Билет № 1.
Вопрос 1 - Предмет курса.
Предмет курса - модели социально-экономических систем.
Моделирование - метод изучения и предсказания
поведения объекта, путём создания его
образа, который и называется моделью,
и который отражает существующие для исследования
свойства объектов. Набор этих свойств
определяется целью моделирования. Цель
может быть познавательной, то есть изучение
свойств, явлений или процессов и структуры
их поведения. Может использоваться прогностическая
цель, то есть изучение поведения в будущем.
Процесс моделирования
можно разделить на ряд этапов:
1) Определение цели моделирования
и постановка задачи (обоснования
объекта или процесса, формулировка
требований к исходной информации,
сбор информации об объекте
и её анализ, изучение исходных
свойств моделируемого объекта,
разработка гипотез).
2) Построения модели социально-экономического
процесса или системы.
3) Анализ созданной модели (позволяет
делать качественные и количественные
выводы о характере процесса
или объекта. Качественный анализ выявляет
неизвестные ранее свойства объекта, а
количественный - соотношения различных
характеристик).
4) Проверка адекватности моделей
и точности полученных результатов
(метод верификации. Наиболее простой
метод – проведение эксперимента
второй используется, когда невозможно
провести эксперимент на объекте.
Используются две модели рабочая
(более простая) и теоретическая (более
сложная и точная).
Использование модели
должно иметь следствием:
- совершенствование
методов экономической теории и методов
управления экономическими процессами;
- получение
определенного экономического эффекта,
если модель используется на практике.
Все процессы могут быть разделены на
социально-экономические и политические,
средством первых является труд, вторых
- эксплуатация и грабёж. Основу социально-экономических
составляет цикл, инновации, инвестиции,
производство. Процессы делятся на контролируемые
и не контролируемые, сложные и простые,
обратимые и необратимые краткосрочные,
среднесрочные и долгосрочные. Методы
исследования процессов можно разделить
на научные и ненаучные. Суть научных -
на основании выдвигаемых теорий.
Используются 2 модели – рабочая (более
простая) и теоретическая(более сложная
и точная).
Вопрос
№ 2 – Задачи динамического программирования.
В задачах динамического программирования
просматривается процесс динамики.
Пример: задача
производства и хранения продукции, замены
оборудования, распределение капитальных
вложений. Может применяться для расчета
критического пути сетевого графика. Для
решения используются иногда метод Беллмана.
Решить можно только задачу линейного
программирования симплекс- методом. Метод
Беллмана. Выбор оптимального варианта
с учетом будущих последствий, исключение
- последний шаг, который является статистическим
процессом. Весь процесс начинается с
последнего шага. Делаются предложения
о том, чем кончился предыдущий шаг, по
каждому выбирается оптимальная стратегия.
Процесс повторяется до первого шага.
Процедура поэтапного решения записывается
в виде динамического рекуррентного соотношения.
Называется итерационное уравнение Беллмана:
fn(i)=оптимум fn-1(g)+Cij ,
где fn(i)- функция, характеризующая
состояние системы в момент I за n шагов
до окончания процесса; fn-1(g) – функция, характеризующая
состояние системы в момент g за n-1 шагов
до окончания процесса ; Cij – издержки или полезность,
связанное с переходом из состояния I в
состояние j.
Динамическое
программирование в теории управления и теории
вычислительных систем — способ решения
сложных задач путём разбиения их на более
простые подзадачи. Он применим к задачам
с оптимальной подструктурой (англ.), выглядящим
как набор перекрывающихся подзадач, сложность
которых чуть меньше исходной. В этом случае
время вычислений, по сравнению с «наивными»
методами, можно значительно сократить.
Ключевая идея
в динамическом программировании достаточно
проста. Как правило, чтобы решить поставленную
задачу, требуется решить отдельные части
задачи (подзадачи), после чего объединить
решения подзадач в одно общее решение.
Часто многие из этих подзадач одинаковы.
Подход динамического программирования
состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу
только один раз, сократив тем самым количество
вычислений. Это особенно полезно в случаях,
когда число повторяющихся подзадач экспоненциально
велико.
Метод динамического программирования
сверху — это простое запоминание результатов
решения тех подзадач, которые могут повторно
встретиться в дальнейшем. Динамическое
программирование снизу включает в себя
переформулирование сложной задачи в
виде рекурсивной последовательности
более простых подзадач.
Билет № 2.
Вопрос № 1 – Классификация моделей.
- По уровню иерархии экономической системы на микро- и макроэкономические. Если модель на уровне предприятия и ниже – то это микромодель, если же, например, народное хозяйство в целом, различные сектора, отрасли экономики – то макромодель.
- По назначению на нормативные (предписывающие) и дескриптивные (описательные). Цель последних – познание объектов. Они описывают структуру и поведение объектов и отвечают на вопрос: "Что имеется?" Например, к таким относится модель Леонтьева "Затраты-выпуск". Нормативные модели используются для принятия управленческого решения и отвечают на вопрос: "Как должно быть?" Примером является любая оптимизационная модель. Нормативные модели являются одновременно дескриптивными, но не наоборот.
- По степени и виду обрубления свойств моделируемого объекта на нелинейные,
линейные, динамические, статические,
детерминированные, стохастические.
- По сложности на одноуровневые и иерархические.
- По конструкции на глобальные (например, экономика государства, человечество), комплексы
и системы моделей, локальные модели.
- По принципу формализации на модели
с системным принципом использования
и с механистическим подходом;
- По соотношению переменных на открытые и закрытые. Открытые модели характеризуются эндогенными (внутренними) и
экзогенными (внешними) переменными, закрытые – только эндогенными.
В модели присутствуют множество переменных. По характеру переменные делятся
на непрерывные, дискретные, смешанные
и булевы переменные.
- Все модели можно разделить
на 2 класса:
- используют
опыт и интуицию специалистов (сценарные, вербальные, экспертные) и формализованное представление системы( аналитические, статистические, оптимизационные)
- имитационные
модели (модели, содержащие формулы, которые решить аналитически нельзя, а нужно использовать специальные методы; имитационные модели бывают динамические
и статистические, когда входные параметры
– случайные величины и необходимо узнать
выходной параметр).
Вопрос № 2 – Задача целочисленного
программирования.
Задача программирования, где неизвестные
- целые числа. Решение - оптимальное и
допустимое. Округлять следует в меньшую
сторону. Наиболее распространенный метод- метод
Гомори: задача решается симплекс-
методом, но добавляется дополнительное
ограничение Qi1 * X1+Qi2 * X2 … Qi1 * Xn- Xn+1 = Qi ,
где Qij – дробные части матрицы технологичных
коэффициентов Aij; Qi – дробная
часть Bi
Получается решение хуже, чем оптимальное,
но лучше чем округление. К примеру, задача
о назначениях - целочисленная. Неизвестные
- булевы переменные. Если I работник выполняет
j работу - 1, если нет, то 0.
Целочисленное программирование — раздел
математического программирования, в
котором на все или некоторые переменные
дополнительно накладывается ограничение
целочисленности.
Простейший метод решения задачи целочисленного
программирования — сведение её к задаче
линейного программирования с проверкой
результата на целочисленность.
Булевское программирование
К частному случаю задачи целочисленного
линейного программирования относятся
задачи, где переменные X могут принимать
всего лишь два значения — 0 и 1. Соответствующие
задачи часто называют задачами булевского
программирования. Наиболее известные
из этих задач — задача о назначениях
(какого работника на какую работу поставить),
задача выбора маршрута (задача коммивояжера,
задача почтальона), задача о максимальном
паросочетании и т. д. Целочисленное программирование
применяется при решении задачи оптимизации
развития компании, в которой 0 или 1 означают
покупку какого-либо оборудования.
Для решения задач этого типа разрабатываются
специфические алгоритмы, основанные
на комбинаторике, графах и т. д.
Билет № 3.
Вопрос №1 – Классификация методов моделирования.
- Методы моделирования макропроцессов. К ним относится система воспроизводства (простого и расширенного), модель Леонтьева, межотраслевой баланс, национальные счета,
производственные функции.
- Методы экономико-статистические: корреляционный, регрессионный, дисперсионный, кластерный анализ, метод Монте-Карло, статистические игры (где
второй игрок – природа).
- Исследование операций: линейное, нелинейное, математическое программирование, теория игр (аналитические, стратегические игры), теория управления запасами, теория массового обслуживания.
Все методы делятся на две группы:
- формализованные
методы;
- методы
использования опыта, инструкций руководителя.
Это субъективный подход, т.к. часто нельзя
дать объективную оценку экономической
ситуации, поэтому приходится давать субъективную
оценку:
- метод
экспертного анализа;
- метод
сценариев;
- метод
деревьев целей;
- метод
генерирования вариантов;
- метод
мозгового штурма;
- морфологический
метод.
При исследовании технических систем
с дискретным характером функционирования
наиболее широкое применение получили
следующие методы математического моделирования:
- аналитические
(аппарат теории вероятностей, теории
массового обслуживания, теории случайных
процессов, методы оптимизации);
- численные
(применение методов численного анализа
для получения конечных результатов в
числовой форме, когда невозможно получить
аналитические зависимости характеристик
от параметров в явном виде);
- статистические
или имитационные (исследования на ЭВМ,
базирующиеся на методе статистических
испытаний и предполагающие применение
специальных программных средств и языков
моделирования)
- комбинированные.
Вопрос № 2 – задача нелинейного программирования.
Z=∑jPj- Cj * Xj=>max
P- цена, С-себестоимость единицы изделия
Линейная целевая функция.
Z=∑jPj – Сj от
(X1 X2…Xn)* Xj – функция не линейная.
Нелинейные задачи решаются в некоторых
случаях. Метод множителей Лагранжа.
Ограничения привести к виду: Фij от (X1 X2…Xn)=0. Вводятся
множители Лагранжа.
Получаем
систему из n+m уравнений с n+m неизвестными.
В общем случае - уравнение не линейное.
В некоторых случаях система решается.
Условия существования отдельных решений
задается теорема Куно- Такера :F(Xλ)=f(x)+∑iλiФni(X)λ-n
…векторλ-m … Вектор Вектор Х* тогда
и только тогда является оптимальным
решением задачи, когда существует вектор
λ*, что для всех х>0 и λ>0 F(X λ*)≤
F(X* λ*)≤ F(X* λ). Точка X* λ седловая точка
для функции F(X λ). Теорема- теорема о седловой
точке. Множитель Лагранжа в таких задачах-
аналог двойственных оценок. Другими словами: Вектор х тогда и только тогда являются
оптимальным решением задачи, когда существует
вектор лямбда что для всех x>0. Теорема
оседлой точки. Множитель Лагранжа в таких
задачах - аналог двойственный оценок.
Билет № 4.
Вопрос
№ 1 – Общая задача математического программирования.
Математическое программирование изобрел
Конторович. Она регулируется: Z=f(X1…X2…Xn)=bi
j от 1 до n I от 1 до m Xj≥0
Неизвестные Xj, m- количесво ограничений,
n- количесво переменных. Целевая функция
Z- отражение критерия. Стремятся либо
максимизировать, либо минимизировать
этот критерий. Оптимум ищется при определенных
ограничениях(условиях). Задачи линейного
программирования(коэффициенты постоянны),
задачи нелинейного программирования(когда
не линейны), задачи целочисленного программирования(
когда значение неизвестных- целые числа,
разновидность- неизвестны булевы переменные),
задачи динамического прогнозирования(рассматривается
процесс развития системы).Только 1 имеют
решения в любом случае.
Общая задача М.
п. состоит в нахождении оптимального (максимального
или минимального) значения целевой функции,
причем значения переменных должны принадлежать
некоторой области допустимых значений.
В самом общем виде задача записывается
так:
Z = f (x1, x2, x3,…., xm)→оптимум max(min)
При ограничениях fi(x1,x2,…xn )=bi; j от 1 до n, i от 1 до m, xj≥0.
Неизвестные
xj, m-кол-во ограничений, n – кол-во
переменных.
Целевая функция Z- это отражение критерия.
Стремится либо максимизировать, либо
минимизировать этот критерий. Оптимум
ищется при определенных условиях (ограничениях).
Вопрос
№ 2 – Корреляционный анализ.
Корреляционный анализ. К.А-метод обработки
статистических данных с помощью которого
измеряется теснота связи между двумя
и более переменными. Целью корреляционного
анализа является отбор факторных признаков,
которые влияют на результативные.
Для оценки степени влияния двух случайных
величин Х и Y друг на друга используется коэффициент
парной корреляции. Коэффициент парной
корреляции изменяется в пределах от –1
до +1.Если по модулю стремится к 1, то зависимость
стремится к функциональной, если же по
модулю стремится к 0, то зависимость отсутствует.
Результаты расчета коэффициента оформляются
в виде таблицы (матрица коэффициентов
парной корреляции). На 2 шаге рассматриваются
коэффициенты корреляции между факторными
признаками, включенные в модель на 1 шаге.