Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения»

- Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число e.

- Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

- Решение логарифмических уравнений и неравенств.   [15], [19]

 

В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен уметь:

• решать рациональные, показательные и логарифмические  уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

• доказывать несложные  неравенства;

• решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

• изображать на координатной плоскости множества решений  уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

• находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

• решать уравнения, неравенства  и системы с применением графических  представлений, свойств функций, производной.

Использовать приобретенные  знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Требования к подготовке школьников, изучающих математику по программе базового уровня, не предусматривают детального изучения логарифмических уравнений; от учащихся требуется умение решения простейших логарифмических уравнений, в большинстве случаев без глубокого анализа полученного ответа.

В целом, содержание материала  темы «Логарифмические уравнения» на базовом и профильном уровнях  остается практически одинаковым, однако глубина изучения материала на этих уровнях существенно различается.

 

§ 2.  Примерное  распределение времени на изучение темы «Логарифмические уравнения»

В данном параграфе приведены  примеры распределения времени на изучение логарифмических уравнений для профилей, в которых математика не является профилирующим предметом (варианты I и II), и для профилей, в которых математика является профилирующим предметом (варианты III и IV). В зависимости от уровня подготовки класса, и при наличии дополнительных учебных часов учитель вносит коррективы в учебное планирование.

 

С. М. Никольский (10 класс)

I - 2,5 часа в неделю, всего 85 часов.

II - 3 часа в неделю, всего 102 часов.

III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.

Название темы	Количество часов по вариантам
	I	II	III	IV
Логарифмические уравнения	2	2	2	3

 

А. Н. Колмогоров (11 класс)

I – 2 часа в неделю в первом полугодии, всего 86 часов,

     3 часа в  неделю во втором полугодии.

II - 3 часа в неделю, всего 102 часа.

III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.

Название темы	Количество часов по вариантам
	I	II	III
Решение логарифмических  уравнений и неравенств	4	5	5

 

А. Г. Мордкович (11 класс)

3 часа в неделю, всего  102 часа.

Название темы	Количество часов
Логарифмические уравнения	3

 

 

Н. Я. Виленкин (11 класс)

5 часов в неделю, всего 170 часов.

Название темы	Количество часов
Логарифмические уравнения	6

 

[10], [17], [20]

 

§ 3. Сравнительный анализ содержания школьных учебников по теме

Логико-дидактический  анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.

Логический анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение «ядерного» материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.

Проведём логико-математический анализ темы «Логарифмические уравнения» в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:

• какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;
• какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;
• какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;
• какие задачи приводятся в задачном материале пункта.

В рассматриваемых учебниках  исследуемой теме отводится разное место. Так, в учебнике А. Н. Колмогорова [5] тема «Логарифмические уравнения» изучается в десятом параграфе пункт 39 главы «Показательная и логарифмическая функции». В учебнике С. М. Никольского [4] она изучается в шестом параграфе пункт 6.2 главы «Корни, степени, логарифмы». В учебнике Н. Я. Виленкина [1] во втором параграфе пункты 3-4 главы «Показательная, логарифмическая и степенная функции». А в учебнике А. Г. Мордковича [2] данная тема изучается в пятьдесят втором параграфе главы «Показательная и логарифмическая функции».

 Проанализируем пункты  этих учебников в отдельности.

В учебнике А. Н. Колмогорова  тема «Логарифмические уравнения» объединена с логарифмическими неравенствами  в пункте «Решение логарифмических  уравнений и неравенств». Сразу (без  определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что его решением является . Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.

 

В учебнике С. М. Никольского тема «Логарифмические уравнения» выделена отдельным пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:

«Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение

называют простейшим логарифмическим уравнением ».

 далее в параграфе  рассматриваются различные примеры решения уравнений.

 

В учебнике Н. Я. Виленкина  данная тема разбита на два пункта и рассматривается одновременно с логарифмическими неравенствами:

1. «Простейшие логарифмические уравнения и неравенства», где вводится понятие логарифмического уравнения, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:

«Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , . Так как равенство равносильно равенству , то получем:

Если , то корень уравнения равен ».

2. «Решение логарифмических уравнений и неравенств», где формулируется теорема:

Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

Даётся краткий алгоритм для решения логарифмических  уравнений:

Для решения  уравнения  при , нужно:

1) решить уравнение f(x)=g(x);

2) из найденных  корней отобрать те, которые удовлетворяют  неравенству f(x)>0 (или, то же самое, неравенству g(x)>0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Далее рассматриваются  примеры решения логарифмических  уравнений, но в данном учебнике они более сложные.

В учебнике А. Г. Мордковича тема «Логарифмические уравнения» выделена отдельным пунктом. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:

«Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

,

где a – положительное число, отличное от 1, и уравнения, водящиеся к этому».

 Сформулирована теорема:

Если  и , то логарифмическое уравнение (где , ) равносильно уравнению .

Выделяются три основных метода решения логарифмических  уравнений:

1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции (он был рассмотрен ранее при изучении свойств функции).

2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, изложенной в параграфе.

3) Метод введения новой переменной.

Все  методы решения  логарифмических уравнений рассмотрены  в данном параграфе на примерах, или в предыдущих параграфах.

 

Задачный материал включает: простейшие логарифмические уравнения, а также более сложные, содержащие в подлогарифмическом выражении квадратный трёхчлен и иррациональность, содержащие в основании дробные числа, выражения с переменной и иррациональность, дробные логарифмические уравнения, уравнения, содержащие логарифм в степени, логарифмические неравенства и системы уравнений. В учебниках Колмогорова и Мордковича выделены обязательные задания и задания повышенного уровня. Профильное различие заключается в количестве практического материала и в сложности предлагаемых заданий.

 

Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т. е. для физико-математических классов, больше всего подходит учебник       Н. Я. Виленкина, для общеобразовательных классов учебники С. М. Никольского и А. Г. Мордковича, для гуманитарных классов, в которых математика изучается по минимуму учебник А. Н. Колмогорова.

Специально разработанные  учебники по математике для разных профилей на данный момент ещё не получили широкого распространения, поэтому  при подготовке к уроку учитель пользуется несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе физико-математического профиля некоторые учителя пользуются одновременно учебниками А. Г. Мордковича и Н. Я. Виленкина, что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля.

 

 

 

§4. Модульная  карта изучения темы «Логарифмические уравнения»

1. Учебная цель: познакомить учащихся с логарифмическими уравнениями и способами их решения, научить решать логарифмические уравнения.
2. Блок информации: учебник
Урок 1. Решение логарифмических  уравне-ний (с использованием модульного обучения и лекционного метода.   Промежуточный контроль: Работа по карточкам, индиви-дуальная работа, самостоятельная работа, взаимоконтроль и взаимо-помощь. Проверка домашних дифференци-рованных работ.                                                                    Урок 2. «Подготовка к контрольной работе». Взаимоконтроль, выставление  рейтинговых оценок, самооценка.             Урок 3. Контрольная работа по теме: «Логарифмические уравне-ния». Промежуточный контроль: самоконтроль, взаимоконтроль, домашняя дифференцированная работа, контроль учащихся при выполнении заданий.	Содержание карточек. 1) Решите уравнения: , , , , ,                 на «3» , , . 2) Решите уравнения: , , , Найдите больший корень уравнения.  Решите уравнения:  на «4» , . 3) Решить уравнения: , , ,           на  «5» Самостоятельная работа  «Логарифмические уравнения».  Решить уравнения: На «3»: , , . На «4»: , , . На «5»: , , . На данном этапе решаются задания аналогичные заданиям в контрольной работе. Все задания поделены на три уровня. Со слабыми учениками  решение всех заданий осуществляется на доске. Учащиеся, имеющие более  высокие знания, решают самостоятельно, а затем проверяют своё решение по листу самоконтроля. Контрольная работа предполагает задания на «3», «4» и «5». Приведём примеры заданий: На «3»: Найти x, если: . Найти область определения функции: . Решите уравнение: На «4»: Найти x, если: . Найти область определения функции: . Решите уравнение: . На «5»: Найти x, если: . Найти область определения функции: . Решите уравнение: