Контрольная работа по "Линейной алгебре и началу анализа"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

Задание №1. Составить краткий конспект по теме «Сравнение бесконечно малых. Производная и ее смысл». В конспекте желательно представить теоретический материал по теме и не менее 2 примеров или контрпримеров, при необходимости сделать чертежи.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Обозначим эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b(х).

Определение. Если , то a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка.

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a(x) ~ b(x).

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Определение. Бесконечно малая функция a(x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b(x), если предел конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции  можно сравнивать между собой. Например, если отношение  не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a(x) - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b(x).

Пример. Если , то при х®0 не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) Если a(x) ~ b(x) и b(x) ~ g(x), то a(x) ~ g(x),     

2) Если a ~ b, то b ~ a,          

       3) Если a ~ a₁ и b ~ b₁ и , то и   или .

Следствие:  а) если a ~ a₁  и , то и

                                б) если b ~ b₁ и , то

Свойство 3 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:       

Определение производной.

Приращением функции в точке называется разность , где – произвольное малое приращение аргумента .

 

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

         у

f(x)

 

 

      f(x₀ +Dx)    P

Df

f(x₀)    M

 

    a                b   Dx 

       0                     x₀         x₀ + Dx                   x

 

 

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Уравнение касательной  к кривой:   

 

Уравнение нормали к  кривой: .

 

Фактически производная функции  показывает как бы скорость изменения  функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной  функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная  функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Пример .

Найти производную функции по определению  производной:

; 

Решение.

При любом приращении имеем:

 

Так как  то

.

 

 

Задание №2. Решите систему уравнений методом: а) Крамера, б) Гаусса.

Решение.

а) Метод Крамера.

                    

б) метод Гаусса.

                   

       

               

Ответ: ; ; .

 

 

Задание №3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин:

А(-4;-2), В(0;4), С(6;-1).

Найдите:

1) длину отрезка АВ;

2) уравнение прямой АВ;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние от точки А до  прямой ВС.

 

Решение.

1)

2)

3)

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку С(6;-1) имеет вид:

Уравнение высоты СН имеет вид:

4)

- уравнение прямой ВС.

 

Ответ: 1) ;  2) ;  3) ;   4)

 

 

Задание №4. Вычислите предел, используя замечательные пределы и основные эквивалентности, (не пользуясь правилом Лопиталя):

а)   б)   в)

Решение:

а)

б)

в)

 

Ответ: а) ; б) ; в)

 

 

Задание №5. Найдите производные данных функций: а) ;

б) ;  в)

 

Решение:

а) ;

б) ; 

 в)

 

Ответ: а)

б)

в)

 

 

Задание №6 Вычислите интегралы: а)    б)   в)

Решение:

а)

 

б)

 

в)

    

Ответ: а)

 

б)

 

в)

 

 

Задание №7. Исследуйте ряды на сходимость а)    б)

Решение:

а)

Необходимый признак сходимости

, следовательно, ряд расходится (выполняется достаточное условие расходимости ряда).

б)

, ряд сходится.

 

Ответ: а) ряд расходится, б) ряд сходится.

 

 

Задание №8. Решите дифференциальные уравнения: а)

б)

 

Решение:

а)

характеристическое уравнение 

      

      

 

б)

,    ,   

Ответ: а) ; б)

 

ЧАСТЬ II.

№1. Точка М(a;b) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1;-1), (1;-1), (1;1), (-1;1). Найти вероятность того, что корни уравнения окажутся действительными и положительными.

 

Решение.

     

      

           

1) если , то

 

 

Точка М принадлежит нижней правой четверти квадрата, значит

2) если  , то истинно при любом а

Точка М принадлежит верхней левой четверти квадрата, значит

 

Ответ:

 

№ 2. Вероятность появления события  в каждом из 2100 независимых испытаний  равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.

 

Решение.

,    ,   

,   

      

 

 

№ 3. Найти закон распределения  случайной величины Х. Вычислить  М(Х) и D(Х). найти функцию распределения F(x) дискретной случайной величины Х и построить ее график. Буквы слова «ОГОРОД» рассыпаны в беспорядке. Из них наудачу выбирают сразу 4 буквы. Величина Х – число букв «О» в выборке.

 

Решение.

Случайная величина Х может принимать  значения: 1,2,3. Число возможных вариантов  установлено перебором.

Х	1	2	3
р	1/7	3/7	3/7

 

 

 

№ 4. Найти вероятность попадания  случайной величины Х в замкнутый  интервал [5;9], если она распределена:

a) равномерно на отрезке [7;11]

b) по показательному закону и имеет математическое ожидание М(Х)=11

c) по нормальному закону, при этом М(Х)=7,

 

Решение.

а) Плотность вероятности равномерного распределения 

b)       

Если М(Х)=11, то

 

с) М(Х)=7,