Лекции по "Эконометрика"

    Если  Fрасч≤Fкр, то кач-во ур-ий приблизит одинаково, значит переем-ые исключ-ны правильно.

    Если  F расч>Fкр, кач-во ур-ий сущ-но разл-но, и мы не д.б.исключать эти переем-ые.

    Замечание: обычно на практике не искл-ся одновр-но несколько объясн-х переем-ых. Их берут по одному и каждый раз сч-т F стат по соотн-ю:

    

    , где k – кол-во исключ объясн-х переем-х. Как правило k =1.

    При этом м искл-ть не последующие объясн переем-е, а любую, начиная с тех, у кот-ых m_in t стат.

    Таким же образом м идти проверка целесообр-ти включения доп объясн-х переем-х в исход модель.

    Допустим, что это б модель _I, и мы к ней добавили Р объясн-х переем-х.

    Расч-ли 3-ю модель:

    

    и у него коэф-т детерм-ии R²_III.

    Тогда сч-т Fстат= (R²_III-R²_I)/(1-R²_III) * [n-(m+p)]/p и ее проверяют по F кр Фишера.

      

    Проверка  гипотезы о совпадении уравнений 2-х различных  выборок.

    Это еще одно напр-ие исп-ия F-стат Фишера. Такая проверка дел-ся тестом Чоу, кот-ый сост-т в:

    Пусть имеется 2 выборки объема n1 и n2. У каждой постоено свое ур-ие регр-ии

     для n1

     для т2.

    И мы хотим проверить отл-ие и

    Тогда:

    

    Предположим, что мы рассч-ли ∑ квадратов откл-ий для этих ур-ий

                

    Потом по объед-й выборке (n1+n2) построим ур-ие регр-ии.

     и для него также вычислим

     и затем считаем Fстат, сравнивающую эти суммы квадратов откл-ий.

     . Тогда Fкр=Fα. υ1=m+1 υ2=(n1+n2)-2m-2. Потому что для S мы имеем (n1+n2)-m-1 степеней свободы.

    Для + степеней свободы

    = (n1+n2-2m-2).

    Тогда, если Fрасч<Fкр, то мы м утвер-ть, что эти ур-ия имеют одинак ур-нь кач-ва, Но не откл-ся.

    И мы м исп-ть любое из ур-ий, рассч-х  по этим выборкам, т.е. выборки м.б. объединять.

    Такую проверку приход-ся делать при построении дин рядов. Предположим, мы строим ур-ие парной регр-ии объмов продаж. m_in авто с to до t2. При этом знаем, что в t1 изменены пошлины, те.е. изм-сь институц среда.

    За (to до t1) есть выборка n1 и ур-ие .

    За (t1; t2) выборка n2 и ур-ие

    А потом по объед выборке строим обязат ур-ие ỹ

    График. 
 
 
 
 
 

    Если  Но не откл-ся, то мы реально м строить  ỹ по сов-й выборке без учета  институц изм-ий и исп-ть его для  прогноза на ((t2-to)/3) 

    Проверка  выполнимости предпосылок  МНК.

    Проверка  на отсут-ие а/коррел остатков (ста-ка DW)

    Стат  знач-ть коэф-в ур-ия регр-ии и близость ед-цы к-та детерм-ии еще не гаран-т выс кач-во построенного ур-ия, т.к. м не вып-ся какие-то из предпосылок Гауса-Маркова.

    Одной из таких предпос-к яв-ся незав-ть случ откл-ий др от др, что гаран-ся усл-ем

    

    Послед-ая коррел-я откл-ий наз-ся а/коррел и показ-т, что если построена упорядоч-я по вр-ни (или номерами выборки) послед-ть откл-ий, то это озн-т, что или в выборке испол-ны перекрест знач-я или задан времен-й ряд, в кот-м послед-ие вел-ны генерир-ся предыд-ми. Поэтому в выкладках м исп-ся обозначеия

     , т.е. откл-ия соседние по  вр-ни.

    В эк задачах как правило встреч-ся положит а/коррел и очень редко возм-на отрицат.

    В больш-ве случаев это связано с тем, что в модели отсут-т нек-ый ф-р, кот-ый возд-т на объясн-ую переем-ую в постоян напр-ии.

    Сущность  а/коррел м объяснить на след примере.

    Предпол-м  иссл-ся спрос У на прохлад напитки  в зав-ти от дохода Х для домохоз-ва по среднемес данным. Предпол-м, что  трендовая зав-ть, построен-я по этой выборке в виде ур-ия парной регр-ии.

     б опис-ся нек-ой линией

    График. 
 
 

    Но  реал потреб-ие прохлад напитков безусл-но зависит от вр-ни года. Т.е. фактич-е  т выборки в зав-ти от сезона года б нах-ся или все выше или все ниже линии.

    Аналог  картина набл-ся в макре по циклам деловой акт-ти.

    Положит а/коррел озн-т, что в бол-ве случаев  за положит откл-ми след-т полож, а за отриц отриц-ые, что и озн-т  однонапр-ую связь м/у откл-ми – ковариация полож-на.

    Среди осн-ых причин, вызыв-х наличие а/коррел обычно выд-т:

    1). Ошибки специф-ии  модели, т.е. не учет в модели какой-то важной объясн-й переем-й или неправ-й выбор формы зав-ти.

    2). Инерция в изм-ие эк пок-лей. Многие эк пок-ли (инф-ия, безр-ца, объем ВНП) облад-т опр-й циклич-тью, связ-й с волнообр-тью.

    Нап-р  эк подъем приводит к росту занят-ти, сокр инф-ии, ↑ ВНП. Он продол-ся до тех  пор, пока изм-ия конъюнктуры рынка  и ряда др эк хар-к рынка не приведут к замедл-ию роста, затем его ост-ке и дальней-му снижению пок-лей. Но в люб случае эта трансфо-ия осущ-ся замедл-но и облад-т опр-й инерцией.

    3). Эффект паутины.  Во многих эк процессах и в пр-ве пок-ли реаг-т на изм-ие эк усл-ий с временным лабом.

    Нап-р: предл-ие с/х прод-ии реаг-т на изм-ие цены на нее с запазд-ем = периоду до получения нов урожая.

    Большая цена в прошлом году вызовет рост про-ва в этом году. Скорее всего  произ-т ее перепро-во => цена ↓, в  след году б исп-ны под зерновые < площадей => цена ↑ и т.д. пока не уст-ся равновесие.

    4). Сглаживание данных. Общеизв-но, что врем тренды стр-ся на основе сглаж-ия данных по врем рядам.

    => каждая след-ая средняя в нашем  вар-те входить 2 предидущ знач-ия, т.е. ср зав=т др от др. И  это служит причиной наличия  положит а/коррел у врем рядов. 

    Последствия и способы обнаружения автокорреляции. Графический метод.

    Если  регресс-я модель рассч-сь по МНК, то

    1). Оценки пар-ров ур-ия оставаясь  несмещ-ми отн-но среднего перестают быть эф-ми, т.е. наилучшими из всех возм-х.

    2). Дисп-ии этих оценок вычисл-ые  по станд формулам б смещенными в сто-ну убывания, что повлечет за собой увелич-е t-статистик.

    

    что м привести к признанию стат-ки знач-ми (tbj>tкр) тех переем-х в ур-ии, кот-ые такими не яв-ся.

    3). Вел-на So²=∑e_i²/(n-m-1) также окаж-ся смещенной отн-но теоретич дисп-ии откл-ий σ², а поэтому применение t и F статистик окаж-ся необоснов-м, б получены неправ-е выводы по модели и ухуд-ся ее прогозные кач-ва.

    Чтобы обнаружить а/коррел исп-т неск0ко методов.

    Графический метод.

    В этом случае стр-ся графики, связыв-ие номер выбора выборочной компоненты или время, для кот-го взята переем-я и соответ-ие знач-ия для откл-ий, получ-х исходя из рассчит-го ур-ия регр-ии.

    4 графика. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    На  первых 3-х графиках изобр-на нек-ая зав-ть вел-ны откл-ия от № выборочной пары. М предпол-ть, что в модели присут-т а/коррел остатков. На 4 графке такой зав-ти нет, поэтому мы м предпол-ть отсут-ие а/коррк. Причем сч-ся, что ≈ 10% точек м.б. неподчинены осн зав-ти и а/коррел отсут-т. 

    Метод Дарбина-Уотсона.

    По  нему рассч-ся к-т а/коррел остатков первого пор-ка, кот-ый совп-т со знач-м коэф-та выбороч-й коррел

    

    Но  мы знаем, что мат ожидания (ср знач) откл-ий =0 в методе МНК => получили

    

    Но  на практике для такого анализа исп-т  стат-ку DW, для кот-й сущ-т расчет-е таблицы

    

    Покажем, что эти вел-ны дейст-но совп-т. Для  этого преобр-м числ-ть

    

    Последняя ∑ отл-ся от первой на 1 слогаемое. А  т.к. знач-е e_i невелики, то мы м предпол-ть, что они м/у собой совп-т. Тогда

    ≈2∑e_i² -2∑e_ie_i-1

    Тогда

    

    А т.к. мы предпол-ли, что ∑e_i² ≈∑e_i-1², то

    

    => ста-ка DW б вести аналог-но поведению выбор коэф-та коррел м/у откл-ми.

    Если r e_ie_i-1 =1, DW=0

    r e_ie_i-1 =0, DW=2

    r e_ie_i-1 =-1, DW=4

    Т.е. все знач-я этой стат-ки нах-ся в  инт-ле (0;4) при 2 а/коррел остатков отсут-т. И вопрос  закл-ся в том, насколько  м эта стат-ка откл-ся от 2, чтобы  мы м утвер-ть, что а/коррел отсут-т.

    Таблицы DW построены с.о., что в соот-ии с заданным n выбир-ся опр-ая таблица, входами в кот-ую яв-ся m-число объясняющих переем-х и n- объем выборки

    Таблица 
 
 

    Предпол-м  n=k и в модели исп-ны m=2. Тогда из таблицы б найдены 2 числа dl и du, dl<du<2. Мы сможем отложить на шкале их значения. 
 
 

    В зав-ти от того, куда попадет значение DW, мы м делать выводы о наличие или отсут-ии а/коррел остатков в модели. Но т.к. по этому методу мы ничего не м сказать окончат-но при попадании в зоны неопр-ти. 

    Метод рядов.

    Основан на учете чередования знаков у  отклонений e_i. Для этого поступают с.о. Нап-р для нашей задачи, рассч-й для парной регр-ии, выставим посл-ть знаков по откл-ию.

    (--)(++)(--)(+++)(-)(++) n=12

    Затем объед-ся инт-лы совпадающих знаков. Каждая из образ-ых послед-тей наз-ся рядов (ряд одинак знаков). В нашей  задаче к=6. Кол-во одинак знакв в отдел-м ряду наз-ся длиной ряда. Если рядов сущ-но мало по отн-ию к объему выборки n, то вер-на положит а/коррел, а если их много, то возм-на отрицат а/коррел.

    Для более детального анализа поступ-т  с.о. Пусть n – объем выборки. n1 – кол-во положит знаков. n2 – отрицат. В нашем случае n1=7 n2=5.

    При достаточно большом кол-ве наблюдений n>20, мы м посчитать мат ожидание кол-ва рядов знаков.

     и дис-ию разброса этого кол-ва рядов

    

    Тогда, если принять, что мат ожидание м оценить ч/з таблицы распред-ия кол-ва рядов, кот-ое д нах-ся в инт-ле , то при попадании в этот инт-л а/коррел остатков б отсут-ть. В противном случае, если , то у нас положит а/коррел, а если k≥ - отрицат. Для такого распред-я б построены таблицы Экхарда, в соот-ии с кот-ми м опр-ть нижнюю и верхнюю гр-цу числа К. К1<K<K2 по 2 входам +n1 и –n2.

    Таблицы имеют стр-ру

    Нижняя  граница К1 
 
 

    Таблица имеет своб поля. Если попадаем в своб поле, то к1 выбираем наименьший в этой строке.

    Верхняя гр-ца К2. 
 
 

    Выбор осущ-ся также как для К1 и знач-я  берутся для своб полей также  как и в 1 случае.

    В отл-ии от критерия DW этот метод дает однознач ответ, причем н помнить, что метод DW не применим для регресс моделей, содерж-х в кач-ве объясн-х переем-х нек-ые лаговые объясн вел-ны. Даже если этот лаг имеет 1 пер-д. Нап-р в модели . Для таких моделей исп-ся спец n-стат-ка Дарбина, по кот-й , где - вычис-ся из стат-ки DW. Обычно ее принимают =1-1/2DW, т.к. .

 обычно при-т равной квадрату  станд-й ошибки коэф-та при  лаговой переменной. В нашем примере  . 

    Методы  устранений автокорреляции.

    Изв-но, что осн причиной наличия в  ур-ие регр-ии случ откл-ия яв-ся не учет всех объясняющ перем-х в модели и ошибки в выборе зав-ти.