[2] Лейкман
Э. И Ламберт Дж. Д. Исследование мажоритарной
и пропорциональной избирательной систем.
М.: ИЛ, 1958
[3] Левин
И.Б. О реформе избирательной системы
в Италии. // Полис,1993, N3, с.82
[4] Левин
И.Б. указ. Соч., с 80.
[5] Подробные
правила распределения см.:Лейкман
Э. И Ламберт Дж.Д. Указ.
Соч., с.
3
Дипломная
работа на тему Приложения алгебры отношений
к теории голосования. Содержание.
Факультет
– Механико-математический
Специальность
– юрист-информатик.
Кафедра
по которой проходила защита
– Кафедра линейной алгебры
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………4
1. Избирательная
система……………………………………………….5
1.1. Выборы
в системе государственной власти…………………5
1.2. Классификация
избирательных систем………………………9
1.3. Избирательная
система и многопартийность………………..15
2. Математическое
моделирование принятия коллективных
решений
(голосование)…………………………………………………..17
2.1. Основные
понятия отношений порядка………………………17
2.2. Модели
коллективного выбора ….……………………………26
2.3. Математическая
модель голосования…………………………40
Заключение…………………………………………………………………50
Список
использованных источников и
литературы…………………51
ВВЕДЕНИЕ
Дипломная
работа посвящена приложениям
алгебры к теории голосования.
Выборы
– это непременный атрибут
демократического государства. Выборы
проходят в большинстве стран мира и в
каждой стране есть свои особенности,
связанные с опытом и традициями народа
этой страны, с системой государственной
власти и политическим режимом.
В этом
случае необходимо принимать
во внимание и наличие конкуренции,
и доступность информации о кандидатах,
и свободу волеизъявления, и честность
подсчета голосов – все те аспекты, которые
обсуждают юристы, политологи и социологи.
Однако есть у выборов еще одна сторона,
которая изучается, прежде всего, математиками.
Ее обычно принято называть избирательной
системой.
Проблемы
коллективного выбора обсуждаются
математиками и политиками с XVIII
века, когда выборы только начинали
становиться универсальным способом
формирования органов власти. Свой
вклад в их решение внесли такие
люди, как Ж.А. Кондорсе. А. Гамильтон, Т.
Джефферсон и другие. Уже в ХХ веке за вклад
в теорию выборов американский математик
Кеннет Дж. Эрроу удостоен Нобелевской
премии по экономике.
Целью
работы является исследование
возможности применения методов алгебры
отношений в математическом моделировании
способов принятия коллективных решений
(голосования).
1. ИЗБИРАТЕЛЬНАЯ
СИСТЕМА
1.1. Выборы
в системе государственной власти
Демократия
неотделима от выборов, ибо «власть
народа» (именно так переводится
слово «демократия» с древнегреческого)
в современном государстве, в отличие
от Древних Афин с населением в двадцать
тысяч жителей, немыслима вне выборных
представителей власти.1
Выборы
– это не только существенный
признак, атрибут демократии, но
и ее стержень, необходимое условие.
Демократия – режим, при котором правители
назначаются посредство свободных и честных
выборов2.
Избирательная
система есть порядок организации
и проведения выборов в представительные
учреждения или индивидуального
руководящего представителя (например,
президента страны), закрепленный в юридических
нормах, а также сложившейся практикой
деятельности государственных и общественных
организаций.
Выборы
бывают президентские, парламентские,
в местные органы самоуправления
— региональные (областные), муниципальные
(городские), выборы судей и некоторых
других должностных лиц. Кроме того, выборы
бывают очередными, внеочередными, дополнительными.
Наибольший
интерес заслуживает классификация
выборов согласно принципам избирательного
права, отражающим степень правового,
демократического развития той или иной
страны, ее избирательной системы. В этом
случае общепринятое деление приобретает
вид парных противоположностей: всеобщие
— ограниченные (цензовые); равные -неравные;
прямые – косвенные (многостепенные);
с тайным – с открытым голосованием.
Большинство
стран современного мира провозгласили
в своих конституциях или специальных
избирательных законах права
граждан на
всеобщие
и равные выборы при тайном
голосовании. Рассмотрим эти
принципы
подробнее.
Всеобщность
выборов предполагает право всех
дееспособных граждан, достигших
установленного законом возраста,
участвовать в выборах, причем
под этим правом подразумевается
как активное избирательное право,
так и пассивное. Однако и то,
и другое в ряде стран ограничено избирательными
цензами: имущественным, цензом оседлости,
образовательным, возрастным.
1.2. Классификация
избирательных систем
В научной
литературе термин «избирательная
система» употребляется обычно
в двух значениях — широком
и узком.
В широком
смысле избирательная система
— это система общественных
отношений, связанных с выборами
органов публичной власти. Сфера
этих отношений весьма широка.
В нее входят вопросы и определения
круга избирателей и избираемых,
и инфраструктуры выборов (создание
избирательных единиц, избирательных
органов), и отношений, складывающихся
на каждой из стадий избирательного процесса
вплоть до его завершения. Регулируется
избирательная система нормами избирательного
права, понимаемого как система правовых
норм, представляющая собой подотрасль
конституционного (государственного)
права. Однако не вся избирательная система
регулируется правовыми нормами. В ее
состав входят также отношения, регулируемые
корпоративными нормами (уставами политических
общественных объединений), а также обычаями
и традициями данного общества.
Однако
нас больше интересует избирательная
система в так называемом узком
смысле. Это способ определения
того, кто из баллотировавшихся
кандидатов избран на должность
или в качестве депутата. В зависимости
от того, какая будет использована избирательная
система, результаты выборов при одних
и тех же итогах голосования могут оказаться
совершенно различными.
Наиболее
распространена на выборах система
большинства, именуемая мажоритарной
(от франц. majorite — большинство).3 При
этой системе избранным считается тот,
за кого было подано большинство голосов,
а голоса, поданные за остальных кандидатов,
пропадают. Эта система — единственно
возможная при выборах одного должностного
лица (президента, губернатора и др.). Когда
же она применяется для выборов коллегиального
органа власти, например, палаты парламента
обычно создаются одномандатные избирательные
округа, то есть в каждом из них должен
быть избран один депутат.
Мажоритарная
система имеет несколько разновидностей,
обусловленных различными требованиями
к величине необходимого для избрания
большинства голосов.
Самая
простая разновидность — это
система относительного большинства,
при которой избранным считается
кандидат, получивший больше голосов,
чем любой из остальных кандидатов.
1.3. Избирательная
система и многопартийность
Многопартийность
– наличие в обществе нескольких
политических партий, конкурирующих
между собой в борьбе за
влияние на массы, за вхождение
в высшие государственные органы.
Многопартийность может существовать
только в демократическом обществе, гарантирующем
всем гражданам равные политические права,
а так же и право на создание политических
организаций. Законодательство современных
демократических государств не определяет
пределы количества партий, которые могут
быть созданы в стране. Вместе с тем практика
показала, что обычно складываются два
основных вида многопартийности или партийной
системы: двухпартийные и многопартийные.
В случае двухпартийной системы две примерно
равные по весу в обществе партии, чередуясь,
поднимаются на вершину политической
власти. Продолжительность нахождения
партии на политическом Олимпе определяется
итогами всеобщих выборов. Двухпартийная
система не исключает существования в
стране других партий. Она лишь подчёркивает,
что реальным правом на формирование органов
государственной власти обладают только
две партии, только они в ходе предвыборного
состязания определяют, кто в течение
нового срока будет держать в руках рычаги
власти. Типичными странами с двухпартийной
системой являются США, где конкурируют
демократическая и республиканская партии,
и Великобритания, где основными противниками
в политической борьбе являются лейбористы
и консерваторы. При этом и в той и в другой
стране есть другие мелкие партии, которые
часто самостоятельно выступают на выборах,
некоторые из них представлены в парламенте,
но существенного влияния на политическую
жизнь страны они не оказывают. Многопартийную
систему отличает не столько количество
партий, сколько предоставление реальной
возможности каждой из них при благоприятном
исходе всеобщего голосования участвовать
в формировании органов государственной
власти. Отсутствие партии – лидера ведёт
к тому, что вмешательство в спор за места
в парламенте нескольких партий не даёт
ощутимого преимущества ни одной из них.
Отсюда – типичная для многопартийной
системы политика союзов, альянсов, блоков,
обеспечивающих временное соглашение
между партиями, необходимое для формирования
правительства, создания коалиции в парламенте.
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИНЯТИЯ КОЛЛЕКТИВНЫХ
РЕШЕНИЙ (ГОЛОСОВАНИЕ)
2.1. Основные
понятия отношений порядка
Множество
A, состоящее из элементов и b, обозначается
. Так как , то множество называется
неупорядоченной парой элементов
и b. С другой стороны, для элементов
и b существует множество , которое называется
упорядоченной парой элементов ,b и удовлетворяет
свойству:
в том
и только том случае, если и
.
В общем
случае для любого натурального
числа n и любых элементов существует
множество , которое называется упорядоченным
набором n элементов и удовлетворяет свойству:
= в том
и только том случае, если , …
и .
Основные
действия над бинарными отношениями
1. Теоретико-множественные
операции: для бинарных отношений,
как для множеств, определены
действия сравнения, объединения, пересечения
и вычитания.
2. Обращение
бинарных отношений: обратным для
бинарного отношения называется
бинарное отношение , которое определяется
по формуле:
3. Композиция
бинарных отношений: композицией
бинарных отношений и называется
бинарное отношение , которое определяется
по формуле:
и для
некоторого bB}.
В частности,
для отображений , композиция является
отображением множества A в множество
C, которое каждому элементу aA ставит
в соответствие единственный
элемент множества C. Композиция называется
также сложной функций, полученной в результате
подстановки функции в функцию .
Отметим,
что иногда для обозначения
композиции отображений используется
правосторонняя запись , при которой
для любого элемента aA выполняется
равенство: .
В случае
A=B подмножества декартова квадрата
называются также бинарными отношениями
на множестве A. Пример бинарного
отношения на множестве A дает
тождественное отношение на этом
множестве, которое обозначается
символом и состоит из всех
таких упорядоченных пар , что и . Легко
видеть, что для любого бинарного отношения
на множестве A выполняются равенства
, т.е. тождественное отношение является
нейтральным элементом относительно композиции
бинарных отношений на множестве A.
2.2. Модели
коллективного выбора
Человек
по своей сути и природе
существо социальное, т.е. для него
огромное значение играет общество
других людей. С ними он должен
каким – то образом взаимодействовать
и, неизбежно, согласовывать свои
решения. Человечество издавна задумывалось
о путях и методах принятия коллективных
решений, которые бы максимально точно
отражали (агрегировали) индивидуальные
предпочтения всех членов некоторой группы.
Из жизнеописаний
Плутарха известны примеры процедур
принятия коллективных решений,
использовавших еще в IX в. до н.э. В письмах
Плиния Младшего обсуждаются возможности
манипулирования4 при голосовании. Начало
серьезных математических исследований
по теории голосования можно отнесли лишь
к концу XVIII в., когда два члена французской
академии, Кондорсе и Борда, опубликовали
свои работы на эту тему. Французский математик
маркиз де Кондорсе впервые сформулировал
фундаментальную проблему демократического
волеизъявления. В 1785 году он опубликовал
«Эссе о применении анализа к вероятности
решений большинства», в котором сформулировал
«парадокс Кондорсе» индивидуальные предпочтения
большинства (например, избирателей) не
всегда воплощаются в аналогичные коллективные
решения (например, в результате выборов).
Более того, Кондорсе построил замечательный
пример, который показал, что самое известное
правило простого большинства (мажоритарное
правило) может приводить к неразрешимым
парадоксам.
Полученный
результат, названный в честь
ученого парадоксом Кондорсе (или
парадоксом голосования) стимулировал
значительное число исследований, нацеленных
на получение новых правил агрегирования,
которые бы позволили избежать таких несостоятельных
ситуаций.
Правило
относительного большинства.
При
мажоритарной системе относительного
большинства для победы на
выборах кандидату необходимо набрать
больше голосов избирателей, чем каждый
из остальных кандидатов, пусть даже за
него проголосовало менее половины избирателей.
Правило
Борда.
Каждый
выборщик объявляет свои предпочтения,
ранжируя «p» кандидатов от
лучшего к худшему (безразличие запрещается).
Кандидат не получает очко за последние
место, получает одно очко за предпоследние
и так далее, получает «p-1» очков за первое
место. Побеждает кандидат с наибольшей
суммой очков.
Определение
15. Правилом голосования называется
отображение S, ставящее в соответствие
каждому профилю предпочтений непустое
подмножество S() множества альтернатив,
где
=1,…,n
Аксиома
1 (монотонность). Пусть имеются два
профиля предпочтений и и две
альтернативы x и y, удовлетворяющие
следующему условию:
если xiy,
то xiy для любого i и для любых y,zx
и любого i отношение ziy выполняется
тогда и только тогда, когда ziy
.
Тогда
из отношения xS() следует отношение
xS().
Аксиома
2 (нейтральность). Пусть – перестановка
на множестве альтернатив и
профили предпочтений и удовлетворяют
условию:
для
любого i отношение xiy выполняется тогда
и только тогда, когда (x)i(y).
Тогда
включение xS() равносильно включению
(x)S().
Теорема
Эрроу (1951, 1963)