Теоретическое обоснование применения задач на разрезание в процессе обучения планиметрии

Умение преобразовать  чертеж означает возможность показать на нем динамику того, как из одной  фигуры можно получить другую фигуру с помощью метода разрезания фигур. Умения выполнить и прочитать чертеж являются составляющими данного умения.

Выделим действия, входящие в состав каждого умения.

1. Умение выполнить чертеж  предполагает следующие действия: а) выделить основную фигуру, заданную в условии, и изобразить ее, отразив существенные для этой фигуры свойства; б) ввести обозначения; в) начертить дополнительные элементы, о которых говорится в условии задачи; г) отметить на чертеже общепринятыми значками дополнительные сведения, о которых говорится в условии задачи.

Смысл требования «выполнить чертеж», как правило, в методической литературе не раскрывается. При обучении решению геометрических задач и  доказательству теорем четкое понимание  учащимися данного требования возникает в результате опыта.

Умение  читать  чертеж  предполагает  следующие  действия: а) подведение геометрической фигуры под  понятие; б) вычленение геометрической фигуры на чертеже; в) включение одного и того же элемента чертежа в разные геометрические фигуры; г) нахождение общих элементов разных геометрических фигур; д) разностороннее рассмотрение геометрической фигуры на чертеже.

2. Умение преобразовать чертеж  предполагает  действия, входящие в состав умений выполнить и прочитать чертеж, а также выполнение операций (разрезание, достраивание, составление, перекраивание). Преобразование фигуры можно показать либо на одном чертеже, либо выполнить два чертежа. На первом показать фигуру до преобразования, на втором – после преобразования.

Для полноценного формирования умения работать с геометрическим чертежом нужна специальная целенаправленная работа учителя. Исследуя роль чертежа в усвоении и применении геометрических теорем, Е.Н. Кабанова-Меллер показала, что усвоение геометрических теорем осуществляется на основе восприятия чертежа и тесно связано с развитием наглядных пространственных образов, поэтому правильно переработанный образ оказывает положительное влияние на мышление, являясь опорой в процессе применения теоремы.

Однако нельзя не учитывать, что геометрический чертеж при неправильном его использовании может оказывать тормозящее влияние на процесс усвоения геометрических понятий и теорем. На это указывают в своих  исследованиях  Г.А. Владимирский, Е.Н. Кабанова-Меллер, В.В. Репьев и др. Например, В.В. Репьев говорит о том, что однократная демонстрация чертежа фигуры при выяснении понятия приводит некоторых учащихся к ошибкам. Е.Н. Кабанова-Меллер отмечает, что если образ недостаточно переработан мыслью ученика, то он оказывает тормозящее влияние на процесс применения теоремы или плана доказательства. Например, учащиеся пытаются найти на чертеже элементы  расположенные так, как на чертеже, изображенном в книге, или стремятся сделать те же построения, которые полностью соответствуют книжному чертежу, а не правильному плану доказательств.

Формирование и развитие умения работать с чертежом является не самоцелью, а средством более осознанного  усвоения геометрических понятий и  отношений. Это процесс длительный и непрерывный, его нельзя связать с изучением какой-то определенной темы или группы тем. По мере накопления знаний о свойствах геометрических фигур совершенствуются приемы выполнения и чтения геометрического чертежа.

Известно, что и в построении, и в чтении пространственного  чертежа учащиеся испытывают большие трудности при изучении курса стереометрии, поэтому многие исследователи (Н.В. Четверухин и его последователи) разработали приемы обучения учащихся изображению пространственных фигур на плоскости и приемы чтения стереометрического чертежа. Но основы этого умения должны закладываться в курсе планиметрии, и от того, насколько учащиеся овладеют умением работать с чертежом при выполнении построений на плоскости и при чтении изображений двумерных объектов, во многом зависит успешное усвоение и курса черчения, и курса стереометрии.

В использовании чертежей в курсе  планиметрии средней школы можно  выделить два основных направления: иллюстративное и исследовательское.

Первое направление характеризуется  предназначением чертежа исключительно  для наглядного представления свойств геометрических фигур. Представители этого направления (А.П. Рыбакова, В.И. Лысенко, Ж. Султанова и др.) исходят из того, что использование средств наглядности в обучении геометрии обусловлено рядом психологических факторов: а) включением в процесс восприятия зрительного анализатора наряду со слуховым, что позволяет увеличивать количество и повышать качество сообщаемой информации; б) применением наглядности, что способствует осознанию учащимися обобщенных представлений об изучаемых объектах, т.е. о его существенных и несущественных признаках, основных свойствах и т.д. В этом случае работа с геометрическим чертежом рассматривается как работа с одним из видов наглядности. С этой точки зрения определяются требования к чертежу, определяется его место в процессе обучения геометрии. Но в указанных исследованиях слабо отражается роль ученика как субъекта, воспринимающего эту наглядность, так как здесь не показываются приемы конструирования наглядности самими учениками, приемы ее осмысливания в соответствии с поставленной целью.

Представители второго направления (Г.А. Владимирский, В.Г. Чичигин, И.Ф. Протасов и др.) рассматривают не только иллюстративную, но и исследовательскую функцию чертежа. Например, И.Ф. Протасов рассматривает формирование умений читать геометрический чертеж в связи с решением геометрических задач. Он формулирует ряд приемов чтения чертежа и раскрывает методику обучения каждому из приемов.

В частности, в его исследовании названы следующие приемы чтения чертежа:

• распознавание в составе чертежа известных геометрических фигур, вывода непосредственных следствий;
• включение отдельного элемента в разные фигуры чертежа и выражение его в терминах этих фигур;
• сопоставимое включение двух или нескольких элементов чертежа, вывод вторичных следствий;
• проведение вспомогательного построения и вывода следствий из него для расширения понимания чертежа;
• представление фигуры – оригинала по ее изображению на плоском чертеже;
• переформулирование задачи и ее вопроса в терминах нового понимания чертежа.

Обучение приемам чтения чертежа  проводится в неразрывной связи  с общей учебной практикой  решения задач на вычисление и  доказательство. Эта связь осуществляется в двух формах: вводится требование объяснения чертежа при усвоении геометрической задачи, а так же путем составления задач на доказательство на основе тех вторичных следствий, которые получены в процессе чтения чертежа.

Для формирования умения работать с  чертежом важно восприятие учащимися  чертежа. В работе Б.Г. Ананьева отмечается, что восприятие не обусловлено каким-либо  одним  органом  чувств,  т. е. не является, например, только зрительным, а базируется на совместной деятельности многих анализаторов при обязательном участии двигательного анализатора.

Восприятие зависит от условий  и характера практической деятельности. Его взаимосвязь с практической деятельности долгое время игнорировалась, и восприятие изучалось вне практической деятельности, которая в свою очередь рассматривалась независимо от него.

Согласно теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной психологом П.Я. Гальпериным и его сотрудниками, процесс обучения – это процесс овладения системой умственных действий. При этом овладение умственными действиями происходит в процессе интериоризации (перехода вовнутрь) соответствующего внешнего практического действия. Процесс перехода вовнутрь не является одномоментным, он довольно длительный, постепенный и состоит из ряда этапов. Начинается он с этапа предметного  действия; затем переходит в этап материализованного действия и, пройдя речевой этап, переходит в этап внутреннего умственного действия.

Остановимся на обязательном и важном этапе формирования умения - этапе  предметного действия. Когда ученика  знакомят с каким-либо действием, которым  ему нужно овладеть, то, согласно данной теории, надо начинать с выполнения некоторых операций над соответствующими материальными предметами. Психологической особенностью практических действий является то, что в их основе лежит двигательная активность. Она реализуется «во вне», протекает во внешне фиксированной форме, а потому легко поддается выявлению, оценке и коррекции в ходе обучения. Недостаточность практических действий и поспешный переход на новый этап формирования умений может стать причиной низкого уровня развития мыслительных операций, лежащих в основе умения работать с чертежом.

Одной из основных возможностей использования задач на разрезание мы видим в дальнейшем развитии умения читать и в формировании умения преобразовать чертеж.

Целенаправленному развитию умения читать чертеж на уроках геометрии недостаточно уделяется времени, что подтверждается  анализом данной проблемы в литературных источниках и нашими экспериментальными исследованиями. У учащихся возникают трудности при всестороннем восприятии чертежа (всех входящих в него элементов, вычленение отдельного элемента, включение его в  различные конфигурации данной фигуры, установление его свойств и  т. д.). Причина этого заключается в том, что на уроках геометрии школьников специально не учат приемам чтения чертежа. Но уже при решении самых первых задач  курса им необходимо уметь в комплексе выполнять действия, входящие в состав умения читать чертеж.

Раскроем содержание  приемов, входящих в состав умения читать чертеж.

1. Прием подведения геометрической фигуры под понятие.

Прием заключается в выяснении факта принадлежности данной фигуры к указанному в задаче понятию. Основанием для этого является наличие у нее всей совокупности существенных признаков понятия. К моменту обучения этому приему учащиеся должны знать существенные признаки изучаемых понятий и уметь проверять наличие каждого из них в воспринимаемой фигуре. Прием может быть применен к любому понятию в целях лучшего усвоения теоретических знаний. В частности, он способствует формированию у учащихся правильного представления о любой фигуре, способствует созданию зрительного образа, который затем служит эталоном её опознания  в составе другого чертежа.

Среди предлагаемых фигур должны быть такие, которые не подходят под изучаемое  понятие, чтобы учащиеся своевременно научились их исключать. Кроме того, важно, чтобы фигуры, принадлежащие объему того или иного понятия, не повторялись в одних и тех же стандартных положениях, а различались по  несущественным особенностям, например в расположении.

Данный прием  раскрывается через систему действий, которые учащиеся должны последовательно выполнить: а) вспомнить существенные признаки понятия; б) рассмотреть фигуру и проверить наличие у нее каждого из существенных признаков данного понятия; в) сделать соответствующий вывод.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

      Задача 10.

Разрежьте данную фигуру (рис. 10,а) тремя  прямолинейными разрезами на треугольники. Укажите среди них тупоугольные, прямоугольные остроугольные треугольники.

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке 10 (б, в) пунктирной линией показаны некоторые способы разрезания. Для решения задачи учащиеся вспоминают  существенные признаки остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников. Рассматривают рисунок, устанавливая их наличие, и только после этого делают вывод.

2. Прием вычленения геометрической фигуры на чертеже.

Этот прием применяется тогда, когда некоторая фигура включена  в состав других фигур, а необходимость  ее вычленения на чертеже появляется в результате чтения текста задачи. Прием состоит из следующих действий: а) выяснить, о какой фигуре говорится в задаче; б) выделить ее на чертеже.

Для обучения приему в самом начале целесообразно предлагать задачи, в  которых искомые фигуры выделены на чертеже, затем задачи, где требуется  самостоятельно решить, какую фигуру надо выделить для решения задачи.

Задача 11.

Даны фигуры (рис. 11,а). Определите, какой фигуры среди них не достает  для составления квадрата (рис. 11,б).

 

 

 

 

 

При решении задания  ученик мысленно фиксирует каждую данную фигуру и  сопоставляет ее с выделенными фигурами на квадрате. Он может действовать иначе: сначала вычленить выделенные части квадрата, и только затем сопоставить их с данными фигурами.

3. Прием включения  одного и того же элемента  чертежа в разные геометрические  фигуры.

Он состоит в том, что выбранный элемент чертежа последовательно включается в разные фигуры на чертеже. Включение сопровождается переходом от восприятия этого элемента в составе одной фигуры к восприятию того же элемента в составе другой фигуры. Восприятие одного и того же элемента в составе различных фигур приводит к осознанию его как общего элемента нескольких фигур.

Прием состоит из действий: а) выделить на чертеже элемент, о котором  говорится в задаче, б) последовательно  включать его в различные фигуры на чертеже. При этом необходимо соблюдать некоторый порядок, который позволил бы не упустить возможного включения данного элемента в другие фигуры на чертеже и избежать повторений.

Задача 12.

а) Разрежьте ромб MFKO на две равные части так, чтобы линия разреза являлась стороной восьми фигур, изображенных на рисунке 12. Запишите эти фигуры.

б) Запишите, в каких фигурах  отрезок NM является стороной.

 

 

 

 

 

 

Линия разреза ромба указана  на рисунке пунктирной линией. Для решения задачи после определения линии разреза учащиеся последовательно включают отрезок MK (NM) в различные фигуры на чертеже.

4.Прием нахождения  общих элементов разных геометрических  фигур.

Он заключается в том, что  для указанных фигур на чертеже отыскивают определенный элемент, который является общим элементом этих фигур. Прием состоит из действий: а) вычленить на чертеже каждую из фигур, указанную в задаче, б) выделить общий элемент этих фигур.

Задача 13.

Найдите на рисунке 12  пары треугольников,  имеющих одну общую сторону.