Шпаргалка по дисциплине "Математическое моделирование экономических процессов"

1. Построение модели социально- экономического процесса или системы.
2. Анализ созданной модели (позволяет делать качественные и количественные выводы о характере процесса или объекта. Качественный анализ выявляет неизвестные ранее свойства объекта, а количественные соотношение различных характеристик)
3. Проверка адекватности модели и точности полученных результатов (методы – верификации).

Наиболее простой метод – проведение эксперимента Второй используется когда невозможно провести эксперимент на объекте. Используются две модели – рабочая(более простая) и теоретическая(более сложная и точная).

Классификация методов:

- методы  моделирования макропроцессов ( производственные функции, межотраслевой баланс, ограниченный рост)

- методы  экономико-статистические (корреляционные, регрессионные и дисперсионные  анализы, кластерный анализ, статистические  игры)

- методы  исследования операций (методы математического  программирования, теория игр, методы  управления запасами, теория массового  обслуживания)

                         Вопрос № 2 – Динамические модели в МОБ СНС.

Динамика отраслей, увязка планового состояния отраслей с базовым и последующими  периодами не проводилась, процесс накопления, прироста мощностей и увеличения объемов производства не отражался.

 Эти недостатки  статических моделей ликвидируются, если ввести в модель МОБ  СНС  в качестве эндогенных  капитальные вложения  и отразить  с учетом лага времени процесс  превращения их в дополнительные  мощности. Капитальные вложения  являются частью конечного продукта. Такая модель МОБ СНС будет  отражать уже не состояние, а  процесс развития экономики, т.е. будет динамической.

 В динамической модели МОБ СНС содержатся две группы переменных: продукция и мощности (последние могут выступать в виде капитальных вложений или фондов). Эти две группы переменных образуют два типа балансов:

1) баланс производства  и распределения, повторяющий статическую  модель МОБ СНС;

2) баланс производственных  мощностей.

 Для нормального  развития производства необходимо  обеспечить также третий баланс - стоимостной, соединяющий два первых. Для отражения процесса прироста  мощностей  из  состава конечного  продукта особо выделяется накопление.

 Укрупненная схема динамического МОБ СНС, учитывающая изложенные выше соотношения, приведена в табл.2.

Таблица 2.

Блок-схема динамической модели МОБ СНС

Виды балансов	Обеспечение текущего производства	Обеспечение наращивания производственных мощностей	Чистое конечное потребление
1.Баланс  продукции	Текущее производственное потребление продукции	Замена выбывающих и создание новых мощностей	Чистое конечное потребление продукции
2. Баланс основных фондов	Потребности в основных производственных фондах	Ввод производственных мощностей	Потребности в производственных фондах
3.Баланс  денежных ресурсов	Образование денежных доходов	Финансирование создания производственных мощностей	Конечное использование денежных доходов

 

Баланс продукции по динамической модели МОБ СНС для  i-й производящей отрасли имеет вид:

             ,                                        (13)

где       - объем продукции i-ой отрасли, направляемый в текущем периоде в j-е  отрасли в качестве производственных капитальных вложений. Материальный состав           -это   прирост в потребляющих отраслях запасов сырья, материалов, оборудования, производственных площадей и т.п.;

Zi - чистый конечный продукт i-ой отрасли(без накопления).

 Очевидно, что общая  сумма производственных капитальных  вложений и чистого конечного  продукта равна всему конечному  продукту отрасли:

                                           .

Формально это получается при сопоставлении (8) и (13).

 Потоки капитальных  вложений   обеспечивают прирост продукции во времени. В общем виде:

Предполагая линейный характер функции (( (Фij), записываем:

                                                                                     

где     -коэффициенты вложений, показывающие, сколько продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю в целях увеличения производственной мощности на единицу.

 Баланс (13) с учетом (14) в матричной форме имеет  вид :

                                              А×Х(t)+C×(X(t)+Z=X(t).                     (15)

Строка квадратной матрицы C отражает расход продукции i-ой отрасли на единицу прироста выпуска каждой из n  j-х отраслей. Если считать прирост выпуска точно соответствующим  приросту мощностей, то элементы матрицы С являются нормами вложений на единицу мощности.

 Рассмотренная модель МОБ  СНС соответствует идеальному  состоянию экономики, при котором  капитальные вложения             мгновенно превращаются в полностью  загруженные мощности  Xj . Реально же процесс превращения капиталовложений в рост объемов производства имеет определенную продолжительность во времени.

На рис.3.3 показаны лаги ввода мощностей (Dt1)  и освоения мощностей (Dt2).

Рис. 3.3 Динамика процесса “капиталовложения - прирост производства”.

Учет лагов приводит к тому, что элементы матриц  A,C ,Z становятся зависимыми от времени,  а матрица приростов выпуска (X заменяется матрицей ввода мощностей (M:

                                            A(t)×X(t)+C(t)×(M(t)+Z(t)=X(t).     (16)

 Второй баланс  динамической модели (баланс основных  фондов) учитывает основные фонды  на начало года, прирост фондов (мощностей) и их освоение в  течение года. Если не выделять  производственные фонды,  что  упрощает модель, то этот баланс  может быть представлен в виде  следующего уравнения:        

где F(t) - матрица коэффициентов фондоемкости отраслей;

U (t) - матрица коэффициентов использования вводимых производстваных мощностей;

Ф(t) - матрица основных средств на начало периода.

Матрица  С уравнения (16) не совпадает с матрицей F. Первая рассматривается по вводимым, а следовательно более совершенным фондам. Вторая – по всем фондам отрасли.

В практических расчетах считается, что ,

где -  коэффициент пересчета всей фондоемкости в приростную.

Если внедрение новой техники приводит к увеличению фондоотдачи, то <1, если растет фондоемкость, то наоборот. Расчет коэффициентов    ведется теми же способами, что и .

Динамическая модель получается из статической путем детализации уравнения строки, позволяющего отразить метод конечного использования ВВП: потребление и накопление.

А так же если ввести в модель МОБ СНС  в качестве эндогенных капитальные вложения  и отразить с учетом лага времени процесс превращения их в дополнительные мощности. Капитальные вложения являются частью конечного продукта. Такая модель МОБ СНС будет отражать уже не состояние, а процесс развития экономики, т.е. будет динамической.

                                                               Билет № 18.

                                  Вопрос № 1- Транспортная задача и её применение.

Транспортные задачи являются разновидностью задач линейного программирования.

Существует m пунктов производства, производящих однородный товар i от 1 до n. - количество продукции, производимое в каждом пункте производства. j – потребление. bj – потребности. a – вектор производства, b – вектор потребления.

  Целевая функция  и ограничения транспортной задачи  имеют вид. ( количество продукции, которое требуется перевезти из ni в nj, при этом минимизируются затраты по перевозке). Смысл целевой функции – минимизировать затраты)

Ограничения:

  Каждый потребитель должен  полностью удовлетворить свои  потребности.

2. Из каждого пункта производства должна быть вывезена продукция.

где  Аi – количество продукции, производимое в i – м пункте производства (вектор производствам);

ВJ – количество продукции, потребляемое в  j – м пункте потребления (вектор потребления);

Сij – затраты по перевозке единицы продукции из i – го пункта в пункта в j -  й (матрица затрат);

xij – количество продукции, перевозимое из  i – го пункта в j – й.

Существует открытая и закрытая задачи.

Закрытая – сколько производится столько и потребляется.

Открытая – равенство.

Для решения открытой задачи её нужно перевести в закрытую, для чего вводятся фиктивные пункты (производство или потребление), чтобы выполнялось равенство  . Затраты по перевозкам в фиктивные пункты принимаются равными 0

Разновидностью транспортных (моделями) задач являются задачи у которых переменными являются булевы переменные.

Задача о назначениях. Имеется комплексная бригада , m работников. Этой бригаде предлагают выполнить n работы j.

Cij – производит работник по выполнению требований.

Целевая функция максимальной производительности бригады:

 

В этом случае неизвестным является булева переменная. (

Ограничения:

Считается, что работник может выполнить только одну работу и работа выполняется только одним работником, т.е.

             

Задачи закрепления за станками операций по обработке деталей при замене в целевой функции min и max. Пусть на предприятии имеет m видов станков, каждый из которых может выполнить n видов операций. При этом Аi – максимальное время работы станка i-го вида, Вj – время выполнения j-й операции, Сij - производительность i-го станка при выполнении j-й операции (число деталей в единицу времени), хij – время работы i-го станка на j-й операции. Сij* хij – количество j -x  деталей, обработанных на i – м станке. Тогда целевая функция (количество деталей обработанных на всех станках) будет иметь вид

.

Так как максимальное время работы станков и время каждой операции ограничено, то получаем

             

При решении задачи её сводят к транспортной путём умножения коэффициентов целевой функции на  –1.

4.Задача о назначениях может быть использована при распределении между предприятиями корпорации «портфеля заказов». Количество предприятий = количеству заказов.

Здесь Сij имеет смысл затрат выполнению j - го  заказа на i - м предприятии и целевая функция будет на min.  Неизвестным будет также dij.

Сама  модель будет иметь вид

Ограничения:

     Каждый заказ должен  быть выполнен

  Каждое предприятие должно работать

Транспортную модель можно применять при рассмотрении ряда практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением сменных графиков, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала, регулированием расхода воды в водохранилищах и многими другими. Кроме того, модель можно видоизменить, с тем чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции.

 

 

 

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   Вопрос № 2 – Построение многофакторного уравнения регрессии.

Построение многофакторной модели начинается с выбора формы сглаживающей зависимости. Наиболее часто используются линейная зависимость.

(10)

 

мультистепенная зависимость

(11)

 

Мультистепенная зависимость при расчете приводится к линейной путем логарифмирования

 

 

Если большинство факторных признаков линейно влияют на результативный признак, то выбирается линейный многочлен (10), а иначе – мультистепенная функция (11).

Расчет коэффициентов уравнений регрессии a0 , aj производится методом наименьшим квадратов. При этом функция Z имеет вид

 

                                      (12)

Дифференцируя Z по а0 и аj и приравнивая производные нулю, получаем систему нормальных уравнений в матричной форме

 

(X' X)A * X' Y                                                             (13)

где X – матрица факторных признаков размером m*(n+1);

 

 

 

 

 

 

Х' – транспонированная матрица х.

А – вектор коэффициентов регрессии, Y – вектор результативного признака

Решая систему линейных уравнений одним из известных методов (Гаусса, Жордана-Гаусса и т.д.), получаем значения коэффициентов уравнения регрессии а0, аj.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                        Билет № 19.

                                  Вопрос № 1 - Имитационные модели.

Суммируя, можно сказать, что имитационная модель – это модель, обладающая следующими качествами:

– «сложность» модели,

– наличие в ней случайных факторов,

– описание процесса, развивающегося во времени,

– невозможность получения результатов без ЭВМ,