Лекции по "Эконометрика"

    Предпол-м, что на основе выборки б построено  ур-ие регр-ии.

    График 
 
 
 
 
 

    Тогда отн-но т пересечения линии регр-ии с прямой x=x_{i i}=1;n. Для точек, лежащих м/у x_i и x_i+1 в каждом из подинт-в разбиения в свою очередь м.б. расч-на дисп-ия разброса откл-ий этих точек от линии регр-ии.

    Именно  о таких дисп-ях, а не о дисп-ях самих откл-ий в модели идет речь в усл-ях

    Гаусса-Маркова, что все норм распред-ия в промежутках  д.б. одинаковы.

    Если  это требование не вып-ся, то т.к. в  кач-ве оценки для σ² по выборке So²=∑e_i²/(n-m-1), то возн-т необ-ть проверить сущ-т ли связь м/у отд-ми знач-ми e_i и x_i хотя бы в нашей выборке.

    Естест-но если она есть, то норм распр-ие при  переходе от одной т. Выборки к  др б менять свое пведение.

    Если  же этот эф-т отсут-т, то мы м предпол-ть с нек-м ур-нем достовер-ти, что  он отсут-л и в генер сов-ти. То же самое касается мат ожидания конкр значения М(ε_i)=0. 

Обнаружение гетероскедастичности. Графический метод.

    В нек-ых практич ситуациях зная хар-р  данных, появление проблемы гетероск-ти м предвидеть заранее и попытаться устранить эту причину заранее, но чаще ее прих-ся решать уже после  постр-я ур-ия регр-ии.

    Обнаружение гетероск-ти яв-ся сложной задачей, т.к. для расчета дисп-ии откл-ий по ур-ию σ²(e_i) необ-мо знать распред-ие случ вел-ны У при опр-м значении x_i.

    Как правило в выборке встреч-ся m_in эл-тов, в кот-ых одному значению объяс-й переем-й соот-т неп-ое мно-во значений У.

    А поэтому мы не м оценить как  ведет себя эта случ вел-на, т.к. в  табл конкр-му знач-ю x_i соот-т единст или 2, а max 3 знач-я для y_i. А поэтому мы не м выбрать единств метод.

    Графический метод.

    Обычно  исп-ся для ур-ий парной регр-ии. Когда стр-ся графики квадратов откл-ий по соответ-их им знач-ям объясн-й переем-й.

    5 графиков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    В этом случае, если кол-во т имеющих  откл-ие или не вошедших в общую  закономер-ть не превышает 10% объемов  выборки, то мы м сделать дост-но достовер выводы.

    На 1 графике все квадраты откл-ий не зав-т от знач-ия x_i, т.к. нах-ся в 1 и том же диапазоне. Мы м сказать, что у парной регр-ии в этом случае гетер-ть отсут-т.

    На  всех ост-х графиках прослеж-ся зав-ть вел-ны квадрата откл-ия от вел-ны объясн-ся переем-й.

    На 2 и 3 – это прямая зав-ть. На 4 они  сначала возр-т, потом убыв-т с  какого-то знач-ия х. На 5 они убыв-т с ростом x_i.

    Т.е. сущ-т какая-то зав-ть, поэтому м  сделать предпол-е, что гетер-ть остатков в модели присут-т.

    Но  как правило граф метод сопровож-т  др специф-ми методами обнаруж-я гетероск-ти. 

    Тест  ранговой корреляции Спирмена.

    Зав-ть м/у откл-ем e_i и переем-й x_i опр-ся на основе t стат-ки отн-но коэф-та выбор-й коррел-ии.

    

    , где d_i – разность номеров мест, кот-ые зан-т _I значения объясн переем-й и откл-ия из одной и той же выборочной пары при ранжировании этих пок-лей по возраст-ю.

    Тогда расч-ся t стат-ка.

    

    И если оказ-ся по грубой оценке, что tр≤1, мы м наверняка не используя табл Стьюдента утвер-ть, что коэф-т выбор коррел-ии не значим, гетер-ть остатков в модели отсут-т.

    При люб др знач-х необ-мо срав-ть расчет знач-е с критич.

    tкр= tα/2, υ

    И если tp<tкр, то гетер-ть отсут-т. В против случае она присут-т в модели. 

    Тест  Парка.

    Он  предпол-л опр-ть гетер-ть на основе срав-ия знач-ия σ²(e_i), где _i- любое с нек-ой функц зав-тью

    

    , где v_i – вел-ны откл-ий для данной нелин зав-ти, кот-ая м.б. сведена к линейной методом логарифмирования.

    lnσ²_i= lnσ²+βlnx_i+V_i.

    И если мы обозначим соответ-ие знач-ия за нек-ые вел-ны, то получим лин модель.

    Z_i=αo+βx_i* +V_i, кот-ую м оценить методом МНК, если вместо σ²_i взять вел-ны e_i², а x_i* найти прологарифмировав исх-цю выборку z_i=lne_i².

    Если  окаж-ся, что коэф-т при переем-ой x_i* значим, то связь м/у объясн-й переем-й и квадратами откл-ий сущ-т, а => в модели присут-т гетер-ть остатков. Сущ-т еще неск-ко тестов, являющ-ся разновид-тью теста Парка. 

    Тест  Голдфельда-Квандта.

    Все набл-ия в выборке упорядоч-ся отн-но вел-ны объяс-й переем-й x_i.

    Затем выборка разбив-ся на 3 необяз-но равные части k, n-2k, k, но так, чтобы 3m+1≤k≤n/3 и отдельно оцен-ся ур-ие регр-ии для 1 и 3 части выборки, для кот-ых затем оцен-ся ∑ квадратов откл-ия

    

    и стр-ся Fстат-ка для вел-ны

    F= (S3/k-m-1)/(S1/k-m-1)= S3/S1.

    Нах-ся Fкр=Fα, υ1=υ2=k-m-1 и если Fр>Fкр, то гетер-ть в модели присут-т. В против-м случае она отсут-т.

    Замечание: Если при расчетах оказ-сь, что S1>S3, то стр-ся обрат вел-на, т.к. в этом случае зав-ть б вида 5 (граф метод), а в исх вар-те вида 2 или 3. 

    Методы  смягчения проблемы гетероскедастичности.

    Метод взвешенных наименьщих квадратов МВНК.

    Основан на педпол-ии, что нам изв-ны знач-ия σ_i² для генер сов-ти.

    Тогда исход урав-ие y=βo+β1x_i+ε_i делят на соответ-ю вел-ну.

     ,

    т.е. мы стандартизируем каждый эл-т исх-й  вел-ны стандарта откл-ия объясн-й  перем-й отн-но ур-ия регр-ии (x_i/σ_i; y_i/σ_i)

    Но  в этом случае в модели появ-ся еще 1 объясн-я перем-ая z_i=1/σ_i, кот-ую также необ-мо расч-ть.

    Итоговое  ур-ие эмпир регр-ии б содер-ть 2 объясн-ие перем-ые, но в нем не б своб члена. Кач-во оценок коэф-в такого ур-ия б гарантир-м.

    Но  т.к. знач-ие σ_i² для генер сов-ти в подавл-ем бол-ве случаев неизв-ны, то исп-т 2 др метода, в кот-ых дисп-ии откл-ий неизв-ны.