Экстремумы функций

                                            a_m1… a_mm                            (6.24)

 

В этом случае все решения  системы (6.16)   можно получить , задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x₁,x₂,…,x_n). Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6.16).В самом деле, возьмем произвольное решение (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) системы (6.16).После подстановки x_m+1= x⁽⁰⁾ _m+1,…, x_n= x_n⁽⁰⁾ в (6.16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x₁,x₂,…,x_n), матрицы коэффициентов которой в силу условия (6.24) невырожденная.Поэтому существуют единственные значения x₁,x₂,…,x_n, удовлетворяющие получившейся системе.Поскольку (x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n). также было решением системы (6.16), то x₁=x⁽⁰⁾₁, x₂=x⁽⁰⁾₂,…, x_m=x⁽⁰⁾_m .

Перейдем теперь к  анализу стационарных точек функции  Лагранжа.

Теорема 6.2: Пусть функции f₀,  f₁,  f₂,…,  f_m непрерывно дифференцируема в области G   Rⁿ, x⁽⁰⁾  G

f_i(x)=0, i=1,2,3,…,n

 а ранг матрицы  Якоби функций f₁,  f₂,…,  f_m в точке x⁽⁰⁾  равен m.Для того чтобы в точке x⁽⁰⁾=(x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n) градиент f₀ являлся линейной комбинацией градиентов  f₁,  f₂,…, f_m необходимо и достаточно, чтобы точка x⁽⁰⁾=(x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n)  была стационарной точкой для функции.

g(x)=g(x_m+1,…,x_n)

          Напомним,что если в точке x⁽⁰⁾ градиент f₀ является линейной комбинацией

                       f₀=   ₁f₁+    ₂f₂+…+    _mf_m                       (6.25)

градиентов f₁,  f₂,…,  f_m, то это равносильно тому, что существует функция Лагранжа

   F= f₀- ₁f₁-    ₂f₂-…-    _mf_m                                          (6.26)

для которой точка x⁽⁰⁾ является стационарной :

                   F(x⁽⁰⁾)

                       x_i          i=1,2,…,n                                         (6.27)

Это просто координатная запись (6.25) ,ибо в силу (6.26)

  F(x⁽⁰⁾)        f₀          f₁           f₂               f_m

    x_i              x_i          x_i          x_i              x_i     i=1,2,…,m

Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций f₁,  f₂,…, f_m в точке x⁽⁰⁾ равен m .Будем считать для определенности , как и в пункте 6.2 ,что

                             (f₁, f₂,…, f_m)

                                           (x₁,x₂,…,x_m)   x⁽⁰⁾         (6.28)

Подставим в уравнение  связи (6.3) функции (6.5) , являющиеся решением этих уравнений , и продеффиренцируем  получившееся относительно переменных x_m+1,…,x_n тождества.Получим для точки x⁽⁰⁾ равенства df_i(x⁽⁰⁾)=0, i=1,2,…,m,        справедливые для любых приращений dx_m+1,…,dx_n независимых переменных x_m+1,…,x_n (напомним, что дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство

f_i           f_i               f_i                f_i      i=1,2,…,m

x₁          x_m          x_m+1              x_n            (6.29)

где x_m+1,…,x_n произвольные , а  x₁,…,x_m находятся изформул (6.5). Таким образом вектор dx=( dx₁,…,dx_m,dx_m+1,…,dx_n) является решением линейной однородной системы (6.29).

Отметим , что в силу условия (6.28) значения dx₁,…,dx_m при заданных dx_m+1,…,dx_n однозначно находятся и из системы (6.29). Из замечания 2 следует также , что указанным способом получаются все решения системы (6.29).

Стационарность точки x⁽⁰⁾ для функции g(x)=g(x_m+1,…,x_n)

 означает , что dg(x⁽⁰⁾).Это равенство , в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде

                    f₀           f₀               f₀                f₀     

                    x₁           x_m          x_m+1              x_n            (6.31)

 где dx_m+1,…,dx_n можно задавать произвольно, а dx₁,…,dx_m следует находить из формул (6.5) или , что дает тотже результат из формул (6.29). Инач говоря , любое решение системы уравнений (6.29) является и решением уравнения (6.31). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6.31) является линейной комбинацией уравнений системы (6.29) , т.е. когда существуют такие числа , что

                         f₀=   ₁f₁+    ₂f₂+…+    _mf_m

                                                                           ч.т.д.

       Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений систеиы уравнений (6.29) образуют подпространство Т пространства Rⁿ, являющееся ортогональным дополнением к подпространству L=Z(  f₁, f₂,…, f_m) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту f_i , а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x⁽⁰⁾ к гиперповерхности f_i(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций f_i,i=1,2,…,m.

Таким образом , пространство решений Т системы (6.29) состоит  из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям f_i(x)=0 ,i=1,2,…,m, и потому его называют касательным пространством персечений всех гиперповерхностей f_i(x)=0 ,i=1,2,…,m . Напомним , что векторы касательноо пространства Т ,т.е. решения системы (6.29), были обознаены через dx (см.(6.30)).

Поскольку в точке  условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение

f₀  L=Z(  f₁, f₂,…, f_m)

то

               f₀  T

 Иначе говоря, градиент f₀ одновременно ортогонален всем касательным dx к гиперповерхностям f_i(x)=0 ,i=1,2,…,m:

                   (  f₀,dx)=0

(это другая запись  уравнения (6.31)), т.е. градиент f₀ перпендикулярен касательному пространству Т в точке x⁽⁰⁾ .Но множество всех векторов , ортогональных к   f₀, образуют (n-1)– мерное пространство Т₀ , называемое касательным пространством к гиперповерхности f₀(x)= f₀(x⁽⁰⁾) .В силу сказанного выше , каждый вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f₀, принадлежит к Т₀ , т.е. Т Т₀.

Итак , если x⁽⁰⁾ – точка условного экстремума , то . Т Т₀ , т.е. касательное пространство в точке x⁽⁰⁾  пересечения всех гиперповерхностей , задаваемых уравнениями связи , содержится в касательном пространстве в той же точке гиперповерхности.

Замечание 4 : Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1.В самом деле , если x⁽⁰⁾ является точкой условногo экстремума , то является x⁽⁰⁾ точкой обычного экстремума для функции () и , следовательно , ее стационаоной точкой . Поэтому согласно теореме 2 точка x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.выполняется условие .

 

6.5.Достаточные условия для точек условного экстремума.

 

В этом пункте также будем  предполагать выполненными все предположения , наложенные на функции в пункте 6.2.Пусть

                               F=  f₀+      _if_i

-функции Лагранжа (см.(6.11)) для функции f₀ и уравнений связи(6.3).Пусть x⁽⁰⁾ G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой функции Лагаранжа , т.е. точкой , координаты которой удовлетворяют системе уравнений (6.10) и (6.3). Нашей целью является получение метода , с помощью которого можно установить условия , достаточные для того , чтобы x⁽⁰⁾ являлась точкой условного экстремума рассматриваемой задачи.

Заметим прежде всего , что  если точка x  G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) , то

f= f(x)-f(x⁽⁰⁾)=F(x)-F(x⁽⁰⁾)=  F                  (6.32)

Отсюда сразу видно , что если x⁽⁰⁾ является точкой обычного экстремума для функции F, т.е.  F не меняет знака в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾, то x⁽⁰⁾  является точкой условного экстремума для функции f₀ .

Действительно , из (6.32) следует в этом случае , что приращение f₀ для допустимых значений х , т.е. удовлетворяющих уравнениям связи , также не меняет знак, Это достаточное условие , однако , накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции Лагранжа F(x) в рассматриваемой точке – она должна иметь обычный экстремум , что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач.Поэтому целесообразно получить более общий достаточный признак условного экстремума .

Пусть x⁽⁰⁾= (x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n) удовлетворяет уравнениям связи (6.3).Вернемся к рассмотрению функции (6.6) , т.е. функции g(x)=g(x_m+1,…,x_n) , получаемой из f₀(x)= f₀(x₁,x₂,…,x_n) при условии , что являются x₁,x₂,…,x_m функциями переменных x_m+1,…,x_n определяемых уравнениями связи (6.3) в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾.Будем дополнительно предполагать , что f₀(x ) и f_i(x ) ,i=1,2,…,m дважды непрерывно дифференцируема в точке x⁽⁰⁾.

Выше отмечалось (в пункте 6.2) , что x⁽⁰⁾ является точкой условного (строгого) экстремума для функции f₀(x) относительно уравнений связи (6.3) тогда и только тогда , когда x⁽⁰⁾ является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x).Поэтому , если  например , в точке x⁽⁰⁾ функция g(x) удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума,то в этой точке функция f₀(x) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи (6.3).Достаточные условия для обычного сторого экстремума были получены нами ранее .Для нашего случая они имееют вид :

1. g(x⁽⁰⁾ )             

x_i                            i=m+1,…,n;                      (6.33)

2)второй дифферециал

                                ²g(x⁽⁰⁾ )

d²g(x⁽⁰⁾ )=              -----------dx_idx_j                            (6.34)

                                 x_i   x_j

является положительно или отрицательно определенной квадратичной формой.

При выполнении этих условий x⁽⁰⁾ является точкой строгого минимума или максимума для функции g(x).В силу сказанного выше указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы x⁽⁰⁾ являлось точкой условного строго минимума (максимума) для функции f₀(x) относительно уравнений связи (6.3). Однако они неудобны для практического использования , так как требуют знания функции g(x).Поэтому , исходя из полученных достаточных условий условного строгого экстремума , выраженных посредством функции g(x) , получим достаточные условия того же экстремума , но выраженные только через функцию Лагранжа и уоавнений связи.

Прежде всего заметим , что в силу условия (6.4) система (6.29) разрешима, и притом однозначно, относительно dx₁,…,dx_m при произвольно фиксированных dx_m+1,…,dx_n .Систему (6.29), выражающую равенство нулю дифференциалов функции f_i(x) в точке x⁽⁰⁾:

d f_i(x)=0, i=1,2,…,m

при выполнении условий (6.3) , будем записывать кратко в виде :

                                      df=0                                        (6.35)

где

                                         f=(f₁,f₂,…,f_m)

Пусть x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции Лагранжа F(x).Это означает, что dF(x⁽⁰⁾)=0, т.е. что в этой точке f₀+      _if_i=0.В теореме 2 показано, что в том случае x⁽⁰⁾  является стационарной точкой для функции, т.е.

dg(x⁽⁰⁾)=0                                                         (6.36)

Поясним еще раз вывод  этой формулы и покажем, что

d²g(x⁽⁰⁾ )= d²F(x⁽⁰⁾ )   _df=0                                  (6.37)

 

Это равенство следует  понимать как равенство функции   n-m переменных dx_m+1,…,dx_n.В правой части равенства (6.37) остальные переменные dx₁,…,dx_m, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравнений (6.35) или, что равносильно (см. формулы (6.5))

dx_k=d  _k(x₁,x₂,…,x_n-m), k=1,2,…,m

Используя инвариантность формы первого дифференциала  относительно выбора переменных и формулу (6.6), имеем

                                                 f₀ (x⁽⁰⁾ )

dg(x⁽⁰⁾ )=              -----------dx_j                           

                                    x_j

Прибавим к этому  равенству сумму (равную нулю) левых  частей тождеств (6.29), умноженных соответственно на постоянные  _i, входящие в функцию Лагранжа F(x) (точнее, i-е равенство (6.29) умножается на постоянную  _i).Тогда, использовав условие (6.11), получим

                                                                                  F(x⁽⁰⁾)           

dg(x⁽⁰⁾ )=        -------[ f₀ (x )+        _if_i (x)] dx_j              =         --------- dx_j=0

               x_j                                                             x=x₀                          x_j

 

 

Утверждение (6.36) доказано.

Равенство (6.37) доказывается аналогичным приемом.Прежде всего  напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке x⁽⁰⁾:

                             ²f₀(x⁽⁰⁾ )                         f₀(x⁽⁰⁾ )                               

d²g(x⁽⁰⁾ )=           -----------dx_jdx_k +       ----------- d²x_j          (6.38)

                      x_j   x_k                             x_j

 

Далее продифференцировав тождества, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи (6.3), т.е. тождества будем иметь  в точке x⁽⁰⁾  :

                              ²f₀(x⁽⁰⁾ )                         f₀(x⁽⁰⁾ )