Экстремумы функций

d²g(x⁽⁰⁾ )=           -----------dx_jdx_k +       ----------- d²x_j =0         (6.39)

                      x_j   x_k                             x_j

i=1,2,…,n

 

   Умножив i–е  равенство (6.39) на постоянную  _i, входящую в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившееся выражение к правой части равенства (6.38) ; тогда получим

                                ²F(x⁽⁰⁾ )                         F(x⁽⁰⁾ )                               

d²g(x⁽⁰⁾ )=           -----------dx_jdx_k +       ----------- d²x_j          (6.38)

                      x_j   x_k                             x_j

 

где dx_i, i=1,2,…,n удовлетворяет системе уравнений (6.35).Поскольку x⁽⁰⁾ точка стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в нуль, и тем самым формула (6.37) доказана.

Будем говорить, что квадратичная форма d²F(x⁽⁰⁾ ) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx_i, i=1,2,…,n, при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений (6.35), если для любых dx_i, i=1,2,…,n , удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что     (dx_i)²>0  выполняется неравенство d²F(x⁽⁰⁾ ) >0 (соответственно d²F(x⁽⁰⁾ ) <0)

Пусть точка x⁽⁰⁾ удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁,…,dx_n, при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из (6.36) и (6.37) следует, что x⁽⁰⁾  является стационарной точкой для функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x⁽⁰⁾  является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx_m+1,…,dx_n, и, следовательно, функция имеет в точке x⁽⁰⁾ строгий минимум (максимум) , а значит, функция f₀(x) имеет в точке x⁽⁰⁾ условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи (6.3).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6.3: Если x⁽⁰⁾ удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.11) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁,…,dx_n при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x⁽⁰⁾ является точкой строгого минимума (максимума) для функции f относительно уравнений связи (6.3).

Таким образом, чтобы  исследовать стационарную точку  функции Лагранжа (6.11) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму (6.37), т.е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3) (когда дифференциалы dx_i, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6.29)).При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательно) определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым , конечно, и при их выплнении.

.

 

7.Заключение.

 

 

Математический анализ это совершенно естественная, простая  и элементарная наука, ничуть не более  заумная, сложная или “высшая”, чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие  в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов  математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования – изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывввать, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики.

При этом следует  иметь в виду, что если освоены  лишь самые основы математического  анализа, можно уже делать попытки  подобраться ко многим современным  проблемам.

При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоритические сведения подтвердились практическим доказательством и математическим обоснованием.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Библиография.

 

1.А.Ф.Бермант,  И.Г.Араманович Краткий курс математического  анализа.-М.: Наука, 1973.

2.И.Е.Жак Дифференциальное  исчисление.-М.:Государственное учебно-педагогическое  издательство министерства просвещения  РСФСР, 1960.

3.Г.И.Запорожец  Руководство к решению задач  по математическому анализу.-М.: Высшая  школа,1966.

4.В.А.Зорич Математический анализ.-М.: Наука, 1981.

5.А.П.Картышев, Б.Л.Рождественский Математический  анализ.-М.: Наука, 1984.

6.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций  и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.

7.Л.Д.Кудрявцев  Курс математического анализа.-М.: Высшая школа, 1981.

8.А.Г.Моркович, А.С.Солодовников Математический  анализ.-М.: Высшая школа, 1990.

9.Н.С.Пискунов  Дифференциальное и интегральное  исчисление. т.1.-М.: Наука, 1978.

10.К.А.Рыбников  История математики.-М.:Издательство  Московского университета, 1994.

11.В.М.Тихомиров Рассказы  о максимумах и минимумах.-М.:Наука, 1986.

12.Г.М.Фихтенгольц  Основы математического анализа.  т.2.-М.: Наука, 1968.

13.Г.М.Фихтенгольц  Курс дифференциального и интегрального  исчисления. т.1.-М.: Наука, 1969.