Методы и модели отношения инвесторов к риску

Коэффициент абсолютной не склонности к риску называют мерой Эрроу-Пратта (Arrow-Pratt). Для небольших значений риска он показывает величину компенсации, которую требует инвестор за принимаемый риск. Он равен:

А = -U``(w)/ U`(w)    (1.1)

где А – коэффициент абсолютной не склонности к риску;

U`(w) – первая производная функция полезности, и U`(w)≠0;

U``(w) – вторая производная функция полезности.

Первая производная функции в некоторой точке определяет наклон кривой в этой точке, вторая производная - изменение наклона кривой в этой точке. Таким образом, коэффициент А представляет собой относительное изменение наклона функции полезности в каждой данной точке, т.е. изменение наклона кривой при изменении уровня богатства на небольшую величину, деленное на величину наклона кривой в этой точке. Поскольку предельная полезность инвестора не склонного к риску является величиной убывающей, то вторая производная функции полезности отрицательна. Поэтому, чтобы сделать коэффициент не склонности к риску величиной положительной, в формуле (1.1) ставим знак минус. Чем больше значение второй производной (по абсолютной величине), тем выпуклее функция. Поэтому большее значение коэффициента характеризует большую не склонность инвестора к риску[9, c.46].

Если по мере роста богатства инвестор направляет все больше средств в рискованные активы, то он характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонности к риску. Если сумма средств, размещаемых в рискованные активы, остается неизменной, его коэффициент является постоянным. При уменьшении инвестиций в рискованные активы по мере роста богатства коэффициент является возрастающим.

Между премией за риск Марковца для небольших значений риска и коэффициентом абсолютной не склонности к риску можно установить определенную зависимость. Пусть инвестор располагает богатством w0 и приобретает на него рискованный актив S (величина w0 = S), ожидаемый доход которого равен нулю. Полезность, соответствующая такой стратегии инвестора, равна:

U(w0+s)    (1.2)

В выражении (1.2) величину s следует понимать как случайную переменную (доход по активу), которая может принести как положительный, так и отрицательный результат к его начальному богатству w0. Таким образом, полезность является функцией текущего уровня богатства и случайной переменной, определяющей доход актива.

Разложим выражение (1.2) в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до слагаемого второй степени:

       (1.3)

Возьмем математическое ожидание от обеих частей выражения (1.3):

или

         (1.4)

В правой части выражения (1.4) второе слагаемое равно нулю, поскольку нулю равен ожидаемый доход актива, т.е. E(s) = 0. В третьем слагаемом элемент E(s²) представляет собой не что иное как , т.е. дисперсию дохода актива S. Поэтому выражение (1.4) принимает вид:

       (1.5)

Пусть гарантированной эквивалентной суммой для ожидаемого дохода рискованного актива S выступает величина (w0-z), где z можно рассматривать как сумму страховки, которую готов уплатить инвестор, чтобы исключить риск. Полезность данной суммы для инвестора равна:

U(w0-z)       (1.6)

Разложим выражение (1.6) в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до первых двух слагаемых:

    (1.7)

Величина (w0 - z) является для инвестора гарантированной эквивалентной суммой ожидаемого дохода рискованного актива S. Поэтому ожидаемая полезность владения активом и полезность гарантированной эквивалентной суммы равны, т.е.:

В результате можно приравнять выражения (1.5) и (1.7):

или

или    (1.8)

Представленные выше рассуждения можно рассматривать и как вывод коэффициента абсолютной не склонности к риску. Так, величина z представляет собой разность между начальным богатством инвестора w0 и уровнем богатства, соответствующим гарантированной эквивалентной сумме - обозначим ее через wc. Поэтому, z = w0 - wc. Данная величина измеряет абсолютную не склонность инвестора к риску. Чем она больше, тем менее он склонен к риску, поскольку в этом случае рискованный актив должен предложить ему более значительный ожидаемый доход по сравнению с величиной wc, чтобы он был безразличен в выборе между рискованным активом и гарантированной эквивалентной суммой. В выражении (1.8) для каждого данного рискованного актива сомножитель является постоянной величиной. Поэтому абсолютную не склонность риска инвестора можно измерить отношением второй и первой производной его функции полезности, т.е.: . Можно также отметить, что если функции полезности инвесторов отличаются только на некоторую константу, то их коэффициенты абсолютной не склонности к риску будут одинаковыми, поскольку такие функции имеют одинаковые производные [20, c.54].

Коэффициент, обратный коэффициенту Эрроу-Пратта называют коэффициентом допустимости риска. Он равен:

Еще одной мерой не склонности инвестора к риску является относительный коэффициент не склонности к риску Эрроу-Пратта. Его можно рассматривать как отношение абсолютной величины не склонности к риску инвестора к его начальному богатству. Получим формулу данного коэффициента на основе рассуждений, которые были использованы применительно к выводу коэффициента абсолютной не склонности к риску.

Для начального уровня богатства w0 и гарантированной эквивалентной суммы wc абсолютную не склонность к риску мы обозначили как z = w0-wc. Поэтому относительная не склонность к риску есть величина (z') равная:

    (1.9)

т.е. это отношение абсолютной величины не склонности к риску к начальному уровню богатства. Величина z' есть не что иное как премия за риск, представленная как превышение доходности рискованного актива над ставкой без риска. Выразим из (1.9) абсолютную не склонность к риску:

z=w0/z`     (1.10)

Доходность, приносимая рискованным активом rs, равна:

rs =s/w0     (1.11)

Выразим из (1.11) доход по активу:  

s = w0rs     (1.12)

Выше мы записали равенство:

Подставим в него значения z и s из (1.10) и (1.12):

   (1.13)

Разложим величину U(w0 + w0rs) в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до слагаемого второй степени:

Возьмем математическое ожидание от этого выражения:

или

или

   (1.14)

В правой части выражения (1.14) второе слагаемое равно нулю, поскольку E(s) = 0 И, следовательно E(rs)=0. В третьем слагаемом элемент Е(rs²) представляет собой не что иное как , т.е. дисперсию доходности актива S. Поэтому выражение (1.14) принимает вид:

     (1.15)

Разложим выражение U(w0 - w0z') в ряд Тейлора в окрестности точки w0 до первых двух слагаемых:

   (1.16)

На основе равенства (1.13) приравняем правые части выражений (1.14) и (1.15):

или

или

    (1.17)

В выражении (1.17) сомножитель является постоянной величиной. Поэтому относительную не склонность риска инвестора (R), опустив коэффициенты при параметре w, можно определить как:

   (1.18)

Коэффициент абсолютной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при абсолютном изменении богатства инвестора. В свою очередь, коэффициент относительной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при процентном изменении богатства инвестора. Соответственно для коэффициентов абсолютной и относительной не склонности к риску получим результаты:

Если функция полезности характеризуется убывающей не склонностью к риску, то для нее А' < 0. Это означает, что по мере роста богатства инвестор все больше средств направляет в рискованные активы. При постоянном значении не склонности к риску А' = 0, и, следовательно, при росте богатства инвестор держит прежнее количество средств в рискованных активах. Для функции полезности с возрастающим коэффициентом не склонности к риску А' > 0, поэтому с ростом богатства инвестор уменьшает количество средств в рискованных активах[23, c.174].

Если функция полезности характеризуется убывающей относительной не склонностью к риску, то для нее R' < 0. Следовательно, инвестор увеличивает пропорцию средств в рискованных активах по мере роста его богатства. При постоянном значении относительной не склонности к риску Д' = 0. Поэтому процент средств, инвестированных в рискованные активы, остается неизменным. Для функции полезности с возрастающим коэффициентом относительной не склонности к риску R' > 0. В этом случае процент инвестированных в рискованные активы средств уменьшается с ростом богатства.

2. Методы оценки отношения инвесторов к риску

2.1. Степень толерантности

 

Толерантность к риску - показатель или совокупность показателей, отражающих уровень риска, приемлемый для данного человека. На толерантность к риску влияют система ценностей человека, его финансовые и жизненные цели, его прошлые достижения и неудачи, умение переносить стресс, ощущение уверенности в себе, желание контролировать ситуацию и даже некоторые особенности его нейрофизиологии [12, c.66].  

Основанием для использования количественного значения толерантности инвестора к риску при формировании его инвестиционного портфеля является взаимосвязь риска и доходности - одна из самых важных и наименее противоречивых концепций в финансах. В самом простом приближении при составлении портфеля рассматриваются два основных класса финансовых инструментов на рынке: акции, традиционно считающиеся более рискованными, и облигации, менее рискованные.

Предполагается, что так или иначе измеренная толерантность инвесторов к риску r находится в диапазоне значений от -X (самые консервативные) до X (самые агрессивные). Тогда для каждого инвестора доля акций в его портфеле будет составлять w акций = f(r), а доля облигаций будет равна w облигаций = 1 - f(r). При этом функция соответствия доли различных классов активов и толерантности к риску должна быть монотонно возрастающей и принимать значения f(-X) = 0 и f(X) = 1. В этом случае наиболее консервативные инвесторы получат портфель, состоящий на 100% из облигаций, а наиболее агрессивно настроенные - на 100% из акций.

Каким бы простым не казался подобный подход, в настоящее время именно по такой схеме работает подавляющее большинство управляющих компаний и финансовых консультантов (financial planners). Основная разница между компаниями заключается в том, какие именно фонды или комбинации фондов из своей линейки продуктов предлагаются инвестору в качестве эквивалентов тех или иных классов активов. Тот же Fidelity Investments для клиента с капиталом 100 тыс. долл., измеренным значением толерантности к риску r = Y и долей акций в портфеле wакций = f(Y) = 0,6, предложит комбинацию из более чем 50 своих фондов акций на 60 тыс. долл., а оставшиеся 40 тыс. долл. разместит среди фондов корпоративных и государственных облигаций.  Таким образом, основными компонентами процесса, именуемого в западной терминологии risk profiling, являются собственно метод оценки толерантности к риску и выбор функции f, связывающей измеренное значение толерантности к риску с характеристиками инвестиционного портфеля [11, c.277].

Методы оценки толерантности к риску можно разделить на два типа:

1) последовательный  выбор между парами альтернатив, каждая из которых характеризуется  величиной прибыли или потерь и вероятностью данного исхода.

2) Вопросники служат  основным инструментом оценки  толерантности к риску в индустрии  управления активами. Типичный вопросник  имеет не менее 10, но не более 25 вопросов. В нем могут присутствовать  вопросы самых различных типов.

Значение толерантности к риску не сообщается инвестору, однако, предсказуемым образом меняя в ответах значения временных горизонтов и мотивы поведения при падении рынка, можно при завершении вопросника легко получить любую пропорцию акций и облигаций в рекомендованном портфеле. Отсюда не трудно определить значимость каждого из вопросов и примерную схему соответствия значений ответов итоговому рекомендованному распределению активов по классам.

Процесс заполнения вопросника и в общем-то тривиальность рекомендаций оставляют сомнения по поводу того, насколько серьезно инвестор может отнестись в данном случае к процессу измерения его толерантности к риску.

При всех недостатках вопросников, используемых финансовой индустрией для оценки толерантности к риску, следует отметить их неоспоримую ценность для потенциального инвестора как образовательного инструмента.

Для увеличения и улучшения образовательной функции вопросников, оценивающих толерантность к риску, лучше всего использовать графические средства, например такие, как визуализация распределения доходности. В этом случае наглядная картина позволяет инвестору достаточно интуитивно сравнивать различные уровни доходности, оценивая при этом вероятность реализации этих значений [26, c.16].

Прежде чем переходить к анализу возможности применения оценки толерантности к риску российскими инвесторами, хочется упомянуть о некоторых современных направлениях развития методов оценки толерантности к риску, а также использования полученной информации при формировании портфеля и риск-образования инвесторов.

 

2.2. Личностные факторы, влияющие  на степень риска при принятии  решения

 

Отношение людей к риску и их поведение в условиях рисковой ситуации может быть совершенно различным и оно зависит, в частности, от тех внешних обстоятельств, с которыми люди сталкиваются.

Внешние обстоятельства могут привести человека к несколько иной форме поведения, чем это было бы обусловлено исключительно его отношением к риску. Поэтому полезно прогнозировать отношение людей к тому или иному риску. И, если это возможно, то лучше исключить привлечение к определенной работе таких людей, которые слишком рискуют в опасных ситуациях, а также исключить использование людей, которые избегают риска в ситуациях, когда некоторый риск необходим. Прогнозирование поведения людей в рисковых ситуациях обеспечивает их безопасность, а работодателям приносит дополнительную прибыль.