Экстремумы функций

 

5.3.Метод вычисления  критериев Сильвестера.

 

Применение критерия Сильвестера для определения  экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей  порядка. Рассмотрим один из возможных  методов диагонализации матриц и  соответственно получения треугольных определителей.Метод основан на последовательном понижении порядка определителя. При этом :

1.На каждом этапе  понижения порядка определителя, удобная для применения вычислительной  техники.

2.Получаемые в результате  диагональные элементыопределителей являются элементами критерия Сильвестера и позволяют, так сказать, в «ходе вычисления» вести контроль знакоопределенности квадратичной формы.

В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей.

1.Известно, что

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

 

Впредь замена любого определителя второго порядка       элементом a₁₁ назовем «сверткой» определителя.

2.Определитель порядка не изменится,  если элементы какой-либо строки  умножить (разделить) на какое-либо  число, не равное нулю, и сложить  (вычесть) с элементами другой строки.

Итак, рассмотрим определитель n-го порядка, составленный из вторых частных производных  некоторой функции n– переменных f(x₁,x₂,…,x_n).

Положим a_ik= f_xixk ’’  .Имеем

                                                 a₁₁ a₁₂… a_1n      

                                                             _{…………………}                     (5.9)

                                                                           a_n1 a_n2… a_nn

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_21/ a₁₁ и вычтем их из элементов второй строки.

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_31/ a₁₁и вычтем их из элементов третьей строки. …

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_n1/ a₁₁ и вычтем их из элементов последней строки.

Выполнив последовательно эти  операции, получим

                              a₁₁       a₁₂                    …   a_1n

0    a₂₂- a₁₂ a_21/ a₁₁… a_2n -a_1n a_n1/ a₁₁

                                            _{………………………………………………………}                   (5.10)

0  a_n2- a₁₂ a_n1/ a₁₁… a_nn- a_1n a_n1/ a₁₁

 

Умножим каждую строку в (5.10), начиная со второй на a₁₁,при этом определитель (5.10) умножится на a₁₁^n-2

                                              1

                        -----------                                                (5.11)

                            a₁₁^n-2

  где

 a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁     a₁₁ a₂₃- a₁₃ a₂₁ … a₁₁ a_2n- a_1n a₂₁  

  a₁₁ a₃₂- a₁₂ a₃₁     a₁₁ a₃₃- a₁₃ a₃₁ … a₁₁ a_13n- a_1n a₃₁

…………………………………………………           (5.12)

a₁₁ a_n2- a₁₂ a_n1     a₁₁ a_n3- a₁₃ a_n1 … a₁₁ a_nn- a_1n a_n1

 Рассмотрим более внимательно элементы (5.12). Перепишем (5.12) в виде

                                                 a₁₁ a₁₂   … a_1n-1

                                                 a₂₁ a₂₂  …  a_2n-1     

                                                             _{…………………}                                (5.13)

                                                          a_n-11 a_n-12… a_n-1n-1

Из сравнения (5.12) и(5.13) видно, что

a₁₁ – есть свертка определителя   a₁₁ a₁₂

                                                         a₂₁ a₂₂

                   

                      a₁₂ – есть свертка определителя     a₁₁ a₁₃

                                                          a₂₁ a₂₃

…………………………………………………………..

a_1n-1 – есть свертка определителя   a₁₁ a_1n

                                                         a₂₁ a_2n

.

Таким образом, первая строка   _1n-1 является сверткой элементов первых двух строк определителя     _n. Более наглядно это можно сфрмклировать так : последовательно каждый «прямоугольник» элементов первой и второй строк заменяется его сверткой ; причем первые элементы двух строк «участвуют» во всех прямоугольниках этих строк.

a₁₁     a₁₂       a₁₃…      a_1n

a₁₁     a₁₂         a_1n-1

a₂₁     a₂₂        a₂₃…       a_2n

Аналогично вторая строка определителя   _n-1 является сверткой элементов первой и третьей строк исходного определителя.

a₁₁     a₁₂       a₁₃…      a_1n

a₂₁     a₂₂         a_2n-1

a₃₁     a₃₂        a₃₃…       a_3n

 

Наконец для последней  строки   _n-1 имеем

                        a₁₁       a₁₂            a₁₃…      a_1n

      a_{n-1 1}     a_{n-1 2}         a_n-1n-1

    a_n1        a_n2             a_n3…       a_nn

 

Если теперь применить те же опервции к определителю                     _n-1, т. е. к (5.13), получим

                                       1

a₁₁^n-3              (5.14)

где

                                                 a₁₁         a₁₂   … a_{1 n-2}

                                                 a₂₁       a₂₂  …  a_{2 n-2}     

                                                             _{……………………………..}              

                                                        a_{n-2 1}    a_{n-2 2}… a_{n-2 n-2}

 

 а элементы a_ik являются сверткой соответствующих определителей – прямоугольников.

Очевидно, повторяя эту  операцию n–1 раз, получим следующую  формулу, предварительно введя более простые обозначения :

a₁₁ = a₁– левый угловой верхний элемент

 

a₁₁ = a₂ – левый угловой верхний элемент

 

a₁₁ = a₃ – левый угловой верхний элемент

…………………………………………

 

a₁₁ = a_n – левый угловой верхний элемент.

С учетом этого

 

                                            a_n

a₁^n-2 a₂^n-3… a_n-1            (5.15)      n>2

 

Пример №1.

 

2  1  5  3

0  4  7  2     1     2*4-1*0  2*7-5*0  2*2-3*0     1     8   14   4

5  6  3  1     2²    2*6-5*1   2*3-5*5   2*1-5*3     2²   7 –19 -13

0   2  1  3          2*2-0*1   2*1-5*0   2*3-3*0            4   2    6

 

4    7     2 

7 –19 –13    1   4*(-19)-7*7   4*(-13)-2*7   1   -72-49  -52-14

2    3     1     4    4*1-2*7         4*3-2*2         4   -10        8

 

   1  -121  -66    1    -121   -66      1

   4    -10    8      2       -5       4      2 (-121*4-66*5)= -121*2-33*5=

= -242 –165= -407

 

Пример №2.

 

3. 0  2  1  5
0. 4  1  3  6      1  3*4-0*0  3*1-2*0  3*3-0*1  3*6-5*0    
1. 2  3  5  1     3³  3*2-5*0  3*3-5*2  3*5-5*1  3*1-5*5
0. 3  4  0  6           3*3-2*0  3*4-2*2  3*0-2*1  3*6-2*5

1  2  3  4  5           3*2-1*0  3*3-1*2  3*4-1*1  3*5-1*5

 

 

 

       12   3    9    18                  -30   66    -264-108             

  1     6  –1  10  -22     1            69   -105   96-162   

  3³   9    8   -2     8      3³*12²   66    78     120-108    

        6     7    11  10

                        

               -30    66    -372                        30*105-66*69  30*66+69*372

   1           69    -105  -66     1                 -30*78-66*66  -30*12+66*372

   3³*12²  66     78      12    3³*12²*(-30)

 

1                    3150-4554    1980+25668   1                     -1404  27648

3³*12²*(-30)  -2340-4356   -360+24552     3³*12²*(-30) –6696  24192

 

-1404*24192+6696*27648         33965568-182476800-2654208

          3³*12²*(-30)                                  3³*12²*30

31311360-182476800        15116544        15116544

           3³*12²*30                    3³*12²              3888

 

=3888

 

Вычесленные в порядке  получения определителий                _n,  _n-1, …,   ₂   их верхние левые угловые элементы a₁,a₂,…,a_n являются критерием Сильвестера в части знаков, т.е.

sign a₁₁=sign a₁

 

         sign a₁₁=sign a₂=sign a₁₁ a₁₂

                                            a₂₁ a₂₂

         …………………………….

 

                                           a₁₁… a_1n

      sign a₁₁=sign a_n=sign    ………..

                                            a_n1… a_nn

По сути метод дает возможность вычисления определителей  . Однако нас интересуют лишь знаки определителей.Это существенно упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x₁,x₂,…,x_n). имеющую экстремум,а именно максимум в точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰).Это значит,что все коэффициенты a₁, a₂,…, a_n должны быть положительными. Поэтому процесс определения максимума функции в точке М₀ заканчивается на любом этапе понижения определителя   ,если после положительных a₁, a₂,…, a_k коэффициент а_k+1 стал отрицательным или нулевым.

Если же в точке  М₀ – минимум, то коффициенты a₁, a₂,…, a_n образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно

a₁<0, a₂>0, a₃<0,…

Аналогично процесс  прекращается, если нарушается эта  знакопеременность.

Итак, общая схема выглядит следующим  образом :

1.Определяются стационарные точки  функции, в которых

 

                                    f                                   

x_i        i=1,2,3,….,n

2.Определяются коэффициенты  а_ik в этих точках

²f

x_i   x_r

 

3.Выясняем знак первого  диагонального элемента а₁₁=а₁

      а) если  а₁₁>0, то все последующие элементы а₂,а₃,…,а_n должны быть положительными,если в точке М₀ действительно максимум

      б)если  а₁₁<0, то знаки последующих элементов а₂,а₃,…,а_n должны чередоваться, если в точке М₀ действительно минимум.

4.При нарушении какой-либо  из закономерностей в п.3 процесс  прекращается и формулируется вывод о том,что в точке М₀ экстремума нет.

 

Наконец отметим следующее  важное обстоятельство. Так как коэффициенты а_ik являются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с непрерывными        ²f/ x_i   x_r в соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то     а_ik= а_ki. Это важное свойство приводит к тому, что матрица (а_ik) является симметрической вместе со своим определителем а_ik Покажем, что учет этого факта сокращант объем вычислений по крайней мере вдвое .

Во-первых, покажем, что  определитель   _n-1 также остается симметрическим,т. е. применяется операция понижения порядка инварианта и сохраняет это свойство при переходе от    _n-1  к   _n и т.д.

Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны  сами себе.

Рассмотрим произвольный элемент а_ik в определителе _n-1, i=k, i,k=1,2,…,n-1.

а_ik= а_ik – а_{1 k} а_1i / а₁₁          (*)

Если переставить индексы i,k ,то

a_ki= а_ki – а_{1 i} а_1k / а₁₁          (**)

Сравнивая (*) и (**) видим, что из того, что а_ik= а_ki следует, что а_ik= а_ki. Этим доказано, что из того, что _n- симметрический определитель, определитель   _n-1 также симметрический.Что это дает для вычисления      _n-1  ?

Пусть вычислена первая строка коэффициентов  а_1k (k=1,2,…,n-1) определителя        _n-1 , т.е.

а₁₁, а₁₂, а₁₃,…, а_1n-1

Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид

а₁₁

а₂₁

а₃₁

_…..

а_{n-1 1}

Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает  со строкой. Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый столбец уже считать нет необходимости, его нужно просто записать. Для наглядности запишем

                                                                   a₁₁    a₁₂    …   a_{1 n-1}

 

   a₂₁     a₂₂…   a_{2 n-1}

 

                                                        _{………………….} 

 

                                             a_n1      a_n2…    a_{n-1 n-1}

 Вычислим теперь  элементы второй строки, начиная  с а₂₂ ,т.е. а₂₂, а₂₃, а₂₄,…, а_{2 n-1}.Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом, начиная с а₂₂,т.е.

а₂₂

а₃₁