Теоретическое обоснование применения задач на разрезание в процессе обучения планиметрии

Выделив на чертеже все имеющиеся  треугольники, учащиеся рассматривают  их парами и отыскивают общие стороны. 

5.Прием разностороннего  рассмотрения геометрической фигуры  на чертеже.

Любой элемент чертежа может быть рассмотрен с точки зрения различных понятий и теорем. В некоторых условиях один и тот  же элемент чертежа может быть отнесен к трем, четырем и более понятиям. Однако для решения конкретной задачи данный элемент может быть рассмотрен с точки зрения определенных понятий и теорем, правильный выбор которых зависит от умения изменять точку зрения на воспринимаемый элемент чертежа. Это достигается в результате вычленения его из одних отношений и включения в новые путем сочетания с другими элементами чертежа.

Прием предписывает выполнение следующих  действий: а) рассмотреть чертеж и  выделить тот элемент, о котором  говорится в задаче; б) последовательно  соотносить выделенный элемент с  другими элементами чертежа; в) каждый раз подводить его под соответствующее понятие и указывать характерные свойства; г) использовать нужные свойства для решения задачи.

Этот прием является наиболее значимым в системе названных приемов, т. к. разностороннее рассмотрение элементов  чертежа приводит к переосмысливанию каждой отдельно взятой фигуры, к раскрытию новых связей и отношений между фигурами. Учащиеся узнают, с одной стороны, как многообразны связи и отношения между элементами исходного чертежа, а с другой – как применять теоретические положения к конкретным задачам. Предыдущие приемы включаются в данный прием в виде отдельных действий.

Прием становится рабочим при решении  задач на перекраивание. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача 14.

На рисунке 13 треугольник  ABC перекроили в прямоугольник MNKL. Опишите способ перекраивания.

 

 

 

 

 

 

 

На одном рисунке видим сразу  обе фигуры - треугольник и прямоугольник. Необходимо мысленно представить процесс  перехода треугольника в прямоугольник, для этого необходимо вычленить фигуры, на которые разрезается треугольник и из которых составляется прямоугольник; найти их общие элементы и установить свойства которыми они обладают.

 При решении задач на перекраивание  новая и старая фигуры могут  быть показаны  как на разных  чертежах, так и на одном. Здесь  важно то, что ученик видит  фигуру до преобразования и после него. Сам процесс преобразования он представляет мысленно, а если необходимо, то предварительно выполняет практические действия. При этом чтение чертежа позволяет выявлять существенные свойства преобразованной фигуры, необходимые при решении задачи.

Таким образом, следует отметить, что учащиеся умеют выполнить чертеж в соответствие с условием задачи, но уже при всестороннем его чтении появляются трудности, следствием которых становится неумение преобразовать чертеж. Поэтому возникает необходимость в проведении работы, позволяющей продолжить развитие умения читать чертеж и  способствующей формированию умения преобразовывать чертеж. Средством для решения назревшей проблемы могут стать задачи на разрезание при их специальном обучении.

 

ГЛАВА II. Методика обучения решению

задач на разрезание

§ 2.1. Основные положения методики обучения

решению задач на разрезание

Общие положения.

I. В качестве основы конструируемой  методики принимается современная  дидактическая система проблемного  обучения.

Данная система строится на базе известных принципов дидактики: направленность процесса обучения на всестороннее развитие личности; научность; доступность; систематичность и  последовательность в обучении; сознательность, активность и самостоятельность учащихся в обучении при руководящей роли педагога; наглядность обучения и др.

1. Процесс обучения, основываясь  на принципе направленности, призван  формировать у личности разносторонние  знания, умения и навыки, соответствующие  уровню развития современной науки и производства и позволяющие личности ориентироваться в основных сферах науки, техники, производства и др. При определенной ориентации в процессе обучения у учащихся вырабатывается широкий умственный кругозор, формируются умения и навыки умственной деятельности, логически строится речь, вырабатываются мотивы деятельности, которые существенно влияют на будущую деятельность школьников. Следует отметить, что развитие и саморазвитие  личности не возможно без учета той роли рефлексии, которую она играет в учебной деятельности.

2. Принцип научности требует,  чтобы содержание обучения являлось  строго научным, объективно отражающим  современное состояние соответствующей  отрасли научного знания. Принцип  ориентирован на обучение школьников  умениям мыслить научно, в соответствии с законами логики, поэтому необходимо приучать школьников следить за корректностью формулировок при определении математических понятий; приучать критически относиться к каждому суждению, не принимать за истину то, что не обосновано и т.п. Наряду с принципом научности должен соблюдаться и принцип доступности. Содержание, формы и методы обучения должны учитывать реальные возможности учащихся. Обучение должно вестись на таком уровне трудности, который находился бы в «зоне ближайшего развития»  возможностей  личности, т.е. чтобы  обучение  велось  на  максимально  возможном  уровне  трудности (Л.С. Выгодский, Л.В. Занков  и др.).

3. Принцип систематичности и  последовательности требует, чтобы  знания, умения и навыки формировались  в определенном порядке: каждый элемент учебного материала должен логически связываться с другими, последующий опираться на предыдущее и подготавливать к усвоению нового. Обучение  решению задач на разрезание представляет собой ряд последовательных этапов, каждый из которых дополняет знания учащихся дозой новых знаний, которые в свою очередь становятся инструментом для приобретения школьниками новых знаний.

4.  Принцип сознательности направлен  на предотвращение формального  усвоения знаний. Любая деятельность  ученика должна быть мотивирована. Психологи различают внутренние и внешние мотивы, что позволяет выделить два типа активности ученика: а) активность с внутренней мотивацией, б) активность с внешней мотивацией. Только в рамках первого типа активности – активности с внутренней мотивацией – ученик осознает недостаточность своих знаний, их необходимость для себя и поэтому заинтересован в получении новых знаний или в овладении новыми умениями. Учебный процесс должен ориентироваться на созидание знаний. Необходимо организовать учебную деятельность школьника так, чтобы тот смог сделать для себя какое-либо открытие, в результате которого он получает новое знание. В этом случае мы можем говорить об эффективности обучении.

Успешность в овладении знаниями зависит от интереса к самим  знаниям. Образование новых мотивов учения, связанных с формированием профессиональных намерений, развитием самосознания, стремлением исполнить задуманное, меняет характер деятельности подростка: она превращается в самообразование.  Для реализации потребности в самостоятельном приобретении знаний, учащихся необходимо включать в активные формы обучения. Поэтому среди требований к построению методики обучения решению задач на разрезание, главным является мотивация этой деятельности и активное привлечение к ней учащихся.

5. Современная методика отводит  большое место активности учащихся, считая, что полная осознанность  усвоения может быть достигнута  учеником при условии, если  он не пассивно воспринимает  сообщаемый ему материал, а активно  оперирует им. Принцип самостоятельности в обучении (принцип самостоятельного обучения) является одним из основных положений, на которое опирается  теория и практика преподавания математики. Он реализуется с помощью  специально подобранной  системы заданий и продуманной методики обучения, при этом не исключая, а предполагая вмешательство учителя в процесс обучения на разных его этапах по-разному. В ходе такой работы развивается гибкость мышления, происходит всестороннее рассмотрение и преобразование исследуемого объекта, открытие наиболее значимых и доступных для понимания учащихся новых геометрических фактов.

6. Принцип наглядности вытекает  из сущности процесса восприятия, осмысливания и обобщения учащимися  изучаемого материала. На различных  этапах обучения решению задач  на разрезание используются различные средства наглядности: модели геометрических объектов, чертежи.

 А.Д. Александров отмечал:  «Есть все основания четко  выдвинуть и подчеркнуть как  первый основной принцип преподавания  геометрии: каждый элемент курса  геометрии должен опираться на возможно более простое и ясное наглядное представление, с такого представления надо начинать и им руководствоваться в изложении».

7. Дополнить перечисленные принципы  дидактики следует принципом  проблемности обучения, который  является ведущим для развивающего обучения. Согласно этому принципу, процесс обучения протекает как создание и снятие последовательности проблемных ситуаций.

Частные положения.

II. Основными целями при решении  задач на разрезание являются:

- развитие умения работать с  чертежом;

- воспитание внутренней потребности  в доказательстве;

- развитие рефлексивной деятельности.

Все эти задачи тесно взаимосвязаны, их решение – длительный процесс, охватывающий весь период обучения геометрии. Однако как было показано в главе I, мы рассмотрели их решение на материале планиметрии.

III. В процессе обучения решению  задач на разрезание выделяются  три этапа, которые описываются  в следующем параграфе.

Каждый из них предполагает: 1) решение  конкретного вида задач на разрезание; 2) раскрытие особенностей данных задач; 3) активизацию мыслительной деятельности учащихся созданием проблемных ситуаций; 4) фиксацию действий при решении задач; 5) показ учащимся  образца решения задачи; 6) актуализацию знаний, полученных ранее при изучении геометрии.

Разрабатываемая методика должна давать возможность каждому ученику неоднократно и самостоятельно выполнять отдельные действия или систему действий в процессе решения задачи.

Реализация данной методики предполагает, что учащиеся:

- знают, какие действия и в  какой последовательности требуется выполнять при решении задачи;

- умеют выполнить эти действия  с учетом их особенностей ;

- могут объяснить, как осуществляется  определенный этап  решения задачи.

Таким образом, на основе перечисленных положений, разработанная методика обучения решению задач на разрезание описывается в следующем параграфе.

§ 2.2. Этапы обучения решению задач на разрезание

Обучение решению задач на разрезание  производится в три этапа.

Цель первого этапа состоит, во-первых, в разъяснении учащимся  смысла операций (разрезания, достраивания, составления, перекраивания) преобразования чертежа; во-вторых, в проведении целенаправленной работы по дальнейшему формированию приемов чтения чертежа при решении названных задач.

Предлагаемые на данном этапе задачи содержат прямое указание на выполнение одной из следующих операций: «разрезать данную фигуру на части», «достроить данную фигуру до новой фигуры», «составить из данных фигур новую фигуру», «перекроить  данную фигуру в новую фигуру». Каждая из перечисленных операций имеет свои особенности, с которыми необходимо знакомить учащихся в процессе работы.

Рассмотрим операцию разрезания. При  её выполнении следует знать, что линия разреза может быть прямолинейной (рис. 17,а) или ломаной  (рис. 17б, в).

 

 

 

 

 

      

Результатом выполнения данной операции могут стать фигуры разного  или  одного наименования.

На рисунке 18 показаны некоторые  возможные способы разрезания трапеции. В данном случае фигура разрезана  двумя способами: 1) на два треугольника (а, г); 2) на четырехугольник и треугольник (б, в).

 

 

 

 

 

 

 

Выполнение рассматриваемой операции непосредственно связано с использованием приема подведения под понятие. Требование разрезать фигуру, например, на два  равных треугольника или на треугольник  и трапецию, предполагает выяснение факта принадлежности полученных при выполнении операции фигур к указанным в задании понятиям.

Способы достраивания фигуры до новой  могут выполняться по-разному. На рисунке 19 показаны два результата достраивания прямоугольного  треугольника  до  квадрата. В первом случае (рис. 19,а) операция выполняется с условием минимальности, во втором случае (рис. 19,б) данное условие не учитывается.

                           

 

  

 

 

 

 

 

При решении задач на достраивание есть возможность показать использование рационального приема чтения чертежа: включение одного и того же элемента в разные геометрические фигуры. Например, ученикам предлагается назвать фигуры, в состав которых входит выделенный треугольник (рис. 19,б). В данном случае необходимо выполнять  последовательное его включение в разные фигуры на чертеже, что сопровождается переходом от восприятия исследуемого треугольника в составе одной фигуры к восприятию его в составе другой фигуры.

Операция составления имеет  важную особенность. При её выполнении появляются сомнительные точки. Учеников необходимо познакомить с этим новым понятием и научить определять места возможного их появления. С этой целью предлагаются задачи, в которых демонстрируются различные ситуации, возникающие при составлении из нескольких частей новой фигуры.

Рассмотрим попытки составления  прямоугольника из разных фигур:

1. появляются две дополнительные вершины, в случае составления из четырех треугольников прямоугольник (рис. 20,а);
2. образуется  щель  между  парами  треугольников,  при  составлении  прямоугольника  из  четырех  треугольников (рис. 20,б);
3. происходит наложение двух прямоугольных треугольников при составлении прямоугольника из двух треугольников и четырехугольника (рис. 20,в).

                                 

 

 

 

 

В задачах на составление фигур  используется прием вычленения геометрической фигуры на чертеже. Для того чтобы  определить  ситуацию, возникающую  при составлении, необходимо каждую данную фигуру вычленить  в составе новой фигуры.