Теоретическое обоснование применения задач на разрезание в процессе обучения планиметрии

Одна из важнейших ролей в  развитии мышления психологами отводится рефлексии. Однако в методике преподавания геометрии проблеме рефлексии не уделено достаточного внимания. Переход учащихся на самый высокий уровень теоретического мышления (рефлексирующий) не возможен без специального обучения, без специальных задач.

В действующих учебниках  задачи подобраны так, что учащимся не приходится опровергать предлагаемые утверждения, нет необходимости предварительного исследования существования объекта, о котором идет речь в условии и в задачах всегда содержатся лишь необходимые для решения данные, приходится обосновывать очевидные факты и т.д.

Рассмотрим следующую  задачу.

Задача 2.

В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах BC и  AD отрезки BE = 2 м и  AF = 2,8 м. Найдите стороны BC и  AD.

 

 

 

 

 

 

 

В ходе решения задачи последовательно  устанавливается равенство следующих  элементов: 1) отрезков диагоналей параллелограмма, 2) накрест лежащих углов, 3) вертикальных углов, 4) треугольников, 5) соответственных  сторон  равных  треугольников, 6) сторон параллелограмма. Все эти равенства требуется логически обосновать, ссылаясь на ранее изученные факты. При решении задачи некоторые обоснования могут быть пропущены. Например, применяется свойство вертикальных или накрест лежащих углов; при этом не требуется объяснить, почему они таковыми являются. Достаточно того, что ученик их увидел. Но на этом чертеже он также видит равные  треугольники, но их равенство он должен доказать, назвав три пары равных элементов.

Однако, если ученик не сделает необходимых  обоснований, ограничившись рассмотрением  чертежа, то он все же может получить правильный ответ. В таком случае он считает задачу решенной, а требование учителя привести необходимые обоснования выглядит как надуманное искусственное добавление.

Итак, пятая проблема – это неразработанность методики обучения геометрии, учитывающей роль рефлексии, способствующей успешному изучению различных разделов геометрии, заключающейся в усвоении и осмыслении учащимися приемов и способов решения задач, в формировании умений самостоятельно выбирать способ решения, контролировать свою деятельность и оценивать её.

Выявленные затруднения учащихся:

1. свидетельствуют об их неподготовленности к дедуктивному изучению геометрии;
2. могут быть связаны с недостаточностью практического и ограниченностью наглядного опыта, что,  в свою очередь, тормозит формирование умения работать с чертежом;
3. отражают специфику заданий по геометрии, не способствующих развитию рефлексивной деятельности.

Следовательно, необходимо искать средства, которые позволят  существенно  улучшить процесс обучения геометрии  в основной школе.

§ 1.2.  Задачи на разрезание и их дидактические возможности

Геометрические задачи разнообразны по своей тематике, сложности, педагогической направленности. Они выступают как  одно из главных средств обучения геометрии. Развитие мышления и способности  к математической деятельности осуществляется в ходе самостоятельных размышлений учащихся над задачами.

Из множества геометрических задач  мы выбрали для исследования задачи на разрезание. При их решении используются такие средства наглядности, как чертежи (готовые или требующие доработки), модели геометрических фигур (для практической работы). Чертеж, который требует от ученика практической доработки, играет роль опоры в проведении логических рассуждений. Практические действия с моделями геометрических фигур при решении таких задач служат источником для возникновения идей логических рассуждений.

Именно сочетание  наглядности, логики и практики в задачах на разрезание позволяет выделить развивающую  функцию как ведущую.  При решении  исследуемых задач развиваются:

1)  умение работать с геометрическим чертежом;

2)  внутренняя потребность в  доказательстве;

3)  рефлексивная деятельность.

В геометрии существует целый класс  задач, решение которых предполагает преобразование фигур. Под преобразованием  понимается замена одной фигуры на другую с помощью операций разрезания, достраивания, составления, перекраивания. В соответствии с традицией такие задачи мы называем задачами на разрезание. Термины «разрезание», «составление», «достраивание», «перекраивание» не всегда следует понимать буквально. Мысленное или практическое выполнение операций в каждом конкретном случае зависит как от самой задачи, так и от цели обучения.

Решение задач на разрезание непосредственно  связано с применением метода разрезания. Данный метод известен с древнейших времен. Суть его  заключается в том, что фигуру можно разрезать на части и из полученных частей составить новые фигуры.

Среди задач на разрезание выделяется  две группы.

Первую группу составляют задачи, в условии которых содержится прямое указание на выполнение с фигурой одной из четырех операций. К данной группе относятся следующие три задачи.

Задача 3.

Каждую из фигур, изображенных на  рисунке 3, разрежьте на две  равные фигуры.

 

                                                                        

 

 

 

Задача 4.

Даны фигуры (рис. 4).

а) Разрежьте треугольник  на две  фигуры (рис. 4,а).

б) Составьте из данных треугольников  квадрат (рис. 4,б).

в) Достройте треугольник до параллелограмма (рис. 4,в).

г) Перекроите параллелограмм в прямоугольник (рис. 4,г).

Одно из решений данной задачи проиллюстрировано на рис. 4. Результат выполнения операций показан с помощью пунктирной линии.

  

 

 

             

 

                                                                       

                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.

Прямоугольный треугольник  (рис. 5,а) нужно разрезать на четыре части  так, чтобы из них можно было сложить  остальные фигуры этого рисунка.

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении первых двух задач достаточно на чертеже каждой фигуры обозначить линии разреза, сначала представив их мысленно. Однако при решении задачи 5 мысленно представить получение новой фигуры трудно, поэтому возникает необходимость практического выполнения операций разрезания прямоугольного треугольника и составления из полученных при разрезании частей новых фигур.

Вторая группа содержит задачи, в тексте которых требование выполнить одну из названных операций отсутствует, но преобразовать фигуру потребуется в процессе её решения. Ученик должен догадаться о необходимости выполнения преобразования данной фигуры.

Рассмотрим одну из задач, связанную с площадями фигур, решение которой предполагает применение данного метода.

Задача 6.

Докажите, что площадь  квадрата, построенного на катете прямоугольного равнобедренного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе.

 

 

 

 

 

 

 

Для решения задачи необходимо 1) разрезать  квадрат, построенный  на высоте, проведенной к гипотенузе треугольника, на два равных треугольника (маленький квадрат); 2) разрезать квадрат, построенный на катете треугольника, на четыре равных треугольника (большой квадрат); 3) установить, что площадь «большого» квадрата равна сумме площадей четырех равных треугольников; 4) установить, что площадь «маленького» квадрата равна сумме площадей двух таких же треугольников; 5) сравнить площади и сделать заключительный вывод.

Для решения геометрических задач, связанных с площадями  фигур необходима следующая теоретическая  основа:

1. Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: а) равные фигуры имеют равные площади; б) если фигура разбивается на части, являющимися простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей; в) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице [123, с.216].
2. Два равносоставленных многоугольника равновелики.
3. Два равнодополняемых многоугольника равновелики.

Следующие две задачи иллюстрируют более широкое применение метода разрезания.

Задача 7.

В четырехугольнике ABСD (рис. 7) сумма углов ABD и BDC равна 180^о, а стороны AD и BC равны. Докажите, что углы при вершинах А и С такого четырехугольника равны.

 

 

 

 

 

 

 

Дано условие: . На данном чертеже видим по отдельности два угла и . Сумма этих углов на чертеже не видна. Возникает необходимость сблизить эти элементы, чтобы «увидеть» сумму.

 Для этого: 1) разрезаем четырехугольник  ABCD на два треугольника ABD и BDC; 2) переворачиваем ∆BDC; 3) составляем из этих двух треугольников равнобедренный ∆AKD.

Задача 8.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен квадрат ABDE в той полуплоскости от прямой AB, которой не принадлежит треугольник ABC. Найти расстояние от вершины C прямого угла до центра квадрата Q, если катеты BC и AC имеют соответственно длины a и b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта задача может быть решена разными  способами:  по теореме синусов, по теореме косинусов, по теореме Птоломея, методом геометрических преобразований, методом координат, векторное, методом комплексных чисел, методом разрезания (операция разрезания), методом разрезания (операция достраивания).

Рассматривать все методы решения не будем, а  остановимся на последних двух способах, поскольку в этих случаях применим метод разрезания.

 

Решение 1 (используя операцию разрезания).

Четырехугольник AQBC разбит на два треугольника ABC и ABQ. Сумма площадей треугольников ABC и ABQ (рис. 8,б) равна площади четырехугольника AQBC:

1/2 ab + 1/2  AQ² = 1/2c CQ sin φ,

где φ – величина угла между прямыми AB и CQ. Луч CQ есть биссектриса угла ACB, так как вписанные углы ACQ и BCQ опираются на равные дуги AQ и BQ. По теореме о внешнем угле треугольника φ =α + 45⁰. Подставив в предыдущее равенство:

AQ² =1/2 (a² + b²)     и 

sin φ = sin α cos 45⁰ +cos α sin 45⁰=

/2 (a/c +b/c) = /2 (a +b)/c,

получим: 1/2 (a² + b²) =   CQ  /2 (a +b)/c   и  CQ =(a +b)/ .

Решение 2 (используя операцию достраивания).

Достраиваем данный  квадрат  до  квадрата  со  стороной  a + b  (рис. 8,в). Это можно сделать разными способами, что потребует различных обоснований. Но в любом случае искомое расстояние равно половине диагонали большого квадрата.

Суждение о простоте или трудности того или иного решения задачи субъективно. Оно существенно зависит от степени подготовленности и от уровня владениями методами решения задач. Однако последний способ решения с применением метода разрезания, по нашему мнению, является самым простым и геометрически красивым.

Существует много научно-популярных изданий, в которых авторы рассматривают  задачи на разрезание.

Один из этих авторов  – Г. Линдгрен со своей книгой «Занимательные задачи на разрезание». В ней рассмотрена следующая задача на разрезание: требуется разрезать заданную плоскую фигуру на наименьшее число, из которых можно сложить другую указанную плоскую фигуру. Требование минимального числа частей здесь существенно – во всех случаях автор ищет оптимальное разбиение фигуры на меньшие части.

В книге И.М. Яглома «Как разрезать квадрат» так же популярно изложен круг вопросов, связанных с древней задачей о том, как разрезать квадрат на различные квадраты. Другая задача, которую  ставит  автор  в  своей  книге, почти аналогична задаче Г. Линдгрена: на какое наименьшее число попарно неравных квадратов можно разрезать прямоугольник. Задача эта непростая, длительное время математики предполагали, что она неразрешима.

В книге В. Литцмана приводится большое количество доказательств  теоремы Пифагора, девять из которых доказываются с помощью метода разрезания.

Другие авторы  тоже  рассматривают  задачи  на  разрезание (Е. С. Канин, Б.А. Кордемский , Ф. Ф. Нагибин [108], В.В. Произволов, Я.И. Перельман). Систематически такие задачи появляются в журнале «Квант». Каждый автор уделяет внимание определенному заинтересовавшему его типу задач на разрезание. Их задачи адресованы учащимся средних и старших классов, носят развлекательный характер и рекомендуются для внеклассной работы.

В школьной планиметрии метод разрезания используется при изучении площадей геометрических фигур.

Проанализируем роль и место  метода разрезания в современных  школьных учебниках геометрии:

•     (1) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик «Геометрия 8-9».
• (2) А.С. Атанасян «Геометрия 7-9».
• (3) А.В. Погорелов «Геометрия 7-11».