Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Января 2014 в 11:16, дипломная работа
Цель дипломного проекта – рассмотрение и описание функций одной и многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом.
Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных заведений. На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения. В дипломном проекте с большей логической стройностью и без повторений приведено изложение темы – функции одной и многих переменных, сообщены сведения из математического анализа, необходимые при изучении физики и ряда инженерных дисциплин.
1. Введение………………………………………………2
2. Историческая справка………………………………..3
3. Экстремумы функций одной переменной.
3.1. Необходимое условие……………………………5
3.2.1. Достаточное условие. Первый признак………7
3.2.2. Достаточное условие. Второй признак……….8
3.3. Использование высших производных………….10
4. Экстремумы функций трех переменных.
4.1. Необходимое условие…………………………...11
4.2. Достаточное условие…………………………….12
5. Экстремумы функций многих переменных.
5.1. Необходимое условие……………………………17
5.2. Достаточное условие…………………………….19
5.3. Метод вычисления критериев Сильвестера……22
5.4. Замечание об экстремумах на множествах…….31
6. Условный экстремум.
6.1. Постановка вопроса……………………………..33
6.2. Понятие условного экстремума…………………34
6.3. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума…………………………………..36
6.4. Стационарные точки функции Лагранжа………40
6.5. Достаточное условие…………………………….46
7. Заключение……………………………………………51
8. Библиография..………………………………………..53
Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):
1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).
2.Вычсляем вторую производную, и каждую
стационарную точку х0 подвергаем
испытанию:
Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.(Например, как для функции y=x3,так и для функции y=x4,вторая производная обращается в нуль в точке х=0, но первая из них не имеет экстремумов в точке х=0, а вторая имеет в ней минимум).
Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.
3.3.Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.
Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0) R, определенная в окрестности U(x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно (n>1).
Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0 , то при n нечетном в х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)(x0)>0 , и строгий локальный максимум, если f (n)(x0).
Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора
f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n (3.2)
где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде
f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3)
Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак fn(x0),когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и,следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f(n)(x0) :
4.Экстремумы функций трех переменных.
4.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z0) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x0- ,x0+ , y0- ,y0+ ,z0- ,z0+ )
что бы для всех точек
этой окрестности выполнялось
f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0,y0,z0) выполнялось строгое неравенство
то говорят, что в точке (x0,y0,z0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0,y0,z0) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
fx’(x0,y0,z0), fy’(x0,y0,z0) ,fz’(x0,y0,z0)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим y= y0,z= z0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :
v=f(x, y0,z0)
Так как мы предположили, что в точке (x0,y0,z0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- ,x0+ ) точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство
f(x, y0,z0)<f(x0,y0,z0)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx’(x0,y0,z0)=0
Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx’(x,y,z)=0
fz’(x,y,z)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
4.2.Достаточное условие экстремума.
Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.
Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x0,y0,z0), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям
fx’(x0,y0,z0)=0,fy’(x0,y0,z0)
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0,y0,z0) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности
= f(x,y,z)- f(x0,y0,z0)
Разложим ее по формуле Тейлора,
= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3 ’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi xj
где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке
(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (0<0<1)
Введём и здесь значения
fxixj ’’ (x10,x20,…,xn0)=aik (i,k=1,2,…,n) (4.2)
так что
fxixj ’’ (x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn)= aik+ ik
и
ik 0 при x1 0,…, xn 0 (4.3)
Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik xi xk+ ik xi xk} (4.4)
На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1,…, xn. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.
В высшей алгебре квадратичную форму
от переменных y1,…,yn называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:
a11 a12 a11 a12 a13
a11>0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,
Так как определенная
отрицательная форма с
a11 a12 a11 a12 a13
a11>0, a21 a22 a21 a22 a23 >0
a31 a32 a33
Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0,y0,z0) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей
точку М(x0,y0,z0), функция
f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные
до второго порядка включительно; пусть
кроме того, точка М(x0,y0,z0)
является критической точкой функции
f(x,y,z), т.е.
f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0)
--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0
x y z
Тогда при x=x0,y=y0,z=z0 :
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
---------------<0 , ------------------------------
x2
x2
y2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------- ------------------------------
x2
x2
z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- ------------------------------
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------
x z y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
+ --------------- ------------------------------
x z x y y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------
x z y2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------->0 , ------------------------------
x2
x2
y2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------- ------------------------------
x2
x2
z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- ------------------------------
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------
x z y z