Экстремумы функций

_…..

а_{n-1 2}

 

Итак, второй столбец  автоматически заполняется элементами второй строки.Т.е. иммем

                                a₁₁      a₁₂       а₁₃    …   a_{1 n-1}

                                                a₂₁       a₂₂       а₂₃    …   a_{2 n-1}

                               _n-1=    a₃₁      a₃₂       а₃₃    …   a_{3 n-1}

                                                                 …………………………..

                                            a_{n-1 1}    a_{n-1 2}    a_{n-1 3}  … a_{n-1 n-1}

 

                                                                               И т.д.

 

Общий вывод : необходимо расчитать лишь правую треугольную часть элементов. Нижняя же левая часть определителя заполняется автоматически. Формально ее можно вообще не заполнять, т.е. оставлять в виде

                                a₁₁      a₁₂       а₁₃    …   a_{1 n-1}

                                                           a₂₂       а₂₃    …   a_{2 n-1}

                               _n-1=                            а₃₃    …   a_{3 n-1}              (5.16)

                                                                                        …………..

                                                                           a_{n-1 n-1}

 

Отсюда для получения  следующегоопределителя    можно применить правило, условно назовем, треугольника.

a₁₁= a₁₁ a₂₂- a₁₂²

a₂₂= a₁₁ a₃₃- a₁₃²   и т.д.

            Для недиагоналных элементов схема несколько сложнее

a₁₂= a₁₁ a₂₃- a₁₃ a₁₂                               a₁₁      a₁₂       а₁₃  

                                                                                              а₂₃   и т.д.

 

 

Пример №3.

Исследовать на экстремум  функцию    z=x³+y³-3xy

1.Находим 

   z            z

----    и  ----

   y           x

 

   z

---- = 3x²-3y

   y

    z

---- = 3y²-3x

    x

 

2.Находим стационарные  точки, решая систему

 

3x²-3y=0

3y²-3x=0

 

Получили две стационарные точкм (0;0) и (1;1).

3.Находим 

       ²z                                        ²z                     ²z

-------                  ---------             --------

      x²                         y²                    x   y

 

        ²z                                        ²z                     ²z

------- =6x           --------- =6y        -------- = -3

      x²                         y²                   x   y

 

             4.Для точки (0;0) имеем

a₁₁=0      a₂₂=0       a₁₂= a₂₁= -3

               Для точки (1;1) иммем

b₁₁=6      b₂₂=6       a₁₂= a₂₁= -3

 

5.Находим

a₁₁      a₁₂         0   -3

                a₂₁       a₂₂     -3    0

 

b₁₁      b₁₂      6   -3

                b₂₁       b₂₂     -3   6

 

Так как    <0 , то в точке (0;0) экстремума нет.

Так как      >0 и a₁₁>0, то (1;1) – точка минимма функции, причем  z_min = -1.

 

Пример №4.

 

Исследовать на экстремум  функцию    w=x^2/3+y^2/3+z^2/3

Ищем критические точки

           2                        2                          2

w`<sub>x</sub>= ------        w`_y= ---------       w`_z= ----------

         3 ³ x                   3 ³ y                       3 ³ z

 

Эти частные производные  не обращаются в нуль ни при каких значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность) в точке P₀(0;0;0). Точка P₀ лежит внутри области определения функции w, которая представляет совокупность всех точек (x;y;z) пространства. Поэтому P₀ критическая точка.

Исследуя знак разности w(P)-w(P₀)= x^2/3+y^2/3+z^2/3 вблизи точки P₀, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях x,y,z она сохраняет положительный знак. Поэтому P₀ есть точка минимума, w_min=w(P₀)=0

 

5.4.Экстремумы  на множествах.

 

Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и достаточные условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения, поскрльку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.

Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G.

В случае, когда G – плоская  область и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением                         x=x(t), y=y(t),   <t<       вопрос о нахождении экстремальных  значений функции f(x,y) на границе G сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного f(x(t),y(t)), что делается уже известными нами методами.

Методы, которые можно  применять в многомерном случае для отыскания экстремальных  точек на границе области будут  рассмотрены позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму).

Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и минимумов часто наряду с  формальной техникой, а иногда и  вместо нее можно использовать некоторые  простые соображения, связанные  с природой задачи. Например, если рассматриваемая в  Rⁿ дифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она принимает минимальное знычение.

6.Условный экстремум.

 

6.1.Постановка  вопроса.

 

Одним из наиболее ярких  популярных достижений дифференциального  исчисления являются предполагаемые им рецепты отыскания экстремумов  функций. Необходимые условия и  достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось к внутренним экстремумам.

Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию  поведения  функции Rⁿ x f(x) R в          окрестности точки тогда, когда аргумент может принимать любое значение из некоторой окрестности Rⁿ в точки x₀.

Часто возникает более  сложная и с практической точки  зрения даже более интересная ситуация,когда  ищется экстремум функции при  некоторых условиях, ограничивающих область измерения аргумента. Типичным примером может служить изопериметрическая задача, когда ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить доступную нам математичкую запись такой задачи, упростим постановку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь    . Обозначив через х и у длины сторон прымоугольника, запишем, что

       (х,у)=х-у

        х+у=р

Итак, надо найти экстремум  функции    (х,у) при условии, что переменные х,у связаны соотношением х+у=р. Таким образом, экстремум функции  ищется только на множестве тех точек  плоскости R², которые удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная задача, конечно, решается без труда : достаточно, записав, что у=р-х, подставить это выражение в формулу для    (х,у) и найти обычными методами максимум функции х(р-х). Она нам была нужна лишь для постановки вопрса. В следующих пунктах мы рассмотрим общий случай решения подобных задач.

 

6.2.Понятие условного  экстремума.

 

Пусть на открытом множестве  G   Rⁿ  заданы функции.

y_i=f_i(x)   i=1,2,3,…,m                                            (6.1)

x=(x₁,x₂,…,x_n).Обозначим через Е множество точек x G , в которых все функции f_i  i=1,2,3,…,m обращаются в нуль:

E={x: f_i(x)=0, i=1,2,3,…,m, x  G}                         (6.2)

Уравнения

f_i(x)=0, i=1,2,3,…,n                                                (6.3)

 будем называть  уравнениями связи.

Определение : пусть на множестве G задана функция y=f₀(x)    .Тогда x⁽⁰⁾ E называется точкой условного экстремума (принят также термин «относительный экстремум») функции f₀(x) относительно (или при выполнении) уравнений связи (6.3) , если она является точкой обычного экстремума этой функции , рассмотриваемой только на множестве Е.

Иначе говоря , здесь значения функции f₀(x) в точке x⁽⁰⁾ сравниваются не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки , а только со значениями в точках , принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов , можно , естественно , рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

Будем предполагать , что

1. все функции f₀,f₁,f₂,…, f_m непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G ;
2. в рассматриваемой точке x⁽⁰⁾ векторы    f₁, f₂,…, f_m линейно независимы , т.е. ранг матрицы Якоби

                                               f_j            j=1,2,…,m

                                                                       x_i           i=1,2,…,n

равен m-числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов    f₁,   f₂,…,  f_m).

Это означает , что функции  системы (6.1) независимы в некоторой  окрестности точки x⁽⁰⁾.Поскольку в n-мерном пространстве не может быть больше чем n линйено независимых векторов и ранг матрицы не может быть больше чиола столбцов , то из условия 2) следует ,что m<n.

Согласно условию 2) в  точке x⁽⁰⁾ хотя бы один из определителей вида

                             (f₁, f₂,…, f_m)

                                           (x_i1,x_i2,…,x_im)

отличен от нуля.Пусть  для определенности в точке x⁽⁰⁾.

                              (f₁, f₂,…, f_m)

                                           (x_i1,x_i2,…,x_im)                        (6.4)

Тогда , в силу теоремы  о неявных функциях , систему уравнений (6.3) в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾)  можно разрешить относительно переменных  x₁,x₂,…,x_m :

                    x₁=    ₁( x₁,x₂,…,x_m)

                    x₂=    ₂( x₁,x₂,…,x_m)

                    ……………………                                      (6.5)

                    x_m=    _m( x₁,x₂,…,x_m)

Поставив значения x₁,x₂,…,x_m, даваемые формулами (6.5) в y=f₀(x), т.е. рассмотрев композицию функции f₀ и ₁, получили функцию

                      y= f₀(    ₁( x_m+1,…,x_n),…,   _m( x_m+1,…,x_n), x_m+1,…,x_n)==                       =0( x_m+1,…,x_n)                                                                  (6.6)

 

от n-m переменных x_m+1,…,x_n,определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾)  в (n-m)–мерном пространстве R^n-m.

Поскольку , согласно теореме  о неявных функциях , условия (6.3) и (6.5) равносильны ,то справедливо следующее  утверждение.

Точка x⁽⁰⁾ является точкой (строгого) условного экстремума для функции g относительно уравнений связи (6.3) в том и только том случае , когда x⁽⁰⁾ является точкой обычного (строгого) экстремума (6.6).

Если x⁽⁰⁾– точка обычного экстремума функции g, то она является стационарной точкой этой функции:

       dg (x⁽⁰⁾)=0                                                   (6.7)

Напомним , что дифференциал – линейная однородная функция и  его равенство нулю означает равенство  нулю этой функции при любых значениях  ее аргументов , в данном случае – при любых dx_m+1, dx_m+2,…, dx_n.Это возможно ,очевидно , в том и только том случае , когда все коэффициенты при этих аргументах , т.е. производные g/  x_m+k, k=1,2,…,n-m обращаются в нуль в точке x⁽⁰⁾.Условие (6.7) необходимо для условного экстремума в точке x⁽⁰⁾.

Таким образом , метод , основанный на решение системы уравнений (6.3) через элементарные функции часто  невозможно или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать  методом , позволяющим найти условный экстремум не решая системы (6.3).Такой способ ,так называемый метод множетелей Лагранжа , изложен в следующем пункте .

 

6.3.Метод множетелей  Лагранжа для нахождения точек  условного экстремума.

 

В этом пункте будем предполагать , что все функции f₀,f₁,f₂,…, f_m непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G.

Теорема 6.1 : пусть x⁽⁰⁾– точка условного экстремума функции f₀ при выполнении уравнений связи (6.3).Тогда в этой точке градиенты f₁, f₂,…, f_m линейно независимы , т.е. существуют такие не все равные нулю , числа    ₀, ₁,    ₂,…,    _m  что