Теоретическое обоснование применения задач на разрезание в процессе обучения планиметрии

В дальнейшем будем использовать следующие  названия учебников: учебник (1), учебник (2), учебник (3).

Авторы всех трех учебников применяют  метод разрезания фигур для вывода формул площадей многоугольников (параллелограмм, треугольник, трапеция). При выводе формулы площади для конкретной фигуры используется одна из операций (разрезания, достраивания, перекраивания). Для учеников это каждый раз новый путь доказательства. Отсутствие опыта выполнения таких операций над геометрическими фигурами, не позволяет им осознать  метод разрезания как единый инструмент для вывода формул площадей.

В учебнике (1) задачи на метод разрезания встречаются на всем протяжении курса 8-9 классов  при изучении различных  тем, а именно: они есть в четырех из пяти глав учебника: «Площади многоугольных фигур», «Метрические соотношения в треугольнике», «Многоугольники и окружность», «Преобразования». В учебнике (2) задачи на метод разрезания присутствуют в двух темах: «Четырехугольники», «Площади». В учебнике (3) – такие задачи только в теме «Площади фигур».

 Количество задач  каждого  вида отражено в следующей  таблице.                                                                        

                                                                             Таблица 1.                                                                                                                               

Виды заданий	Учебник 1	Учебник 2	Учебник 3
1. Разрезать	48	18	5
2. Составить	12	3	-
3. Перекроить	12	-	-
4. Достроить	2	1	-
Всего	74	22	5

 

Из таблицы видно, что большинство  задач решается с помощью разбиения  фигуры на другие фигуры. Меньше всего  задач на достраивание, хотя эта  операция используется при доказательстве теорем о площадях многоугольников во всех трех учебниках. В учебниках (2) и (3) нет задач на перекраивание, хотя авторы этих учебников  используют  способ перекраивания при доказательстве теоремы о площади параллелограмма. Следовательно, усвоение и использование метода не обеспечивается имеющимися задачами.

Из таблицы также видно, что, в отличие от  учебников (2)  и (3), учебник (1) содержит большее количество задач на разрезание. Есть основание  предполагать, что авторы придают  важное дидактическое значение этим задачам.

В последнее время появилась дополнительная учебная литература, в которой авторы также выделяют дидактическую линию задач на разрезание. Для учащихся 5-6 классов издано учебное пособие И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия». В этой книге есть параграф, посвященный разрезанию и складыванию фигур. В нем содержатся 29 задач на разрезание и составление фигур. В учебном пособии «Дополнительные главы к учебнику геометрии 8» (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев) отдельный параграф посвящен задачам на разрезание.

Анализ современных учебников  показал, что задачи на разрезание, встречающиеся в учебниках, носят  случайных характер и четко не связаны ни с какой конкретной темой планиметрии. Дидактические возможности их использования в планиметрии ранее не рассматривались в методике преподавания геометрии. Далее определим место использования задач на разрезание в курсе планиметрии.

Главной темой, в которой, на наш  взгляд, объективно заложены условия  использования задач на разрезание, является тема «Площадь» - одна из важных тем планиметрии. Заметим, что обычно решение задач по какой-либо теме направлено прежде всего на усвоение теоретического материала, который в ней излагается. Поэтому при изучении данной темы ученики должны, в первую очередь, научиться применять формулы площадей при решении задач. Но этой целью ограничиваться не стоит. Следует иметь в виду, что в дальнейшем площади находят широкое применение при решении разных задач. Желательно, чтобы и теоретический материал (вывод формул площадей) школьники усваивали самостоятельно.

В основе вывода формул площадей, как  мы уже отмечали, лежит метод разрезания фигур. Поэтому целесообразно, чтобы  ученики владели разрезанием  фигур как методом решения  задач. Иными словами, школьники  должны быть подготовлены к тому, чтобы самостоятельно предложить идею и способ разрезания конкретной фигуры для того, чтобы вычислить ее площадь. В итоге, возникает необходимость в специальном предварительном обучении решению задач на разрезание.

Методический вывод о целесообразности опоры на практическую деятельность учащихся в процессе изучения геометрии подтверждается  данными психологии (Н.А. Менчинская и Д.И. Богоявленский, Е.И. Кабанова-Меллер и др.).

Практические действия играют важную роль для осознания собственной  деятельности при решении задач, что неоднократно подтверждено современными исследованиями в области физиологии. И.М. Сеченов отметил, что в восприятии пространства основное значение имеют два «параллельных чувства»: зрение и осязание. Преимущество практического оперирования геометрической моделью по сравнению с ее зрительным восприятием на  начальных этапах обучения геометрии ясно. Все знают, как важно подержать в руках, «пощупать» новый предмет, без этого нельзя научиться хорошо его видеть и представлять, вычленить его существенные признаки. Но если геометрический объект уже хорошо знаком, почему же недостаточно просто на него смотреть? Оказывается, что полезно практически выполнять те преобразования геометрической фигуры, которые человек затрудняется осуществить мысленно. При этом важно, что решающий задачу сам преобразует фигуру, а не наблюдает за преобразованием, выполняемым по его просьбе другим человеком.

Следовательно, роль практических действий с моделью и роль зрительной опоры  на неё существенно разные. Практические действия служат основой формирования логического рассуждения, а не просто дополняют или завершают его. Практические и зрительные операции выступают в прямо противоположном отношении к мыслительным операциям: практические действия со средством наглядности являются основой для мыслительных операций, а зрительное его использование только опорой для мыслительных операций.

Рассмотрим задачу на перекраивание.

Задача 9.

Выпуклый четырехугольник разрезали  на четыре части по отрезкам, соединяющим  середины его противоположных сторон (рис. 9). Можно ли из этих частей сложить параллелограмм?

 

 

 

 

Выполнение чертежа четырехугольника, согласно условию задачи, и его  чтение не помогает получить ответ. Выполнить  мысленное преобразование фигуры сложно. Возникает необходимость выполнения практических действий с моделью данного четырехугольника, результат которых следует перенести на чертеж. Далее предстоит работать с динамичным чертежом (рис. 9), при чтении которого происходит всестороннее рассмотрение сразу двух фигур,  составляющих их элементов, нахождению общих элементов и выявление существенных свойств этих элементов. Такая работа  позволит установить зависимости и  связи элементов чертежа для обоснования факта получения параллелограмма. 

Таким образом, у учащихся возникает внутренняя потребность в доказательстве, хотя требование «докажите» в тексте задачи отсутствует. Установить истину позволяет логическое доказательство или опровержение выдвинутой гипотезы. По ходу решения задачи учащиеся самостоятельно формулируют гипотезу (из фигур, полученных при разрезании четырехугольника можно сложить параллелограмм). Осуществляя поиск ответа на основе практических действий, школьники попадают в ситуацию выбора нужного результата из возможных вариантов. При разрезании четырехугольника по средним линиям, получаются четыре части, имеющие равные стороны. Осознание способа составления фигуры является основой для логического рассуждения. Если складывать эти части, совмещая равные стороны, то получится четырехугольник. В противном случае получаются многоугольники, имеющие более четырех вершин.

Подтвердить предположение о том, что при составлении полученный четырехугольник является параллелограммом, помогает работа с динамичным чертежом. При его рассмотрении выделяются стороны новой фигуры и устанавливаются их свойства, после нахождения этих сторон как элементов первоначального четырехугольника. В этом случае происходит осознание способа решения задачи, учащиеся имеют возможность контролировать и корректировать свои действия по ходу её выполнения, логически подтверждать полученный результат.

Для решения задач на разрезание в теме «Четырехугольники» необходимо, чтобы учащиеся были заранее ознакомлены  с операциями разрезания, достраивания, составления, перекраивания. Такая возможность имеется при изучении предшествующих тем планиметрии. Например, с этими операциями можно познакомить школьников изучая равные фигуры, треугольники и их виды.

В задачах на перекраивание чертеж, выполненный в соответствии с  условием, не может помочь в её решении. Возникает необходимость в выполнении практических операций с моделью данного четырехугольника, которые дают возможность учащимся приобрести дополнительный практический опыт. Такая деятельность способствует всестороннему рассмотрению фигуры, т.е. школьники приобретают разносторонний наглядный опыт и у них развивается умение работать с чертежом. В процессе решения задачи внутренняя потребность в доказательстве проявляется как необходимость в обосновании неочевидного факта.

Таким образом, использование задач на разрезание в процессе обучения планиметрии способствует овладению методом разрезания фигур  и решению ранее обозначенных методических проблем.

§ 1.3. Задачи на разрезание как средство развития

умения работать с  чертежом

Под учебной деятельностью школьников понимается деятельность, направленная, во-первых, на приобретение теоретических знаний о предмете изучения; во-вторых, на овладение общими приемами решения связанных с ними задач. В учебной деятельности особое место занимает процесс овладения приемами учебной работы – умениями. Приобретенные человеком умения не только определяют качество его деятельности и обогащают его опыт, но могут стать показателем уровня общего умственного развития человека, качеств его ума.

В психолого-педагогической литературе термин «умение» применяется неоднозначно, единой трактовки этого понятия не существует. Умение рассматривается как владение умственными операциями или как возможность применять учеником нужный алгоритм для выполнения задания при условии, что ему известен этот алгоритм. Умение понимается как перенос ранее сформированных знаний и операций в новые условия в соответствии с поставленной целью или как система действий, связанных определенными отношениями и направленных на решение тех или иных задач.

Процесс формирования умений всегда носит сознательный характер. Для того чтобы овладеть каким-либо умением, человек должен не только осмыслить цель своей деятельности, но и сознательно усвоить приемы и овладеть средствами практического применения имеющихся у него знаний. Умение возникает, когда учащийся, пользуясь знанием о том, как надо действовать, практически овладевает способом действий, необходимым для решения определенных познавательных задач.

Умения могут быть усвоены с  разной степенью самостоятельности  и продуктивности. Учащийся может овладеть умением, пользуясь конкретным образцом, подсказанным учителем или приведенным в учебнике. Можно научиться действовать, отдаляясь от образца, обобщая и преобразуя конкретные действия, предложенные в нем, соотнося их с большим количеством разнообразных предметных объектов. Можно, не пользуясь образцом, найти другие пути осуществления деятельности для решения задачи. В этом случае, добиваясь результатов, внешне аналогичных предыдущим, ученик овладевает умением в высшей степени самостоятельно и продуктивно.

Для образования умений нужны планомерные  упражнения, основанные на последовательном варьировании и усложнении условий  деятельности, чтобы человек мог  сознательно учесть влияние этих факторов, приобрести практический опыт, необходимый для успешного приобретения знаний и навыков в решении новых задач.

Формирование умений протекает  наиболее эффективно в проблемных ситуациях, стимулирующих учащихся к активным, творческим поискам новых способов получения недостающих знаний. Самостоятельно приобретенные знания не только успешно используются при решении широкого круга конкретных задач, но и становятся эффективным средством развития личности.

Геометрическими умениями будем называть умения, непосредственно  или опосредованно  связанные с геометрическими фигурами. Одним из таких умений является умение работать с чертежом.

Геометрический чертеж является сочетанием изображения и  обозначения. Он не может быть эффективно использован без специального обучения способам его выполнения, чтения, преобразования.

В методической литературе встречается  понятие «графические умения», формированию и развитию которых уделяется  большое внимание в разных учебных  дисциплинах: черчении, алгебре, геометрии.

Б.Ф. Ломов , В.И. Лысенко, Ф.А. Орехов и др., рассматривая графическую деятельность, подразделяют её на три основных компонента: наблюдение, построение, измерение, считая, что в процессе обучения такой деятельности у школьников нужно формировать умение наблюдать, измерять, выполнять и читать чертеж.

Графическая деятельность в связи с обучением алгебре и началам анализа исследовалась последние годы Ф.Б. Сушковой, П.Г. Сатьяновым и др., которые под графическими умениями понимают умения строить и читать графики функций.

Понятие «умение работать с чертежом» можно представить тремя основными видами умений:

• умение выполнять чертеж в соответствии с условием задачи;
• умение читать чертеж;
• умение преобразовать чертеж.

Умение выполнить чертеж означает, что учащиеся могут переводить текст  условия задачи на язык чертежа. Обратным ему является умение прочитать чертеж. В этом случае происходит перевод задачи с геометрического языка на язык символов или естественный язык.