Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Августа 2012 в 15:13, курс лекций
С того вр-ни как эк-ка стала самост наукой, исслед-ли пытаются дать предст-ия о возм-ых путях разв-ия эк-ки, предвидеть буд знач эк пок-лей, найти инст-ты, позволяющие изм-ть ситуацию в желат-м напр-ии и спрогнозир-ть ее развитие.
Но разл эк школы предлаг-т разные, а зачастую противопол-е методы решения этих задач. Пол-ки или управ-ие выбир-т 1 из предлаг-х методов решений. В рез-теполуч-т какой-то эффект. Плох он или хорош и м.б. дьбиться лучшего рез-та проверить затруд-но, т.к. эк ситуация никогда не повт-ся точно, т.е. нет возм-ти применить 2 разные стратегии при одних и тех же усл-ях и сравнить конеч рез-ты.
Г). Если ошибка <1/3 коэф-та, то 3<|tb1|, коэф-т сильно значим. Это гарантия наличия практ-ки лин зав-ти м/у изучаемыми фак-ми.
Безусл-но на tb1 сущест влияние оказ-т объем выборки n.
Чем >n, тем <погр-ть.
Но
при n>10 выписанное грубое правило оценки
раб-т практически всегда.
Интервальные оценки коэффициента линейного уравнения регрессии.
Если для эмпир ур-ия выпол-ся предпос-ки Гауса-Маркова, то мы м утвер-ть, что найденные оценки коэф-в б подчин-ся норм закону распред-ия, в соот-ии с кот-м теоретич откл-ие εi распр-ны нормально с пар-ми 0 и σ².
εi~N(0;σ²)
Это усл-ие соглас-ся с усл-ми центр предел теоремы тер.вера, в соот-ии с кот-ой если случ вел-на испыт-т влияние оч большого числа независ-х случ вел-н, влияние каждой из кот-ых на эту случ вел-ну мало, то рассматр-ая случ вел-на имеет распред-ие близкое к нормальному (асимптотически нормальное).
А мы пок-ли, что εi как раз отражают влияние, оказываемое на завис перем-ую фак-ми не включ-ми в модель, кот-ых в эк-ке как правило оч много. Но их влияние на у мало, иначе мы д.б. бы их вкл-ть в модель.
=> если n≥3-1, то у нас вып-ся усл-ия центр пред теоремы. Мы м гов-ть, что εi распр-ны нормально, а это позв-т не только найти наилучшее BLUE оценки для коэф-та, но и построить для них интервальные оценки, что дает опред-ые гарантии проверки точности нахождения коэф-в при смене исход-й выборки.
Причем к-т b1=∑Ciyi также как и у объясн-я перем-я, являясь лин комб-ей его выбороч вел-н yi при Ci=const, также б иметь норм распред-ие. Причем мы пок-ли уже, что его мат ожидание совп-т с вел-ной теорет к-та, а дисп-ия
=> к-т b1 имеет норм распр-ие с пар-ми β1, D(d1).
Поэтому t стат-ка для коэф-та подчинена распр-ию Стьюдента с доверит-й вер-тью γ=1-α, что соот-т утвер-ию
Тогда мы м записать, что вер-ть
Преобр-м выраж-ие, стоящее в скобках
-tкрSb1≤b1-β1≤tкрSb1
-b1-tкрSb1≤-β1≤tкрSb1-b1
-b1-tкрSb1≤β1≤b1+tкрSb1
Получ
соот-ие дает доверит-й инт-л, кот-ый с надеж-тью
1-α покрывает теорет коэф-т β1.
Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Одной из осн-х задач эконометр анализа яв-ся прогнозир-ие знач-ий завис перем-ой при опр-ых знач-ях Хпр объясн-й перем-ой.
Здесь возм-н двоякий подход. Либо предсказ-ся усл-ое мат ожидание объясн-й перем-ой при нек-ой объясн-й перем-ой Хпр. М(У/х=Хпр). Либо прогноз-ся нек-ое конкр значение завис перем-ой при извест-м значении объясн-й перем-ой. Тогда гов-т о предсказании конкр вел-ны
1). Предсказание ср значения.
Предпол-м, что мы построили нек эмпир значение парной регр-ии ỹi=b0+b1xi, на основе кот-го хотим предсказать ср вел-ну завис перем-й у при х=Хпр. В данном случае рассчит-ое по урав-ию вел-на ỹпр=b0+b1xпр яв-ся только оценкой для искомого мат ожидания.
Встает вопрос насколько м эта оценка откл-ся от ср мат ожидания для того, чтобы ей м.б. доверять с надеж-тью γ=1-α.
Чтобы построить доверит инт-л, покажем, что случ вел-на ỹпр имеет норм распр-ие с нек-ми конкр переем-ми.
Мы знаем, что ỹпр=b0+b1xпр. Подставим в это ур-ие знач-ие для bo и b1, найденное в виде лин комбинаций выборочных вел-н объясн-й перем-й yi.
Т.е. мы пок-ли, что расчет вел-на яв-ся лин комб-ей нормально распред-й случ вел-ны yi=> она дейст-но имеет норм распред-ие и мы м рассч-ть пар-ры этого распред-ия М(Ỹпр) и D(Ỹпр).
М(Ỹпр)=M(bo+b1Xпр)= М(bo)+XпрM(b1) = βo+Xпрβ1
D(Ỹпр)=D(bo+b1Xпр) =
Т.к. bo вычисл-ся ч/з значение для b1, то они м/у собой зависят и поэтому
=
D(bo)+X²прM(b1)=2cov(bo,b1Xпр)
Рас-м вел-ну ковариации.
Заменим вел-ну bo ч/з правило ее вычисления из эмпир ур-ия регр-ии, аналог-но поступим со знач-ем βо, записав его знач-ие ч/з теорет ур-ие регр-ии.
Тогда получаем
-
это дисп-ия для значения b1
Мы знаем вел-ну дисп bo и b1. Подставим сюда их значения:
Преобразуем данное выр-ие прибавив и отняв к скобке
В этом выр-ии заменяем σ² несмещенной оценкой по эмпир ур-ию регр-ии σ²=∑ei²/n-2 и тогда мы м рассчитать Т стат-ку
, получаемого из значения теорет дисп-ии заменой дисп теорет откл-ия σ² на So², вычис-ое по выборке ∑ei²/n-2. А тогда мы м, используя табл Стьюдента, выч-ть вер-ть того, что |T|≤tрасч
Тогда ν=n-2.
И м посчитать, сделав такие же преобр-ия как для коэф-в ур-ия, что мат ожидание нах-ся в инт-ле:
2). Предсказание индив знач-ий завис перем-й.
Предположим, что нас интер-т нек-ое конкр-е знач-ие вел-ны завис-й перем-й yo. При ее сопост-ии со знач-м, кот-ое м.б. рассч-но по ур-ию регре-ии.
Мы знаем, что yo б норм распр-но с пар-ми ỹ~N(βo+β1xпр;σ²). Одновр-но с этим
с таким же ср и дисп-ей, рассч-й для ỹпр.
Построим нов перем-ую U= ỹo- ỹпр и нас б интер-ть поведение такой случ вел-ны.
М(ỹо- ỹпр)= М(ỹо)-М(ỹпр)=0
D(ỹо- ỹпр)= D(ỹо)+D(ỹпр)=>
Каждую из кот-ых мы м оценить, используя выбор значения.
=>S²(ỹj-ỹпр)= S²(ỹо)+S²(ỹпр)
Каждая из них нам изв-на. Первая вел-на оцен-ся
Т.о.
мы м расч-ть стандарт ее откл-ия в
рез-те чего получили Трасч данной случ
вел-ны.
Проверка общего кач-ва ур-ия регрессии. Коэф-т детерминации R².
Расчет ур-ие регр-ии всегда проходит так, что не все точки выборки принадлежат этой прямой. Обычно оно лишь частично объясняет поведение точек выборки. Сущ-т диаграмма Венна, позволяющая интерпретир-ть ур-нь этой оценки.
5
графиков:
На счеме 1 х никак не влияет на поведение У. 2;3;4 пок-т все усиливающееся влияние объясняющей перем-й на объясняемую. На 5 ф-р х полностью объясняет поведение У.
Суммарной мерой общего кач-ва ур-ия регр-ии яв-ся коэф-т детерминации R².
Поясним его смысл и покажем методику вычисления.
Предпол-м, что мы рассч-ли эмпир ур-ие рер-ии ỹ=bo+b1x. Тогда yi=ỹ+ei.
Рассм-м вел-ну откл-ия точек выборки завис-й перем-й от их ср вел-ны.
Преобразуем эту разность прибавив и отняв от нее соответ-е знач-ие, рассчит-е по ур-ию регр-ии.
Тогда 2 слогаемое – та часть, кот-ая не объяснена в этом откл-ие ур-ем регр-ии, а 1 это часть объясненная ур-ем регр-ии. Получ выр-ие возведем в квадрат.
и просуммир-м по всем знач-м i.
Рассм-м сред слогаемое
Мы получили знач-ие для мат ожидания вел-ны
Разделим это рав-во на лев часть.
В лев сто-не записана доля разброса точек выборки отн-но ур-ия регр-ии и доля разброса не объясненная этим ур-ем.
Т.е. объясненная доля разброса, если ее принять за коэф-т детер-ии ур-ия б опр-ся как
Очевидно, что 0≤R²≤1, т.е. когда ∑ei²=0, все точки выборки лежат а прямой линии регр-ии, то R²=1 идеальный вар-т.
А если совпадает с дисп-ей разброса объясняемой перем-й, т.е. ур-ие регр-ии ничего не объяснило в поведении завис перем-й R²=0.
Возм-ны усл-ия наруш-ия этого соотн-ия, при кот-ых R²≤0. Они связаны с тем, что неправ-но выбрана специф-ия модели, т.е. вид зав-ти м/у х и У.
Если модель строится на основе данных врем-х рядов, то R² как правило нах-ся в диапазоне 0,6≤R²≤0,7.
Покажем как в случае парной регр-ии коэф-т детер-ии связан с вел-ной выбороч-й коррел-ии м/у перем-ми х и У.
Для этого выпишем долю разброса, объясненную ур-ем регр-ии.
Запишем вместо b1 его вел-ну:
Числ-ль и знам-ль преоб-м для чего умножим их на ∑ квадратов откл-ий по объясняющ перем-й
Заметим, что
Тогда мы в нашем выраж-ии
Множественная линейная регрессия.
Общеиз-но, что на люб эк пок-ль чаще всего оказ-т влияние не 1, а какие-то мно-во ф-ров. Тогда мы д исп-ть ур-ие множест регр-ии y=βo+β1x1+β2x2…+βmxm+ε, те.е знач-ие у зависит от m ф-ров.
При m≥2, регр-ия сч-ся множест-й. Если мы составим нек-ый вектор
m х 1, то мы м рассм-ть как ур-ие заданное в векторно-матричной форме, сформировав из значений объясняющ-х перем-ых некую матрицу, строками кот-ый яв-ся значения объясн-й перем-й, входящие в 1 выборочную компоненту.
Столбцы представлены наборами значений каждого из фак-ров, входящих в модель.
Тогда сов-ые знач-ия завис перем-й м.б. предст-ны в виде в-ра столбца.
Случ откл-ия также м рассм-ся как нек-ый столбец
Но исходя из того, что в модели при βо всегда коэф-т =1, то матрицу значений объясн-их перем-ых пополняют 1-м столбцом, состоящим из 1 и обознач-т за Х.
Эта матрица имеет размерность n x (m+1).
Ур-ие регр-ии в матрично-вей форме мы м представить как У=Хβ+ε
При этом д вып-ся усл-ие n≥3m-1 и все усл-ия Гауса-Маркова, кот-ые кратко запишем в форме
1). М(εi)=0 для люб i.
2). D(εi)=D(εi)=σ² для люб i и j
3). Отсут-т связь м/у откл-ми
4). Случ откл-ия не зависят от объясняющ перем-ых cov(εi;xi)=0.
5). Модель линейна отн-но расчет пар-ов, но в ур-ях множест регр-ии возн-т необ-ть выпол-ия еще одного усл-ия.
6). В модели отсут-т соверш мульт-ть м/у объясняющ перем-ми. Нап-р: в модель нельзя одновр-но включать данные годовые и квартальные в этом же году, т.к. годовые склад-ся из поквартальных.
7). Как уже б показано для исп-ия t стат-ки и расчета стандартов откл-ий д вып-ся требование о том, что случ откл-ия εi имеют норм распр-ие εi~N(0;σ²). Выполнимость этой предпосылки дает возм-ть при соотв-ии модели осн требованиям модели Гауса-Маркова утвер-ть, что мы нашли наилучшие оценки коэф-в ур-ия, чем м бы их получить, используя люб др метод нахождения.
Предпол-м, что мы вычислили оценки коэф-та, тогда ур-ие множест регр-ии, построенное на основе выборки, б запис-ть в форме аналогич записи в парной регр-ии.
ỹ=bo+b1x1+b2x2+…+bmxm
y=bo+b1x1+b2x2+…+bmxm+e, где е – вектор расчетных откл-ий
И для любого набора значений ф-ров в выборке б вып-ся