Исследование неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе

Исходя из выше сказанного, общую задачу управления можно сформулировать следующим образом. Необходимо получить закон изменения скорости вязкой несжимаемой жидкости, при движении в круглой трубе в условиях нестационарности.

Также необходимо провести пример расчёта со стандартными для нефтепровода и нефти показателями.

Следует учесть, что рассматривать  нужно только ламинарное течение  жидкости, т.е. рассматривается движение при числах Рейнольдса меньших 20000, тем самым обеспечивая течение  параллельно оси трубопровода

2. Математическая модель

Требуется получить математическую модель ламинарного движения вязкой несжимаемой  жидкости в цилиндрической трубе  в условиях нестационарности.

Для математического описания используем систему уравнений для вязкой жидкости при изотермическом процессе:

    (6.2.1)

В (6.2.1)Первое уравнение – уравнение  неразрывности, второе – уравнение  Навье-Стокса.

, , .  

Если пренебречь массовыми силами , и учесть во внимание, что нефть жидкость несжимаемая, то есть и получим:

  (6.2.2)

Уравнение неразрывности и уравнение  Навье-Стокса образуют систему четырех  уравнений для отыскания  проекций скорости и давления.

Рассматриваем одномерное течение  жидкости. Будем считать течение  одномерным, если скорости параллельны некоторому направлению в пространстве; при этом в точках плоскости, перпендикулярной этому направлению, гидродинамические величины могут принимать различные значения. Выберем направление движения за направление оси z. Тогда . Учитывая данный факт система (6.2.2) примет вид

  (6.2.3)

, то есть скорость не зависит от . , следовательно, давление не зависит от и .

.

Учитывая выше сказанное, перепишем  систему (6.2.3) в виде

.    (6.2.4)

Левая часть данного уравнения  не зависит от , следовательно, может зависеть только от времени: , значит . Таким образом, в одномерном движении давление является линейной функцией . Функции и могут быть найдены, если в двух сечениях и задано давление р, а именно . Тогда

 Теперь (6.2.4) выглядит следующим  образом:

.    (6.2.5)

Поскольку область течения является цилиндрической, то рассмотрение данной математической модели целесообразно проводить в системе координат также цилиндрической .

Это можно сделать либо записью  конечного уравнения  (6.2.5) в цилиндрических координатах, либо выводом конечного  уравнения, как это сделано выше, только при этом исходные уравнения  должны быть записаны в данной системе координат. Остановимся на первом варианте, т.к. проделывать второй раз те же действия нецелесообразно.

Запишем уравнение движения в цилиндрических координата6. Для начала напишем  уравнения перехода:

           

Тогда уравнение перепишется так:

.

Так как течение осесимметрично, то скорость не будет зависеть от . Значит получаем следующее:

    (6.2.6)

Так как процесс нестационарный необходимо задать начальные условия, пусть в момент времени , . Пусть до начала переходного процесса распределение скоростей соответствует модели Пуайзеля. При определений условий на внутренней границе трубы, то есть при , следует учесть следующее. Из-за наличия сил вязкого трения скорости в центре трубы будут на порядок выше, чем скорости на границе трубы. На внутренней стороне тубы выполняются условия прилипания. Поэтому примем приближение .

Условия на концах трубы зависят  от времени по закону .

3.  Математическая формулировка задачи

Дано уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе. Необходимо найти нестационарные решения системы (6.2.6).

Для отыскания решений системы  должны быть заданы граничные и начальные  условия. Для отыскания установившихся решений достаточно задать граничные  условия на границе трубы, т.е. скорость на границе трубы.

Для отыскания же неустановившихся решений недостаточно граничных условий и к ним необходимо добавить начальные условия. Для нестационарных задач движение будет зависеть от того состояния, с которого оно началось.

Так как процесс нестационарный необходимо задать начальные условия, пусть в момент времени , . Пусть до начала переходного процесса распределение скоростей соответствует модели Пуайзеля. При определений условий на внутренней границе трубы, то есть при , следует учесть следующее. Из-за наличия сил вязкого трения скорости в центре трубы будут на порядок выше чем скорости на границе трубы. На внутренней стороне тубы выполняются условия прилипания. Поэтому примем приближение . Условия на концах трубы зависят от времени по закону .

Таким образом, задача состоит в  том, чтобы найти функцию , которая являлись бы решениями системы (6.2.6), в начальный момент времени обращалась бы в заданную функцию и во все моменты времени удовлетворяли бы граничным условиям.

,     

,      

.

 

 

 

 

7. Аналитическое решение

,    (7.1)

,       (7.2)

.       (7.3)

Имеем уравнение  с частными производными второго  порядка параболического типа с (двумя или одной) независимой  переменной (7.1), однородными граничными (7.3) и неоднородными начальными (7.2) условиями. - возмущающая функция. Требуется найти при заданных условия7.

Для задача нахождения решения для (7.1) разбивается на две: однородное уравнение с неоднородным начальным условием и неоднородное с нулевыми условиями. Чтобы получить решение исходной задачи необходимо сложить полученные решения.

Обе задачи будем  решаются методом разделения переменны7.

Начнём с решения однородного  уравнения:

     (7.4)

с начальными и граничными условиями (7.2) и (7.3)

Ищем частное решение уравнения  в виде произведения функций разных аргументов:

.      (7.5)

Подставив это  решение в уравнение (7.4), приходим к равенству:

,     

;   (7.6)

Обе части этого  равенства должны быть постоянными  величинами:

, 

;  (7.7)

Начнём с  решения уравнения для  , оно сводится к уравнению Бесселя:

,

частные решение которого:

,    (7.8)

где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, - функция Бесселя второго рода нулевого порядка. При Второе слагаемое в (7.8)   обращается в бесконечность, при этом должна быть конечна, поэтому положим :

, ,    (7.9)

Находим собственные значения и собственные функции , . Для этого воспользуемся граничными условиями:

,       

.    (7.10)

Уравнение (7.10) имеет бесконечное число корней , которым соответствует бесконечное число собственных функций .

Пусть корни уравнения , тогда сравнив с (7.10) получим:

,

при :

,

применив к (7.9) получаем:

,

тогда

;

Находим решения  уравнения , соответствующие собственным значениям .  это обыкновенное дифференциальное уравнение:

,

решение этого уравнения имеет  вид:

,

так как в (7.6) и , то решение для получаем в виде:

.

Ищем решение уравнения (7.4) в соответствии с (7.5) в виде ряда:

 Постоянные  и ищем с помощью начальных условий:

пусть

  ,

тогда

,  (7.11)

положим в (7.7) начальные условия:

,    (7.12)

умножим обе  части уравнения на , , затем проинтегрируем от до :

,  (7.13)

дальше полезно  воспользоваться свойствами ортогональности Бесселевых функций [Кузьмин – ”Бесселевы функции” (c. 113)]: ,      (7.14)

Вследствие (7.14)  все интегралы в правой части (7.13) обратятся в 0 за исключением  одного при  . Сделаем замену = :

.  (7.15)

В итоге для  получаем:

, (7.16)

 

Уравнение (7.12) представляет собой разложение в ряд Фурье-Бесселя, где .

Обозначим

  (7.17)

Пользуясь функцией можно представить в виде

Теперь перейдём к решению неоднородного (7.1) уравнения с ненулевыми начальными условиями, получим задачу:

,    (7.18)

,       (7.19)

.        

Решается оно также как и  предыдущее методом разделения переменны7.  Решение будем искать в виде разложения в ряд Фурье-Бесселя (7.12), по собственным функциям предыдущей задачи. Отличия начнуться с формул (7.7), теперь:

Решая это неоднородное уравнение  методом вариации постоянной (решение  подробно расписано в Тихонов  ”Уравнение мат физики” с. 215) получим:

,       

где , член разложения в ряд Фурье-Бесселя. Аналогично с решением задачи (7.4):

,

а в соответствии с (7.17) 

.  (7.20)

Итак, решение  исходной задачи (7.1) получаем следующее:

, (7.21)

где

,  (7.22)

а корни уравнения .

Авторы книг по Бесселевым функциям (например, [Кузьмин – ”Бесселевы функции”) утверждают, что ряд Фурье-Бесселя достаточно быстро сходится, поэтому можно предположить, что ряд (7.22) сходится достаточно быстро. Ряд подробнее исследуем в практической части данной работы.

Начальное распределение скоростей соответствует закону Пуайзеля, поэтому

.

 

 

 

 

8. Пример расчёта

Все расчёты  выполнены в среде Mathcad 11. Mathcad является интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной  математической  информации. Пользоваться им легко и удобно.

Параметры выберем  стандартные. Длина трубы составляет 10 километров, диаметр 2,5 метра, начальная скорость в центре 2м/с, вязкость нефти (температура 15^оС) составит 3*10^-4 м²/с, плотность 900 кг/м³. Введём закон изменения давления

.        (8.1)

Определим число  Рейнольдс8. Величина скорости – 1,9 м/с, все остальные величины нам тоже известны. Мы должны подставить среднюю скорость. Как известно средняя скорость

 

для установившегося  движения. И нужно было бы подставить 1,25 м/с, но у нас скорость увеличивается, поэтому мы берем величину средней скорости с небольшим «запасом». К тому же, при определении числа Рейнольдса важен порядок величин. А не их точные значения.

,

Поскольку здесь  число Рейнольдса большое, нужно  было бы разделить задачу и работать отдельно с центральным потоком и отдельно с пограничным слоем. Причем, пограничный слой уже можно считать турбулентным, в нем будут возникать вихри, которые будут отрываться от стенок трубы. Но во многих источниках говорится, что «многочисленные и разнообразные исследования показывают, что ламинарное движение в круглых цилиндрических трубах может сохраняться даже при в случае тщательного уменьшения возмущений, действующих на поток при входе в трубу». Можно также учесть опыты Рейнольдса,  когда критическое число Re возрастало до 10⁶. [1]

Чтобы не усложнять  задачу, мы не будем рассматривать  отдельно пограничный слой. Однако, когда мы получим графики распределения, они могут неадекватно отражать картину распределения скоростей вблизи стенок трубы  в силу наших упрощений. А не станет ли движение, которое мы вначале принимаем за ламинарное, в ходе изменения скорости турбулентным? Не станет, так как в математической модели мы увеличиваем скорость движения.  А согласно [1] при ускорении потока задерживается ускорение турбулентности. Поэтому моделирование лучше проводить при ускорении потока, так как усиления турбулентности не происходит.

Параметры выберем  стандартные. Длина трубы составляет 10 километров, диаметр 2,5 метра, начальная скорость в центре 2м/с, вязкость нефти (температура 15^оС) составит 3*10^-4 м²/с, плотность 900 кг/м³. Введём закон изменения давления

.        (8.1)

Изначально  движение установившееся. Следовательно, распределение скоростей в трубе отвечает закону Пуайзеля.

       (8.2)

Подставим в (8.2):

,

получим

.

Конечное распределение  также будет соответствовать  модели Пуайзеля и, имея закон изменения  давления (8.1), можно вывести формулу конечного распределения.

Подставим в (8.2):

,

получим

.

На рисунке 8.1 представлены графики начального и  конечного распределения.

Рис. 8.1. Начальное  и конечное распределение скоростей.

 

Визуально, информативней будет посмотреть на картинку (график) распределения скоростей в трех плоскостях (рис. 8.2). Помимо распределения скоростей (8.1) добавим на график также трубу (цилиндр):

 

Рис. 8.2 Начальное  распределение скоростей в трубе.

Закон изменения давления (8.2) представлен на рисунке 8.3.

Рис 8.3 Закон  изменения давления

.

Давление меняется приблизительно за 200 секунд. И затем  разница давлений становится постоянной.

Перед тем как  приступить к расчётам по полученной формуле необходимо оценить погрешности.

, (8.3)

где

, 

 Количество  слагаемых ряда (8.3) сильно влияет  на погрешность, мы его ограничиваем  вручную. Иными словами, интеграл  берётся заданное для сложения  число n раз. Бесконечно суммировать нельзя, также как и просто задать большое n так как это потребует больших вычислительных ресурсов, а, следовательно, вычисления потребуют достаточно много времени. Необходимо выяснить какое же n принципиально значимо, сколько слагаемых можно оставить. Для этого ограничим ряд переменной n, и посмотрим на графики накопительной суммы ряда (8.3) в зависимости от n, варьируя время при постоянном радиусе и наоборот варьируя при .