Лекции по "Эконометрика"

    Умножим и разделим на Sу/

    

    Это коэф-т выбороч корре-и м/у х  и у.

    => b1 пропорц-ен коэф-ту выбороч коррел-и, а коэф-м пропорц-ти яв-ся отн-ие стандартов откл-ий рассматр-х фак-ров, что позволяет соизмерить эти ф-ры даже при усл-ии, что они яв-ся разноразмерными вел-ми.

    Т.е. в лин ур-ии ỹ=bo+b1x х и у м иметь разн ед-цы изм-ия. Допустим х – тыс руб, у -%. Если r уже рассчитан, то мы м легко найти ур-ия парной регр-ии у на х и построить ур-ие х на у.

Отсюда 

    Проведенные рассуж-ия позволяют сделать неск-ко выводов:

    1). Оценки коэф-тов по МНК позв-т их легко расч-ть, т.к. яв-ся ф-ями от выборки.

    2). Оценки яв-ся точечными (числовыми) оценками теорет-х коэф-в.

    3). Вычисления коэф-та bo всегда пок-т, что люб ур-ие регр-ии всегда проходит ч/з ср точку выборки

    4). Ур-ие регр-ии строится так, что ∑e_i=0 =>

    Покажем это. Из сис-мы ур-ий для коэф-в д  вып-ся усл-ие

    -2∑(y_i-bo-b1x_i)=0

    -2∑(y_i-ỹ_i)=0

    -2∑e_i=0 =>∑e_i=0

    5). Случ откл-ия e_i некоррел-ны (не зависят) со случ вел-ми y_i.

    6). Случ откл-ие e_i не коррел-т с объясняющими перем-ми, т.е. Sxe=0.

    Для опр-ия вида зав-ти построим поле коррел-ии.

    Для вычисления по МНК стр-ся табл.

    Для анализа правил-ти опр-ия коэф-в необ-мо расч-ть ỹ_i и e_i=(y_i-ỹ_i)

    Для анализа силы лин зав-ти вычисляем коэф-т коррел-ии.

    Под интерпретацией пон-ся словесное описание получ-х рез-тов с трактовкой найденных  коэф-в так, чтобы получ зав-ть стала понятна ч-ку, не имеющего навыков  эконометр анализа. После интерпретации  рез-тов всегда встает вопрос о кач-ве оценок и самого ур-ия в целом. 

    Проверка  качества уравнения  регрессии.

    Регресс-й  анализ позвол-т найти точечные оценки коэф-в ур-ий регр-ии. При этом мы знаем, что знач-е завис-й перем-й  y_i=βo+β1x_i+ε_i зависит от случ откл-ий ε_i=> У случ вел-ны, завис-ие от этих откл-ий. И пока мы не опр-м какому закону распред-ия подчинены случ вел-ны ε_i, мы не м.б. уверены в кач-ве оценок коэф-в урав-ия, а => и самого ур-ия ỹ=bo+b1x.

    Причем  б показано, что  , т.е. это тоже случ вел-на, причем если х м считать экзогенным (задав-м из вне) фак-ром, то у – случ вел-на.

    Теорет-ки b1 м разложить на неслуч и случ составл-ую. Для этого рассм-м ковариацию м/у х и у.

    

    и воспол-ся нек-ми правилами для вычисл-ия ковариации:

    1). cov(u,a)=0

    2). cov(u, av)= a cov(u,v)

    Тогда = cov(x,βo) +cov(x,β1x)+cov(x,ε) = β1cov(x,x)+cov(x,ε) = β1S²x+cov(x,ε)

    Отсюда 

    β1 – нек-ая const, а 2 слогаемое предст-т случ составл-ую, входящую в вел-ну коэф-та.

    Но  т.к. мы не знаем теоретич-х откл-ий ε, то рассч-ть это слогаемое непоср-но нельзя.

    Точно также м показать, что коэф-т  do имеет случ и неслуч состав-ую.

    Доаказано, что для получения по МНК наилуч-х  рез-тов необ-мо, чтобы выпол-ся ряд  требований отн-но случ вел-ны ε. 

    Предпосылки МНК (условия Гаусса-Маркова).

    1). Матем ожидание случ откл-ия ε=0 для всех набл-ий М(ε_i)=0 для люб ε_i. Это усл-ие озн-т, что в ср случ откл-ие не оказ-ют влияние на завис переем-ую, хотя в каждом из набл-ий они м.б. положит или отрицат, больш или малыми, но не д.б. причины, чтобы ε_i имело системат-ие откл-ия.

    2). Дисп-ии откл-ий пост-ны.

    D(ε_i)=D(εj)=σ²=const _i≠j.

    Подразумевает, что несмотря на то, что в каждом из набл-ий случ откл-ия м.б. различ-ми, нет никакой причины, вызывающей большую или меньшую ошибку при опр-ии откл-ий.

    Выполнимость  этой предпосылки наз-т гомоскедастичность, ее невыпол-ие гетероскедастичность.

    Рассм-м, что это озн-т.

    D(ε_i)=M(ε_i-M(ε_i))²=

    По 1 усл-ию M(ε_i)=0, поэтому = M(ε_i)²

    И => усл-ие м записать M(ε_i)²=σ².

    Причины и последствие невыпол-ия этой предпосылки б рассм-ть в общем анализе.

    3). Случ откл-ие ε_i и εj _i≠j не зависят др от др. Это означает, что отсут-т систем-я связь м/у 2 любыми парами откл-ий, т.е.

    

    Если  это усл-ие вып-ся, то гов-т об отсут-ии а/коррел м/у случ откл-ми.

    Это соотн-ие еще перепис-т в форме  M(ε_i,εj)=0 (_i≠j).

    4). Случ откл-ие д.б. незав-мо от объясняющ-х переем-х. Обычно это усл-ие вып-ся автомат-ки, если объяснящие перем-ые – известные вел-ны.

      Но м показать, что в принципе это выпол-ся в любых мделях данного типа.

    

    

    Пояснение

    

    5). Модель яв-ся линейной отн-но ее парам-ов βо β1. 

    Теорема Гаусса-Маркова.

      Основ-ся на предпосылках МНК.

    Если  все 5 предпос-к вып-ся, то оценки коэф-в, получ-е с помощью МНК облад-т след сво-вами:

    А). Оценки яв-ся несмещенными, т.е.

    

    Б). Оценки яв-ся состоятельными, т.к. дисп-ии их с ростом объема выборки стрем-ся к 0.

    

    Т.е. ↑ объема выборки приводит к устойчивости оценок коэф-в ур-ия. Сч-ся, что объем выборки д удовл-ть соот-ию n>3m-1, где m-кол-во объясняющих переем-х.

    В). Оценки эфф-ны, т.е. они имеют наименьшую дисп-ию разброса отн-но теорет-х вел-н по срав-ию с такими же оценками полученных с примен-м и люб др методов расчета.

    В англоязыч науч лит-ре эти оценки получ-ли название BLUE (голубые оценки) по первыем буквам (наилуч лин состоят эффект). Если наруш-ся предпосылки 2 и 3, то дисп-ии откл-ий не пост-ны, случ откл-ия связаны др с др и коэф-ты теряют св-ва несмещен-ти и эффек-ти.

    При этос б сделаны след предположения:

    1). Объясняющ перем-ые не яв-ся  случ.

    2). Случ вел-ны ε_i имеют норм распр-ие с пар-ми 0 и ε²

    ε_i²~N(0;σ²)

    Число набл-ий n>3m-1 сущ-но > числа объясняющ перем-х. Отсут-т ошибки специф-ии. М/у объясняющ перем-ми в случае m≥2 отсут-т зав-т (мультикол-ть). 

    Анализ  точности определения  оценок коэффициентов  регрессии.

    Изв-но, что мат ожидания расчет коэф-в  совпадают с их теоретич вел-ми

    

    При этом чем < откл-ие оценок от этих теоретич вел-н, тем надежнее построенное  ур-ие.

    Покажем, что дисп-ии оценок D(b1) и D(bo) непоср-но связаны с дисп-ей случ откл-ий в теоретич модели D(ε_i)=D(εj)=σ²=const _i≠j.

    Для этого запишем вел-ну b

    

    

    Обозначим за

    =∑С_iy_i

    Аналог-но преобр-м знач-е для bo.

    

    

    Обозначим

    =∑d_iy_i

    Причем  C_i и d_i –нек-ые const рассчит-е по выборке, что очевидно из их обозначений.

    Оценим  теперь вел-ну дисп-ий для коэф-та b1

    D(b1)=D(∑C_iy_i)=

    И т.к. мы знаем значение для дисп-ии разброса случ откл-ий, то м записать

    =σ²∑С_i²=

    

    Т.о. мы нали знач-ие дисп-ии на основе дисп-ии теоретич откл-ия ε.

    Аналог-но для bo.

    

    Мы  м получить, что она равна

    

    D(bo)=D(b1)x²

    Т.о. дисп-ия разброса коэф-та прямопропорц-на дисп-ии случ откл-ий => чем > фак-р случ-ти, тем менее точными б оценки и чем > число набл-ий в выборке, тем меньше б эти вел-ны разбросаны.

    Кроме того дисп-ии обратнопропорц-ны выбороч  дисп-ии объясняющ перем-й S²x, т.е. чем шире область изм-ий объясняющ перем-й, тем точнее б оценки. Но в силу того, что дисп-ии случ теоретич откл-ий σ² нам неиз-ны, мы б их заменять несмещен-й дисп-ей расчет случ откл-ий.

     ,

    где m- число объясняющ переем-х. Для парной регр-ии .

    Тогда стандарт откл-ия

    Наз-ся стандартной ошибкой в случ откл-ии. И для того, чтобы рассч-ть дисп-ию разброса коэф-в эмпир-го ур-ия регр-ии, мы б исп-ть формулы

          

    Проверка  гипотез относ-но коэф-ов лин ур-ия регр-и.

    Эмпир ур-ия регр-ии строятся на основе конеч  выборки, извлеч-й из генер сов-ти случ образом, поэтому как б показано коэф-ты ур-ия яв-ся случ вел-нами.

    При проведении эк анализа перед иссл-лями оч часто возн-т необ-ть сравнить расчет коэф-ты bo и b1 с нек-ми теоретич коэф-ми βо и β1.

    Это срав-ие осущ-ся по схеме проверки гипотез. Предпол-м, провер-ся гипотеза Но:, состоящая  в том, что эти вел-ны совпадают.

    Но:=b1=β1. Тогда с ней конкурир-ая гипотеза Н1: не совпадает. Как изв-но из тер.вера для проверки таких гипотез рассч-ся t стат-ка Стьюдента, кот-ая при справед-ти гипотезы но имеет распред-ие Стьюдента с числом степеней свободы с парной регр-ей

    tb1= (b1-β1)/Sb1

    ν=n-2 (n-m-1)

    n – объем выборки

    m – кол-во объясняющ перем-х

    Гипоеза Но б отклонена, если расчет знач-ие по модулю, т.к. нам безрал-но в какую сто-ну произошло откл-ие, окаж-ся > или = вел-ной, найденной из табл Стьюдента.

    

    α-ур-нь знач-ти.

    Сч-ся, что в эк задачах α м принимать  знач-я 0,05 или 0,01, т.е. мы поверяем гипотезу с вер-тью 95 или 99%.

    α/2 берется в связи с тем, что  откл-ие м.б. как отриц, так и положит.

    При невып-ии этого усл-ия сч-ся, что нет  осн-ий для откл-ия гипотезы Но. Однако вел-ны теорет коэф-в как правило  неиз-ны, поэтому на начал этапе  анализа рассм-ся задача о наличие зав-ти м/у фак-ми х и у. Эта проблема провер-ся на основе гипотезы Но:b1=0 связи нет. С ней конкур-т H1:b1≠0 связь присут-т.

    В такой пост-ке гов-т, что провер-ся гипотеза о стат знач-ти коэф-та ур-ия регр-ии.

    Если  приход-ся принять гипотезу Но, то мы гов-м коэф-т незначим (слишком близок к 0) и соответ-ю объясняющ перем-ую скорее всего из ур-ия следует искл-ть. В против случае коэф-т стат-ки значим. Н указ-т на наличие опр-й лин зав-ти м/у фак-ми.

    Тогда расч-ся стат-ка Стьюдента по соотн-ю  и по таблицам Стьюдента находят соответ-но вел-ну .

    Если  она ≤ расчет вел-ны, то мы м сказать, что есть осн-ия отклонить гипотезу Но и принять Н1.

    Коэф-т  отличен от 0. Для парной регр-ии мы не б проверять стат знач-ть bo, т.к. он только гаран-т прохождение линии регр-ии ч/з ср точку выборки.

    Сущ-т  грубое правило, позвол-ее делать первонач выводы о поведении коэф-в ур-ия при отсут-ии таблиц Стьюдента.

    По  нему срав-ся вел-на ошибки Sb1, допущенной при нахождении коэф-та с вел-ной этого коэф-та.

    А). Если станд ошибка > чем коэф-т, то 0<|tb1|≤1. В этом случае гов-т коэф-т незначим.

    Б). Если ошибка не превосх-т половины вел-ны коэф-та, то 1<|tb1|≤2. Гов-т коэф-т слабозначим.

    В). Если они соот-ся в диапозоне 2<|tb1|≤3, то коэф-т значим.