Лекции по "Эконометрика"

    Поэтому устранять а/коррел нач-т с того, что пробуют ввести в модель еще  какую-то сущест (значимую) объясняющ переем-ую. Если это не помогает, то пытаются исходя из теоретич знаний изм-ть форму зав-ти в модели.

    Но  если все разумные приемы совершенст-я  модели исчерпаны, а а/коррел все-таки сохр-ся, то м предпол-ть, что она  связана с какими-то внутр св-вами переем-й.

    Тогда в моделях прибегают к а/регрессионным  преобр-м, суть кот-ых закл-ся в след-ем.

    А/регр преобр-е 1 пор-ка получ-т с.о. Запис-т  теорет модель для нек-го года t

    yt=βo+β1xt+εt

    Тогда для предыдущего года она б  иметь вид

    

    Вычтем  из 1 ур-ия 2.

    

    В этом случае мы получаем модель, построенную  на приращенных переем-х в году t.

    Δyt=β1Δxt+Ut, где Ut – случ вел-на = εt – εt-1

    Для таких моделей исход выборка  сокр-ся на 1 и если n-1>3m+1, то мы м построить новую модель включающую в себя своб член bo, кот-ый б гаран-ть прохождение ч/з ср точку нов выборки.

    Δỹt=bo+b1Δxt+Ut

    Δỹt*=bo+b1Δxt*+Ut

    В такой модели а/коррел остаткв уже  наверняка б отсут-ть. Если же объем  выборки не позвол-т уменьшить  ее на 1, то прибегают к вспом преобр-ям исх-х переем-х с исп-ем стат-ки DW.

    

    

    В этих случаях также а/крел из модели б.устран-ся.

    Кроме метода разности прим-ся еще неск-ко методов. Нап-р когда в кач-ве нов переем-й вводятся неполн полусуммы значений переем-х по выборке, а только их половинные вел-ны.

    yt*= (yt + yt-1)/2

    xt*= (xt + xt-1)/2

    Метод исп-ия сглаж по люб кол-ву интервалов изм переем-ых. Но все-таки прежде чем  исп-ть эти вспом методы, необ-мо сначала попроб-ть изм-ть специф-иб модели. 

    Мультиколлиниарность.

    Если  объясняющ переем-ые связаны строгой  лин зав-тью, то гов-т, что м/у ними сущ-т соверш мульт-ть. На практике м столконуться не с соверш, а с сильной мульт-тью, т.е. когда ур-нь коррелир-ти м/у объясняющ-ми переем-ми >0,7.

    |rxkxj|>037

    

    0≤|rxkxj|≤1

    Мульт-ть яв-ся проблемой для ур-ий множест  регр-ии. Покажем как она прояв-ся в ур-ии множест регр-ии при m=2 и при усл-ии, что м/у х2 и х1 сущ-т строгая лин зав-ть.

    х2=γo+γ1x1

    Тогда ỹ=βo+β1x1+β2x2+ε

    ỹ=βo+β1x1+β2(γo+γ1x1)+ε = (βo+β2γo)+ (β1+β2γ1)x1+ε =

    Обозначим выр-ия, чтоящие в скобках за АО и а1 =АО+а1х1+ε

    Получили  ур-ие парной регр-ии, в соот-ии с  кот-м, используя метод МНК, найдем значения для оценок а0 и а1. Но от этих оценок мы не сможем перейти к  оценкам коэф-в исх ур-ия βo β1 β2, т.к. получили для их опр-ия всего 2 ур-ия.

    {аО= βo+β2γo

    {а1= β1+β2γ1

    γo и γ1 нам изв-ны.

    Т.о. соверш муль-ть не позвол-т однозначно опр-ть коэф-ты в ур-ии множест регр-ии, т.к. таких коэф-в всегда б на 1 >, чем ур-ий => не сможем сделать выводы о знач-ти этих коэф-в и не сможем опр-ть какой вклад дает каждая из объясн-х перем-х в поведение завис перем-й.

    Но  соверш мульт-ть бывает только на теории, на практике обычно возм-на сильная  мульт-ть. В этом случае зав-ть наз-ся несоверш мульт-ть.

    Графически  это сост-ие м проиллюстр-ть с.о.:

    4 графика: 
 
 
 
 
 
 

    1) Муль-ть отсут-т. Каждая из объясн-х  перем-х оказ-т изолир-е влияние  на у. 2) и 3) м/у х1 и х2 сущ-т  зав-ть, кот-ую м изм-ть ч/з коэф-т  выбороч коррел rх1х2.

    Тогда 1) |rx1x2|<0,3

    2) 0,3≤|rx1x2|≤0,7 – м/у объясн-ми перем-ми возм-на несоверш мульт-ть.

    3). |rx1x2|>0,7 – м/у перем-ми сущ-т несоверш мульт-ть.

    Посл-ия наличия мульт-ти:

    1). Большие вел-ны дисп-ии оценок, а => станд ошибок коэф-в. Это расшир-т инт-лы для коэф-в ур-ий и м повлиять на правильность вывода о стат знач-ти коэф-та.

    2). Т.к. ↓ t стат-ка, то мы м неверно опр-ть стат знач-ть объян-их перем-х и не взять в модель ту из них, кот-ая дейст-но опр-т поведение завис перем-й. Кроме того коэф-ты ур-ия стан-ся очень чувствит-ми к любым изм-ям в выборке.

    3). Возм-но получение неверного знака и коэф-та уравнения. 

    Определения мультиколлиниарности.

    Сущ-т  неск-ко методов, по кот-м м.б. уст-но наличие в модели мульт-ти переем-х. Косвенными признаками ее наличия м.б:

    1). К детерм R² высок, но нек-ые из коэф-тов регр-ии стат не значимы, т.е. имеют низкие t стат-ки.

    2). Парная коррел-я м/у объясняющ перем-ми rx_ixj  дост-но высока. Этот признак б надеж-м только в случае 2-х объясн-х переем-х. При их > кол-ве более целесообр-но испол-ие частн коэф-в коррел-ии.

    3). Част к-ты коррел высоки. Они опр-т силу лин зав-ти м/у любыми 2 перем-ми без учета влияния на них др переем-х.

    Измер-е  силы такой лин зав-ти, когда rxy очищен от влияния всех ост-х переем-х наз-т част коэф-м коррел. Нап-р, в случае ур-ия множест регр-ии с 3 объясняющ переем-ми, мы м рассчитать коэф-т част коррел м/у переем-ми х1 и х2 без учета влияния 3 перем-ой. Такой коэф-т обознач-ся

    

    Из  этого соотн-ия уже м сделать вывод, что коэф-т част коррел сущ-но отл-ся от коэф-та парной коррел-ии r12.

    В общем случае коэф-т част коррел м/у объясн-ми переем-ми x_i и xj при усл-ии, что _i<j обознач-т .

    Приведем  без док-ва формулу для расчета  люб к-та част коррел в модели, содерж-й  m-объясн-х переем-х.

    Для этого запишем матрицу парных коэф-в коррел

    

    Причем  эта матрица симмет-на, т.к. r_ij=rj_i.

    Затем к этой матрице состав-т обратную матрицу

     ,

    кот-ая также симмет-на отн-но гл диагонали.

    Тогда к-т 

    И в этом случае квадрат такого к-та б опр-ть част коэф=т детерм-ии, кот-ый опр-т % изм-ия _i переменной в след-ии влияния на нее перем-й с №j, что позвол-т при усл-ии, что мы 1-й № зафиксир-ли за завис-й перем-й, а 2-1 соотнесли с х1, а 3-й с х2, выяснить влияние только одной из этих перем-х на завис-ю перем-ю без учета влияния др перем-й.

    

    

    Тогда коэф-т част детерм-и  , а

    4). Сильная вспомогат  (доп) регр-ия.

    Мульт-ть м.б. рез-том того, что какая-либо из объясн-х перем-х яв-ся лин комб-ей др объясн-х перем-х.

    Чтобы это выяснить для каждой из объясн-х  перем-х стр-ся ур-ия регр-ии этой перем-й  отн-но ост-х перем-ых.

    

    Ур-ие множест регр-ии m-1 объяс-й перем-й.

    Для такого ур-ия вычисл-т f-стат-ку как

    

    И если оказ-ся, что F стат-ка Fр≤Fкр, то мы говорим, что R² незначим, лин зав-ти x_i от ост-х объясн-х переем-х нет, муль-ть отсут-т.

    Если Fр>Fкр, то мы откл-ем гипотезу об отсут-ии такой зав-ти, гов-им, что она присут-т в модели => имеет место мульт-ть. 

    Методы  устранения мультиколлиниарности.

    Прежде  чем рассм-ть эти методы, необ-мо отметить, что в нек-ых случаях  мульт-ть не яв-ся таким серьез препятствием для исп-ия модели, чтобы прилагать усилия к ее опр-ию и устранению.

    Если  осн задача моделир-ия сост-т в  прогнози-ии буд знач-ий завис переем-й, то при дост-но больших вел-нах  к-та детерм-ии ( или R²≥0,9) мульт-ть никак не скаж-ся на кач-ве прогноза.

    Если  же целью иссл-ия яв-ся выявл-ие каждой из объясн-х перем-ых на завис перем-ую мульт-ть не позволит этого сделать, т.к. она искозит t стат-ки, т.е. стан-ся серьез проблемой.

    Единого метода устранения мульт-ти в модели не сущ-т. Это связано с тем, что причины наличия мульт-ти неоднозначны. В многих случаях она зав-т от имеющ-ся выборки.

    Рас-м  наиболее часто применяемые методы устранения мульт-ти объясн-х переем-х  в моделях множ лин регр-ии.

    1). Исключение перем-й  из модели.

    Наиболее  простой метод, когда из модели искл-ся 1 или неско-ко переем-х, но при его  прим-ии необ-ма остор-ть, т.к. возм-ны ошибки специф-ии.

    Нап-р: мы строим модель спроса на какое-то благо, выбирая в кач-ве объясн-х перем-х  его цену и цены товаров-заменит. Эти цены часто коррел-т др с др. Но если из модели искл-т цену заменит-ля, то мы скорее всего допустим ошибку специф-ии, получим смещен оценки и сделанные выводы окаж-ся неверн.

    Поэтому в приклад-х эконометр-х иссл-х  желат-но не искл-ть объяс-е перем-е до тех пор пока их коллин-ть не станет серьез-й проблемой. В част-ти в рассмот-й модели, если необ-м прогноз объема реал-ии искл-ть цену замен-ля нельзя, но если хотим оценить при каком соотн-ии цен на благо и его замен-ли спрос б наибол-м, необ-мо макс-но снижать ур-нь зав-ти м/у этими объясн-ми перем-ми.

    2). Получение доп  данных или нов  выборки.

    Т.к. мульт-ть непоср-но зависит от выборки, то возм-но что при изм-ии выборки  она перестанет быть серьез пробл-й. Иногда для этого дост-но ↑ объем  выборки или сокр-ть вел-ну периодич-ти набл-ий, т.е. от погодовой выборки перейти к покварт или помесяч, иногда ежеднев.

    Но  получение нов выборки или  расшир-е старой возм-но не всегда или  связано с большими матер затратами.

    Кроме того такой подход, устранив мульт-ть, с вызвать наличие в модели а/коррел-ю остатков, что огран-т возм-ть применения этого метода.

    3). Изм-ие специф-ии  модели.

    Когда или меняется форма зав-ти или  добавл-ся объясн перем-е не учтенные в превонач модели, но при этом они  д оказать сущест влияние на объясн-ю перем-ю, т.е. если Хк – доп перем-я, то |ry xk|≥0,3. Испол-ие такого метода приводит к уменьшению ∑ квадратов откл-ий в модели ∑e_i² ↓, тем самым сокр-ся станд откл-ия к-та Sb_i и как след-ие возраст-т стат знач-ть этих к-тов и растет R².

    4). Испол-ие предвар инф-ии о нек-ых парам-х модели.

    Речь  идет о том, что при построении модели множест регр-ии исходя из уже  испол-ия моделях парной регр-ии ỹ=bo+b1x1, когда b1=0,82, мы добав-м в модель объян-ю перем-ю х2, кот-ая м.б. корред-на с объясн-й перем-ой х1. Теоретич ур-ие регр-ии с 2 объясн-ми перем-ми сразу запишем в форме y=βo+0,82x1+β2x2+ε

    В этом случае ур-ие факт-ки б яв-ся ур-ем парной регр-ии, для кот-го проблемы мульт-ти не сущ-т. Огранич-ть испол-ия этого метода обусл-на тем, что:

    1. зачастую затруднено получение достовер предварит инф-ии.

    2. Вер-ть того, что принятый изв-й  коэф-т б одним и тем же  в разн моделях не высок

    5). Преобразование переем-х.

    Этот  метод в нек-ых случаях позвол-т  полностью устр-ть мульт-ть. Предпол-м, что по имеющ-ся выборке мы рассч-ли эмпир ур-ие регр-ии ỹ=bo+b1x1+b2x2 и выяснили, что х1 и х2 коррел-ны м/у собой.

    В этой ситуации м опр-ть регул-ие зав-ти отн-но каждой из этих переем-ых в отдел-ти, используя в кач-ве нов выборки  не абсолют вел-ны перем-х, а их отн-ия. Тогда исход выборку (x_i1, x_i2, y_i) _i=1;n, мы делим или на правую или на 2 из объясн-х перем-х.

      

    Тогда в соот-ии с этими выборками  мы сможем построить или ур-ие или

    Вполне вер-но, что в такой модели мульт-ть уже б отсут-ть. 

    Гетероскедастичность

    Нарушение предпосылки о том, что в модели отсут-т связь м/у случ откл-ми и объян-ой переем-й.

    

    Возн-т  вопрос о киках дисперсиях Д(ε_i) Д(εj) идет речь. Дело в том, что задача реш-ся по конкр-й выборке сформул-й на основе генер-й сов-ти и м/у знач-ми вошедшими в выборку м нах-ся любое кол-во эл-тов и ген сов-ти.