Шпаргалка по дисциплине "Математическое моделирование экономических процессов"

                                                              Билет  №  1.

                                  Вопрос 1 - Предмет курса.

Предмет курса - модели социально-экономических систем. Моделирование - метод изучения и предсказания поведения объекта, путём создания его образа, который и называется моделью, и который отражает существующие для исследования свойства объектов. Набор этих свойств определяется целью моделирования. Цель может быть познавательной, то есть изучение свойств, явлений или процессов и структуры их поведения. Может использоваться прогностическая цель, то есть изучение поведения в будущем.

                           Процесс моделирования можно разделить на ряд этапов:

1) Определение цели моделирования  и постановка задачи (обоснования  объекта или процесса, формулировка  требований к исходной информации, сбор информации об объекте  и её анализ, изучение исходных  свойств моделируемого объекта, разработка гипотез).

2) Построения модели социально-экономического  процесса или системы.

3) Анализ созданной модели (позволяет  делать качественные и количественные  выводы о характере процесса  или объекта. Качественный анализ выявляет неизвестные ранее свойства объекта, а количественный - соотношения различных характеристик).

4) Проверка адекватности моделей  и точности полученных результатов (метод верификации. Наиболее простой  метод – проведение  эксперимента  второй используется, когда невозможно  провести эксперимент на объекте. Используются две модели рабочая (более простая) и теоретическая (более сложная и точная).

                              Использование модели должно иметь следствием:

• совершенствование методов экономической теории и методов управления экономическими процессами;
• получение определенного экономического эффекта, если модель используется на практике.

 

 

Все процессы могут быть разделены на социально-экономические и политические, средством первых является труд, вторых - эксплуатация и грабёж. Основу социально-экономических составляет цикл, инновации, инвестиции, производство. Процессы делятся на контролируемые и не контролируемые, сложные и простые, обратимые и необратимые краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные. Методы исследования процессов можно разделить на научные и ненаучные. Суть научных - на основании выдвигаемых теорий.

Используются 2 модели – рабочая (более простая) и теоретическая(более сложная и точная).

 

 

                           Вопрос № 2 – Задачи динамического программирования.

В задачах  динамического программирования просматривается процесс динамики.

Пример: задача производства и хранения продукции, замены оборудования, распределение капитальных вложений. Может применяться для расчета критического пути сетевого графика. Для решения используются иногда метод Беллмана. Решить можно только задачу линейного программирования симплекс- методом. Метод Беллмана. Выбор оптимального варианта с учетом будущих последствий, исключение - последний шаг, который является статистическим процессом. Весь процесс начинается с последнего шага. Делаются предложения о том, чем кончился предыдущий шаг, по каждому выбирается оптимальная стратегия. Процесс повторяется до первого шага. Процедура поэтапного решения записывается в виде динамического рекуррентного соотношения. Называется итерационное уравнение Беллмана:

                                                        fn(i)=оптимум fn-1(g)+Cij ,

где fn(i)- функция, характеризующая состояние системы в момент I за n шагов до окончания процесса; fn-1(g) – функция, характеризующая состояние системы в момент g за n-1 шагов до окончания процесса ; Cij – издержки или полезность, связанное с переходом из состояния I в состояние j.

Динамическое программирование в теории управления и теории вычислительных систем — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой (англ.), выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.

Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.

Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.

                                                             Билет № 2.

                                    Вопрос № 1 – Классификация моделей.

• По уровню иерархии экономической системы на микро- и макроэкономические. Если модель на уровне предприятия и ниже – то это микромодель, если же, например, народное хозяйство в целом, различные сектора, отрасли экономики – то макромодель.
• По назначению на нормативные (предписывающие) и дескриптивные (описательные). Цель последних – познание объектов. Они описывают структуру и поведение объектов и отвечают на вопрос: "Что имеется?" Например, к таким относится модель Леонтьева "Затраты-выпуск". Нормативные модели используются для принятия управленческого решения и отвечают на вопрос: "Как должно быть?" Примером является любая оптимизационная модель. Нормативные модели являются одновременно дескриптивными, но не наоборот.
• По степени и виду обрубления свойств моделируемого объекта на нелинейные, линейные, динамические, статические, детерминированные, стохастические.
• По сложности на одноуровневые и иерархические.
• По конструкции на глобальные (например, экономика государства, человечество), комплексы и системы моделей, локальные модели.
• По принципу формализации на модели с системным принципом использования и с механистическим подходом;
• По соотношению переменных на открытые и закрытые. Открытые модели характеризуются эндогенными (внутренними) и экзогенными (внешними) переменными, закрытые – только эндогенными.

В модели присутствуют множество переменных. По характеру переменные делятся на непрерывные, дискретные, смешанные и булевы переменные.

                      

• Все модели можно разделить на 2 класса:

1. используют опыт и интуицию специалистов (сценарные, вербальные, экспертные) и формализованное представление системы( аналитические, статистические, оптимизационные)

2. имитационные модели (модели, содержащие формулы, которые решить аналитически нельзя, а нужно использовать специальные методы; имитационные модели бывают динамические и статистические, когда входные параметры – случайные величины и необходимо узнать выходной параметр).

 

 

 

 

                     Вопрос № 2 – Задача целочисленного  программирования.

Задача программирования, где неизвестные - целые числа. Решение - оптимальное и допустимое. Округлять следует в меньшую сторону. Наиболее распространенный метод- метод Гомори: задача решается симплекс- методом, но добавляется дополнительное ограничение Qi1 * X1+Qi2 * X2 … Qi1 * Xn- Xn+1 = Qi ,

где Qij – дробные части матрицы технологичных коэффициентов Aij; Qi – дробная часть Bi

Получается решение хуже, чем оптимальное, но лучше чем округление. К примеру, задача о назначениях - целочисленная. Неизвестные - булевы переменные. Если I работник выполняет j работу - 1, если нет, то 0.

Целочисленное программирование — раздел математического программирования, в котором на все или некоторые переменные дополнительно накладывается ограничение целочисленности.

Простейший метод решения задачи целочисленного программирования — сведение её к задаче линейного программирования с проверкой результата на целочисленность.

Булевское программирование

К частному случаю задачи целочисленного линейного программирования относятся задачи, где переменные X могут принимать всего лишь два значения — 0 и 1. Соответствующие задачи часто называют задачами булевского программирования. Наиболее известные из этих задач — задача о назначениях (какого работника на какую работу поставить), задача выбора маршрута (задача коммивояжера, задача почтальона), задача о максимальном паросочетании и т. д. Целочисленное программирование применяется при решении задачи оптимизации развития компании, в которой 0 или 1 означают покупку какого-либо оборудования.

Для решения задач этого типа разрабатываются специфические алгоритмы, основанные на комбинаторике, графах и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                   Билет № 3.

                               Вопрос №1 – Классификация методов моделирования.

• Методы моделирования макропроцессов. К ним относится система воспроизводства (простого и расширенного), модель Леонтьева, межотраслевой баланс, национальные счета, производственные функции.
• Методы экономико-статистические: корреляционный, регрессионный, дисперсионный, кластерный анализ, метод Монте-Карло, статистические игры (где второй игрок – природа).
• Исследование операций: линейное, нелинейное, математическое программирование, теория игр (аналитические, стратегические игры), теория управления запасами, теория массового обслуживания.

                                       Все методы делятся на две группы:

• формализованные методы;
• методы использования опыта, инструкций руководителя. Это субъективный подход, т.к. часто нельзя дать объективную оценку экономической ситуации, поэтому приходится давать субъективную оценку:

• метод экспертного анализа;
• метод сценариев;
• метод деревьев целей;
• метод генерирования вариантов;
• метод мозгового штурма;
• морфологический метод.

При исследовании технических систем с дискретным характером функционирования наиболее широкое применение получили следующие методы математического моделирования:

• аналитические (аппарат теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории случайных процессов, методы оптимизации);
• численные (применение методов численного анализа для получения конечных результатов в числовой форме, когда невозможно получить аналитические зависимости характеристик от параметров в явном виде);
• статистические или имитационные (исследования на ЭВМ, базирующиеся на методе статистических испытаний и предполагающие применение специальных программных средств и языков моделирования)
• комбинированные.

 

 

 

 

                 Вопрос № 2 – задача нелинейного программирования.

Z=∑jPj- Cj * Xj=>max P- цена, С-себестоимость единицы изделия Линейная целевая функция.

Z=∑jPj – Сj от (X1 X2…Xn)* Xj – функция не линейная.

 

Нелинейные задачи решаются в некоторых случаях. Метод множителей Лагранжа. Ограничения привести к виду: Фij от (X1 X2…Xn)=0. Вводятся множители Лагранжа.

Получаем систему из n+m уравнений с n+m неизвестными. В общем случае - уравнение не линейное. В некоторых случаях система решается. Условия существования отдельных решений задается теорема Куно- Такера :F(Xλ)=f(x)+∑iλiФni(X)λ-n …векторλ-m … Вектор Вектор Х* тогда и только тогда является оптимальным решением задачи, когда существует вектор λ*, что для всех х>0 и λ>0   F(X λ*)≤ F(X* λ*)≤ F(X* λ). Точка X* λ седловая точка для функции F(X λ). Теорема- теорема о седловой точке. Множитель Лагранжа в таких задачах- аналог двойственных оценок. Другими словами: Вектор х тогда и только тогда являются оптимальным решением задачи, когда существует вектор лямбда что для всех x>0. Теорема оседлой точки. Множитель Лагранжа в таких задачах - аналог двойственный оценок.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          Билет № 4.

               Вопрос № 1 – Общая задача математического программирования.

Математическое программирование изобрел Конторович. Она регулируется: Z=f(X1…X2…Xn)=bi j от 1 до n    I от 1 до m   Xj≥0   Неизвестные Xj, m- количесво ограничений, n- количесво переменных. Целевая функция Z- отражение критерия. Стремятся либо максимизировать, либо минимизировать этот критерий. Оптимум ищется при определенных ограничениях(условиях).  Задачи линейного программирования(коэффициенты постоянны), задачи нелинейного программирования(когда не линейны), задачи целочисленного программирования( когда значение неизвестных- целые числа, разновидность- неизвестны булевы переменные), задачи динамического прогнозирования(рассматривается процесс развития системы).Только 1 имеют решения в любом случае.

Общая задача М. п. состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений. В самом общем виде задача записывается так:

 

                                     Z = f (x1, x2, x3,…., xm)→оптимум max(min)

При ограничениях fi(x1,x2,…xn )=bi; j от 1 до n, i от 1 до m, xj≥0. 
Неизвестные xj, m-кол-во ограничений, n – кол-во переменных. 
Целевая функция Z- это отражение критерия. Стремится либо максимизировать, либо минимизировать этот критерий. Оптимум ищется при определенных условиях (ограничениях).  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                   Вопрос № 2 – Корреляционный анализ.

Корреляционный анализ. К.А-метод обработки статистических данных с помощью которого измеряется теснота связи между двумя и более переменными. Целью корреляционного анализа является отбор факторных признаков, которые влияют на результативные.  Для оценки степени влияния двух случайных величин Х и Y друг на друга используется коэффициент парной корреляции. Коэффициент парной корреляции изменяется в пределах от –1 до +1.Если по модулю стремится к 1, то зависимость стремится к функциональной, если же по модулю стремится к 0, то зависимость отсутствует. Результаты расчета коэффициента оформляются в виде таблицы (матрица коэффициентов парной корреляции). На 2 шаге рассматриваются коэффициенты корреляции между факторными признаками, включенные в модель на 1 шаге.