Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения»

 

 

§5. Методические рекомендации к изучению темы «Логарифмические уравнения»

1. Физико-математический профиль

Цели: раскрыть понятие «логарифмическое уравнение»; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.

 

Урок 1 «Решение логарифмических уравнений».

Тему лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:

Простейшим логарифмическим  уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , .

Логарифмическая функция  возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция возрастает (или убывает) на промежутке , число - любое из значений, принимаемых на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень в промежутке . Отсюда следует, что для любого данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что является таким решением.

То есть если , , то корень уравнения равен .

Основной способ решения логарифмических уравнений – это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.

При решении логарифмических  уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.

Теорема: Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

(В этой системе  можно опустить одно из неравенств, так как каждое из них вытекает  из уравнения и другого неравенства).

Таким образом для решения уравнения при , нужно:

1) решить уравнение f(x)=g(x);

2) из найденных  корней отобрать те, которые удовлетворяют  неравенству f(x)>0 (или, то же самое, неравенству g(x)>0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Итак, логарифмическим  называется уравнение, содержащее неизвестную  величину под знаком логарифма.

Выделяют следующие основные методы решения логарифмических уравнений:

1. На основании определения логарифма.

Так решаются уравнения вида .

Приведём пример такого уравнения и решим его.

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ: .

По определению логарифма  имеем: (по формуле ).

Отсюда:

Проверка: - верно.

- верно.

Ответ:

 

2. Метод потенцирования.

Суть метода заключается  в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при , ) равносильно системе

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

Перенесём из правой части  в левую: , а из левой в правую: , получим:

Применим свойства логарифмов:

; .

Проверка:

1) ,    - корень.

2) - не существует.

Ответ: .

 

3. Метод подстановки.

Обычную замену (подстановку) производят после некоторых преобразований

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

Используя формулы, запишем  уравнение так:

, то есть  .

Заменяем  . Тогда , то есть .

Отсюда ,  .

Поэтому и .

Отсюда и

Сделав проверку можно  убедиться, что оба корня –  корни данного уравнения.

Ответ: , .

 

4. Метод приведения к одному основанию.

Обычно условие примера  подсказывает, к какому основанию  следует перейти. Используются формулы:

.

Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

, перейдём к основанию 2:

, то есть 

.

Обозначим . Тогда , то есть

,

.

Значит,     .

Ответ: .

 

5. Метод логарифмирования.

Обычно логарифмируют  уравнения вида . Поясним этот метод на примере.

Пример: Решить уравнение .

Решение:

Область допустимых значений переменной x дана в условии задания.

Логарифмируем по основанию 10:

, то есть

.

Обозначим . Тогда , то есть

   и  

Получаем:  и     и .

Ответ: , .

 

6. Графический метод.

Пример: Решить графически уравнение .

Решение:

ОДЗ:

В одной и той же системе координат строим графики  функций  и

 

 

Абсцисса точки пересечения  графиков функций  и равна примерно двум. Нетрудно проверить, что это точный корень данного уравнения.

Проверка:

Ответ: .

 

Домашнее задание можно предложить следующее: составьте опорный конспект по теме «Логарифмические уравнения».

Заполните следующую  таблицу:

Таблица «Методы решения логарифмических уравнений».

Виды логарифмических  уравнений	Методы решения	Примеры логарифмических уравнений

 

Решите примеры из заполненной таблицы.

 

Урок 2-3 следует начать с письменной проверки опорного конспекта (не более 10 минут). После чего можно предложить выполнить следующие задания.

Задание 1: Определите, каким методом следует решить уравнение.

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

Задание 2: Проверьте по листу самоконтроля, правильно ли вы определили метод решения.

Задание 3: Решите уравнения задания 1, используя правильный метод решения.

Задание 4: Осуществите взаимопроверку задания 3 по листу самоконтроля.

Задание 5: Тестовое задание: Решите предложенные уравнения и выберите правильный ответ из предложенных четырёх.

1)

а) 1; -5  б) -2; 1 в) -5; 4 г) 1.

2)

а) -2  б) 2  в)   г) -1.

3)

а) -5; 5  б) -5  в)   г) 5.

4)

а) 4; 8  б)   в) 2; 3 г) 8; 2.

 

Задание 6: Сдайте учителю на проверку ответы предложенных заданий.

Задание 7: Решите следующие уравнения, сложность которых оценена в баллах.

  (3),     (3),

  (4),    (4),

  (5).

  (5),

  (5).

Задание 8: Проверьте решение уравнений по листу самоконтроля, и в соответствии с набранными баллами поставьте себе оценку.

25–29 баллов – оценка  «5»,

20–25 баллов – оценка  «4»,

13–19 баллов – оценка «3».

Задание 9: Выполните предложенную самостоятельную работу, выбирая тот вариант, который вы решите сами (самостоятельная работа находится в модульной карте и рассчитана на три уровня: на «3», «4», «5»). [1], [2], [11]

 

В дальнейшем, при окончании  изучения темы «Логарифмические уравнения», необходимо рассмотреть уравнения с параметрами, которые  включаются в задания ЕГЭ, например: “Найдём все значения , при которых уравнение имеет единственный корень”.

 

При наличии времени  на уроках рекомендуется рассмотреть  так называемые «нестандартные уравнения». Приведём пример такого уравнения: “Решить уравнение ”.

 

2. Общеобразовательный и гуманитарный профиль

Для классов общеобразовательного профиля излагать тему можно аналогичным образом. При этом раскрываются подробно три основных метода решения логарифмических уравнений:

1. Функционально-графический метод.
2. Метод потенцирования.
3. Метод введения новой переменной.

Из-за уменьшения количества часов, выделяемых на изучение данной темы, остальные методы можно назвать для ознакомления учащихся, не уделяя им много времени.

На уроке должно больше внимания уделяться практической работе и решению более лёгких уравнений (чтобы лучше разобрались отстающие  ученики).

В гуманитарных классах  меньше внимания уделять теоретическому аспекту, нужно познакомить учащихся с тремя выше названными методами решения. Далее отрабатываются умения решать наиболее распространённые логарифмические уравнения.

Задания составляются с учётом уровня подготовки учащихся и требованиями стандарта образования.

 

§6. Использование компьютерных технологий при изучении темы «Логарифмические уравнения»

При объяснении темы «Логарифмические уравнения », во время раскрытия методов решения логарифмических уравнений можно воспользоваться мультимедийной программой «Математика. Решение уравнений и неравенств» [22]. Её курс построен на визуальном и фонематическом восприятии информации. На экране воспроизводится уравнение и его решение. Объяснение решения сопровождается при помощи звукового ряда и выделения основных моментов решения.

Современный учебно-методический комплекс «Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников» [21] предназначен для отработки умений решать различные типы уравнений, в том числе логарифмических. Он может служить для отработки навыков решения логарифмических уравнений, снабжён подсказками и ссылками на теоретическую часть.

 

 При помощи этой программы, используя компьютерное обеспечение, можно проводить уроки по отработке навыков решения уравнений. В данном случае учитель будет играть роль контроллера учебного процесса. Помощником при решении уравнений будет само программное обучение.

Обе программы содержат теоретический и практический материал.

Заключение

Данная выпускная квалификационная работа посвящена проблемам обучения математике в профильных классах.

Проделанная работа позволяет  сделать вывод о реальности возникающих  проблем при введении профильного  обучения в России, а также актуальности их решения на современном этапе развития общества.

Рассмотрев изучение темы «Логарифмические уравнения» в классах различных профилей, мы можем сделать вывод, что количества часов, отводимых на изучение конкретной темы, влияет на глубину и объём изучаемого материала, а также на методы его преподавания.

Проведён анализ методической литературы и школьных учебников  с точки зрения обучения решению  логарифмических уравнений в  профильных классах.