , , .

Таким образом, можем записать

   (5.1.2)

и т.д.

Рассмотрим теперь нормальные напряжения, возникающие от сил вязкости. Согласно закону Стокса(см [7]), их можно записать в виде так называемых девиаторов напряжения, имеющих вид:

      (5.1.3)

Полные нормальные напряжения отличаются тем, что помимо записанных выше в  любой, как в вязкой, так и в  невязкой жидкости, действуют и статические  давления. Другими словами

     (5.1.4)

Выполним следующую операцию: из утроенной величины вычтем сумму ( ). Это дает:

откуда найдем

В качестве давления в вязкой жидкости принимают среднее арифметическое, т.е. . И, следовательно,

   (5.1.5)

Для несжимаемой жидкости , и выражения упрощаются.

Гипотеза  однородности.

Предполагается, что вид линейной зависимости между напряжениями и скоростями деформаций одинаков для  всех точек пространства.

Гипотеза  изотропности.

Вязкая жидкость предполагается изотропной, т.е. ее свойства в любом направлении  одинаковы.

2.  Уравнение движения в напряжениях

Вывод произведем на основании закона количества движения для сплошной среды. Закон количества движения для системы  материальных точек устанавливает связь между изменением количества движения и силами, которые вызывают это изменение. При рассмотрении движения жидкости в отличие от движения системы материальных точек приходится иметь дело с силами, непрерывно распределенными по объему или по поверхности. Перейдем к интегральной записи закона количества движения.

Выделим в движущейся жидкости некоторый  объем  , ограниченный поверхностью . Пусть вектор — количество движения массы жидкости, заполняющей этот объем. В элементарном объеме заключена масса . Количество движения этой массы, имеющей скорость :

     (5.2.1)

Количество движения массы, заключенной  в объеме :

    (5.2.2)

Для выделенной массы жидкости вектор , как и объем , — функции времени.

Закон количества движения можно сформулировать так: производная по времени от количества движения некоторой системы масс равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. Следовательно,

    (5.2.3)

Подставляя в (5.2.3) выражения (2.10) и (2.12) для главных векторов массовых и поверхностных сил и выражение (5.2.2) для , получаем запись закона количества движения в виде

   (5.2.4)

Проинтегрировав (5.2.4) от до , получим запись закона количества движения для конечного промежутка времени

  (5.2.5)

Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно сумме импульса массовых сил и импульса поверхностных сил.

Обратимся к равенству (5.2.4). Для дифференцирования объемного интеграла имеем формулу

    (5.2.6)

Принимая во внимание (5.2.6) перепишем (5.2.4) в виде

   (5.2.7)

Равенства (5.2.4), (5.2.5), (5.2.7) дают интегральную запись закона количества движения.

Теперь определим дифференциальную запись закона количества движения.

Исходим из интегральной записи закона (5.2.7)

   

Используя для  формулу Коши(см. [2]), преобразуем интеграл по в правой части (5.2.7) к интегралу по объему , применяя формулу Гаусса-Остроградского:

 (5.2.8)

Подставляя (5.2.8) в (5.2.7), получаем интегральную запись закона в виде

  (5.2.9)

Так как (5.2.9) имеет место для любого объема , то, следовательно,

  (5.2.10)

Выполнив дифференцирование в  первом слагаемом, можем переписать (5.2.10) в виде

  (5.2.11)

Равенства (5.2.10), (5.2.11) представляют собой дифференциальную запись закона количества движения в общем случае.

Предположим, что движение сплошной среды происходит при отсутствии источников массы. В этом случае уравнение неразрывности имеет вид (5.9). Учитывая это, получим запись закона количества движения в векторной форме:

   (5.2.12)

Или в проекциях на оси координат:

   (5.2.13)

Слева в уравнениях (5.2.13) стоит оператор полной производной. Уравнение (5.2.12) или эквивалентную ему систему уравнений (5.2.13) обычно называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях.

Получим наиболее общее уравнение, связывающее поверхностные и  массовые силы ­ так называемое уравнение  движения в напряжениях.

3. Уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса

18 марта 1822 года в докладе,  представленном Французской академии  наук, Клод Луи Навье писал о полученных им уравнениях: «Хотя уравнения основаны на гипотезе Ньютона о том, что касательные напряжения пропорциональны скорости деформации, никак нельзя сказать, что они не выражают ничего нового».

Уравнения движения вязкой жидкости можно получить из уравнений движения в напряжениях (5.2.13), выполнив некоторые преобразования. Рассмотрим лишь одну проекцию этих уравнений:

Как было показано при рассмотрении модели вязкой жидкости (5.5), нормальные напряжения

Для упрощения задачи будем считать  жидкость несжимаемой ( ), тогда

 (5.2.14)

Касательное напряжение

 (5.2.15)

аналогично

 (5.2.16)

Суммируя (5.2.14), (5.2.15) и (5.2.16) и группируя члены, получаем:

Третий член можно записать в  виде:

но жидкость несжимаема, и  . Таким образом получаем:

 (5.2.17)

Выражение в скобках есть ни что  иное, как оператор Лапласа - , а .

Окончательно получаем:

  (5.2.18)

Аналогично можно расписать  и две другие проекции. Полученная система уравнений движения вязкой жидкости и носит название системы уравнений Навье-Стокса.

В векторной форме можно записать

   (5.2.19)

Это уравнение отличается от уравнения  движения идеальной жидкости дополнительным членом ( ), учитывающим действие сил вязкого трения.

Целью гидродинамического расчета  является нахождение полей скоростей  и давлений, т.е. в результате расчета  должны быть найдены четыре величины: , , и p. Принципиально это оказывается возможным, так как три уравнения Навье-Стокса (в проекциях) плюс уравнение неразрывности образуют замкнутую систему. Плотность и вязкость, входящие в них, считаются известными, а проекции массовых сил ( ) задаются условиями конкретной задачи.

С чисто математических позиций  уравнения Навье-Стокса относится  к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных  второго порядка. Одно из наиболее неприятных из их свойств ­ нелинейность, обусловленная наличием конвективных членов ускорения. Следует отметить, что до настоящего времени вследствие практически непреодолимых математических трудностей не получено ни одного общего решения уравнений Навье-Стокса в их полном виде, т.е. при сохранении всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость. Известны лишь отдельные частные решения.

Одним из основных граничных условий  при интегрировании является условие  «прилипания», т.е. равенство нулю скорости жидкости на стенке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Формулировка задачи

1.  Общая формулировка

Рис. 6.1 Упрощённая схема нефтепровода.

 

Нефтепровод в  общем случае имеет сложную распределенную структуру и состоит из многих отрезков труб и основных и подкачивающих  насосов, скапливающих и раздаточных  резервуаров. Упрощённо нефтепровод можно представить в виде схемы на рисунке 6.1. Нефть движется слева направо. Изображён источник нефти (некие резервуары), труба с двумя насосами на концах и раздаточный терминал, куда происходит стравливание нефти.

Рассмотрим  участок, на котором происходит перегон нефти по трубе от одного насоса до другого. Очевидно что нефть движется из-за давлений создаваемых насосами. Первый насос основной, второй подкачивающий. Нефть жидкость вязкая, поэтому, если давление будет создаваться только одним насосом – основным, то со временем по мере продвижения жидкости по трубе её скорость будет падать, и чтобы она не упала до 0 устанавливают дополнительные подкачивающие насосы, обеспечивающие поддержание необходимой скорости движения. В данном случае такой насос один, в реальности такие насосы стоят по всей длине нефтепровода. Понятно, что от давления зависит расход нефти на конце трубы. Задача управления сводится к тому, что необходимо регулировать расход нефти на конце трубы, то есть необходимо регулировать скорость движения нефти. Управление в данной задаче чисто механическое. Насосы с переменным вращением ротора. Меняя вращения ротора можно увеличивать или уменьшать создаваемое насосом давление. Если течение жидкости стационарно, то есть не зависит от времени, то, вообще говоря, для описания распределения скоростей существует закон Пуайзеля. Но насосы не могут мгновенно выдать требуемое давление. Давление растёт с течением времени. Это отражается на скорости движения нефти. Иными словами присутствует нестационареность в виде некого переходного процесса. Поэтому закон Пуайзеля в данном случае неприменим. Главенствующим здесь являются условия на концах трубы. Они меняются со временем, поэтому имеем существенно нестационарную задачу.