Исследование неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе

Существенное  ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по которым работает оператор.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже  отмечалось, что одно из фундаментальных  свойств жидкости ­ ее вязкость ­  не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные , , , ориентированные по внешним нормалям (см. рис. 2.3.3). При этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показывает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимающие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений , из чего следует, что нормальные напряжения в данной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гидромеханике называют давлениями, либо более полно ­ гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой p, т.е.

Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как  компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Теоретическое изучение движения жидкости связано с так называемой моделью  идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться разрывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. лишенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений.

4.   Число Рейнольдса

Течение вязкой жидкости по трубам в зависимости  от ряда условий может быть ламинарным (или слоистым) и турбулентным (или  вихревым). В случае ламинарного  течения все молекулы жидкости движутся параллельно оси трубы и, находясь на одинаковом расстоянии от осевого центра трубы, имеют равные скорости

Для турбулентного  движения характерно наличие нормальной (перпендикулярной направлению течения  жидкости) составляющей скорости движения молекул и резкий спад скорости течения  при приближении к границам. Траектория движения молекул представляет собой сложную кривую линию.

Характер течения  можно установить, пользуясь безразмерной величиной - числом Рейнольдса:

     (2.5.1)

где  ρ – плотность жидкости, v_ср - средняя (по сечению трубы) скорость потока; μ - коэффициент вязкости жидкости; r - характерный геометрический размер, в частности, радиус сечения цилиндрической трубы.

Число Рейнольдса характеризующет  отношение сил инерции и сил  вязкости. Таким образом, текущую  жидкость можно рассматривать как невязкую, если число Рейнольдса для такого течения Re>1. Однако и в этом случае вязкость играет вспомогательную роль. При не очень высоких скоростях течения силы вязкости "гасят" компоненты скорости жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым, возникновению неустойчивого течения.

Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе  радиуса R. Число Рейнольдса в этом случае . Если принять радиус трубы R = 1 см и скорость течения v = 1 см/с, то для воды (ρ=103 кг/м³, при t > = 15) число Re=86. Это означает, что силы вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую жидкость. Однако это приближение становится несправедливым, если радиус трубки уменьшить на два порядка, и Re=0,86 < 1. При таком течении распределение давлений и скоростей в потоке уже не подчиняется уравнению Бернулли.

 

 

 

 

 

 

3. Классификация течений жидкости

1. Ламинарное течение

Гидродинамика ламинарных течений изучает поведение жидкости в нетурбулентном режиме. Во многих случая уравнения гидродинамики имеют достаточно простой вид и могут быть решены точно. Некоторые наиболее важные задачи этого раздела гидродинамики:

• стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости при различных граничных условиях
• стационарное течение вязкой жидкости, уравнение Навье-Стокса
• волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости и прочие нестационарные явления
• ламинарное обтекание конечных тел
• течения в различных несмешивающихся жидкостях, тангенциальные разрывы и их устойчивость
• струи, капли и прочие течения конечных размеров

Ламинарное течение  наблюдается при малых значениях  числа Рейнольдса. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Для воды в гладких круглых трубах Re_кр = 2000.

В случае ламинарного течения жидкости согласно третьему закону Ньютона более медленные слои за счет вязкого трения тормозят более быстрые и наоборот, быстрые ускоряют медленные. Причем молекулы стенок трубы не имеют тангенциальной составляющей скорости, и пограничный слой жидкости жестко "прилипает" к ее стенкам. Таким образом, скорость движения отдельных равноудаленных от оси трубы цилиндрических слоев жидкости возрастает от нулевого до максимального значения по мере удаления от стенок трубы (см. рисунок 2.2.3). При стационарном течении распределение скоростей по сечению трубы имеет параболический характер.

Рассчитаем поток или  количество жидкости, протекающей через  поперечное сечение трубы S в единицу времени. В случае однородного поля скоростей величина потока Q зависит от скорости течения жидкости u по формуле

Рассчитаем поток жидкости dQ, вытекающей из цилиндрического слоя толщиной dr, расположенного на расстоянии r от оси трубы, а затем проведем интегрирование по всем слоям от 0 до R.

dQ = v(r)·dS = v(r)·2π·r·dr   (3.1.1)

где dS - площадь поперечного сечения цилиндрического слоя.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо найти зависимость v(r). Выделим цилиндр радиусом r и длиной L, расположенный симметрично осевой линии трубы (рис. 2.3).

 При стационарном  течении скорость течения со  временем не изменяется, следовательно,  сумма всех сил, действующих  на все объемы жидкости, равна  нулю. На выделенный цилиндр действуют  следующие силы: сила давления, равная  произведению разности внешних давлений на площадь поперечного сечения выделенного объема, и сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра радиусом r, рассчитываемая по формуле Ньютона. Таким образом из (3.1.1):

(p₁ - p₂)π·r² = μ·|dv/dr|·2π·r·L.

Преобразуя предыдущее уравнение, получим, что 

- dv = (p₁ - p₂)·r·dr/(2μ·L)

Проинтегрировав это  выражение с учетом граничных  условий v = 0 при r = R,

получим формулу для  расчета скорости слоев жидкости, расположенных на расстоянии r от оси трубы:

v(r) = (p₁ - p₂)·(R² - r²)/(4μ·L)    (3.1.2)

Максимальная скорость, достигаемая в центре трубы v₀, равна:

v₀ = (p₁ - p₂)·R²/(4μ·L)

Проведя интегрирование по радиусу, найдем выражение для  потока жидкости, вытекающей из трубы:

Q = (p₁ - p₂)·π·R⁴/(2μ·L)     (3.1.3)

Cоотношение (3.1.2) называется формулой Пуазейля.

Из него следует, что  поток в случае стационарного  течения жидкости обусловлен перепадом  давлений, зависит от геометрии трубы  и свойств жидкости.

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении.

Пользуясь формулой Пуазейля можно определить вязкость жидкости. Однако более удобно вязкость жидкости определять по методу Стокса, измеряя время падения шарика в этой жидкости.

Распределение скоростей принимает вид параболы вдоль оси OX (рис. 3.2).

рис. 3.2

2.  Турбулентное течение

При достаточно малых  скоростях потока жидкости или газа течение всегда является ламинарным, однако при увеличении скорости всегда происходит переход в турбулентное течение, которое является уже существенно нестационарным и пространственно-неоднородным, поскольку скорость частиц жидкости, давление и другие характеристики среды изменяются во времени и пространстве нерегулярно, случайным образом даже при постоянных внешних условиях.

Основным параметром, с помощью  которого описываются ламинарное течение, турбулентное течение и переход  от ламинарного течения к турбулентному течению, является число Рейнольдса Re.

Параметр Re - безразмерный, он определяет отношение сил инерции к вязким силам в уравнении Навье-Стокса. Существует критическое число Рейнольдса Reкр, такое, что при Re<Re_кр поток будет ламинарным, а при Re>Re_кр - турбулентным.

Переход ламинарного течения в  турбулентное легко фиксируется  при наблюдении окрашенных струй. При  ламинарном течении струя имеет  вид ровной линии. При переходе к  турбулентному течение струю  завихряется, краска размывается, постепенно расплываясь по всему сечению трубки.

Изменение числа Re при течении в одной и той же трубке можно осуществлять как изменением скорости потока (перепада давления на концах трубки), так и изменением вязкости жидкости, например, нагревая ее или заменяя на другую.

Если увеличивать скорость потока так, что число Рейнольдса станет несколько больше единицы, то увидим, что поток изменился. За сферой возникают  вихри. Обычно считают, что циркуляция нарастает постепенно. Когда Re принимает  значения от 10 до 30, поток меняет свой характер.

Когда число Рейнольдса проходит значение в районе 40, характер движения претерпевает неожиданное и резкое изменение. Один из вихрей за цилиндром становится настолько длинным, что отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью. При этом жидкость за цилиндром снова закручивается и возникает новый вихрь. Вихри отслаиваются то с одной, то с другой стороны и в какой-то момент вытягиваются вихревым следом за цилиндром. Такой поток вихрей называется цепочкой Кармана. Она всегда появляется для чисел Рейнольдса Re > 40.

Рис. 3.3

 

1. ламинарный режим, Re < 1;
2. первая стадия неустойчивости, 1 < Re <40;
3. вторая стадия неустойчивости (вихревая дорожка), Re > 40;
4. развитая турбулентность, Re > 10³.

 

При малых значениях Re ( Re < 1 ) имеет место ламинарное обтекание цилиндра (рис. а).

При 1 < Re < 40 вблизи первого критического значения значения Re = 1 исходный поток становится неустойчивым, однако новый тип течения окончательно определяется при Re > 10: за цилиндром образуются два вихря, но течение остается стационарным и ламинарным (рис. b).

При Re > 40 стационарное движение теряет устойчивость. Вихри удлиняются, отрываются и уплывают с потоком жидкости. В результате за цилиндром образуется т.н. вихревая дорожка. Движение становится нестационарным, но периодическим (рис. c).

При Re > 1000 вихри уже не успевают формироваться и заменяются быстротурбулизирующимися областями. При Re ~ 10⁴ движение становится нерегулярным; при Re ~ 10⁵ турбулентная область продвигается вплоть до поверхности цилиндра (рис. 2.5d).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Кинематика жидкости

Кинематика занимается изучением  движения жидкости, не интересуясь  причинами, которые его вызвали. По образному выражению Н.Е.Жуковского, кинематика изучает «геометрию движения». Принципиально можно пойти двумя путями. По первому из них изучается движение каждой отдельной жидкой частицы. Чтобы выделить ее, в начальный момент времени отмечаются ее координаты , и . Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени, т.е. известны параметрические уравнения траекторий всех частиц. Этот путь предложен Лагранжем. По методу Эйлера изучается изменение скорости и других параметров в точках пространства x, y, z.

1. Установившееся  и неустановившееся движение жидкости

Установившемся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры  потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т.е.

      (4.1.1)

Рис. 4. 1.1

Если это условие не соблюдается  и параметры в точке меняются с течением времени

              (4.1.2)

движение называют неустановившимся (нестационарным).

В этих формулировках следует обратить внимание на то, что речь идет о параметрах в точке. Чтобы уяснить это, рассмотрим канал, показанный на рис. 4.1.1. В гидромеханике такие каналы, в которых площадь сечения уменьшается по ходу потока, называют конфузорами. Исходя из чисто интуитивных представлений ясно, что скорость течения по ходу канала будет возрастать. Возникает вопрос, может ли быть установившемся движение в таком канале. Очевидно, может, если параметры в точках A и B не будут изменяться с течением времени. Определение вида движения не требует, чтобы параметры в точках А, В и С были одинаковы.