Теоретическое обоснование применения задач на разрезание в процессе обучения планиметрии

При решении задач, где требуется перекроить данную фигуру в новую, следует выполнить две операции: а) разрезать фигуру  на части; б) из полученных частей составить новую фигуру.

Например, при перекраивании параллелограмма ABCD в прямоугольник A₁B₁C₁D₁, его разрезают на три части, из которых составляют прямоугольник (рис. 21).

 

 

 

 

 

 

Показать на одном чертеже обе  фигуры (до и после перекраивания) не всегда бывает легко. Случай перекраивания равнобедренного треугольника в ромб лучше демонстрировать на разных чертежах (рис. 22).

 

       

 

 

 

 

 

 

При выполнении перекраивания одной  фигуры в другую рабочим становится прием разностороннего рассмотрения геометрической фигуры на чертеже, в состав которого входят приемы: подведение геометрической фигуры под понятие, вычленение геометрической фигуры на чертеже, включение одного и того же элемента чертежа в разные геометрические фигуры, нахождения общих элементов разных геометрических фигур. Определяя, на какие части разрезается данная фигура, устанавливая их равные элементы, учащиеся  при составлении новой фигуры включают исследуемые элементы в различные геометрические конфигурации (рис. 21, 22).

Все описанные операции по преобразованию чертежа могут выполняться учениками  как мысленно, так и  практически  в зависимости от особенности конкретной задачи и методических целей обучения. Мысленное выполнение операций требует от ученика, с одной стороны, умение работать с чертежом и развитого образного мышления, а с другой стороны, оно требует меньше времени по сравнению с практическим выполнением операций.

Следует отметить, что на первом этапе  обучения  в задачах используются фигуры, хорошо знакомые учащимся, поэтому все операции они могут легко выполнять мысленно на чертеже.

Кроме задач, для решения которых  требуется выполнить некоторые операции, на данном этапе предлагаются также задачи, в которых операции уже выполнены и требуется только правильно прочитать чертеж. В качестве примера рассмотрим следующие задания.

1. Назовите фигуры, на которые разрезан пятиугольник (рис. 23,а).
2. Назовите фигуры, из которых составлен пятиугольник (рис. 23,а).

 

 

 

 

 

 

 

У учеников должно быть разное восприятие данного пятиугольника при выполнении этих, казалось бы, похожих заданий. В первом случае, для того чтобы  назвать фигуры, на которые разрезан пятиугольник, необходимо их вычленить из состава данного многоугольника. При выполнении этого задания учащиеся должны сначала увидеть фигуру целой и только потом составляющие её части. При выполнении второго задания используется прием включения  отдельных фигур в новые конфигурации, т.е. школьники сначала  воспринимают части многоугольника как отдельные фигуры и лишь затем объединяют их в единую фигуру.

3. Определите, где могут появиться   сомнительные точки при составлении  пятиугольника (рис. 23,а). Обозначьте  эти места знаком вопроса.

Ранее мы говорили о том, что сомнительная точка появляется там, где происходит «слияние» двух сторон разных фигур, входящих в состав одной фигуры. Эту мысль можно выразить и по-другому. Сомнительная точка будет там, где один и тот же отрезок является одновременно сторонами двух фигур, входящих в состав одной фигуры (рис 23,б).  При выполнении такого задания отрабатывается прием включения одного и того же элемента в разные геометрические фигуры.

Таким образом,  на данном этапе  происходит дальнейшее развитие у учащихся умения работать с чертежом. Используя задачи на разрезание, мы избегали стандартного чертежа (горизонтальное расположение фигур), поскольку, на наш взгляд, использование такого чертежа способствует тому, что школьники связывают формируемое понятие только с фигурами определенного вида и положения. Именно такой чертеж вызывает у учащихся неверные ассоциации, в результате которых в содержание понятия вносятся лишние признаки, являющиеся частными признаками демонстрируемой фигуры.

Итак, усвоение содержания рассмотренных  операций и использование рациональных приемов чтения чертежа обеспечивается за счет выполнения системы упражнений, к которой предъявляется ряд требований:

• в задачах должно быть представлено все разнообразие особенностей этих операций;
• любую из этих операций можно выполнять либо мысленно, либо фактически (фактическое выполнение этих операций необходимо для объяснения понятия «сомнительные точки» и для обучения способу их нахождения);
• в первых упражнениях используются такие фигуры, на которых ученики могут выполнять данные операции мысленно.

Далее приведем некоторые задачи, предлагаемые учащимся на первом этапе обучения.

1. Составьте квадрат, используя  четыре из пяти данных фигур (рис. 1). Определите, какая фигура при этом останется лишней?

 

 

 

 

2. Разрежьте фигуры на рисунке 2 на три равные части.

3. Разрежьте фигуру на рисунке  3 на две равные части так,  чтобы можно было из этих частей составить квадрат.

4. Разрежьте фигуру на рисунке  4 на  четыре равные части и  сложите из этих частей квадрат с квадратным отверстием посередине.

 

 

 

 

5. На рисунке 5 трапецию перекроили  в треугольник (а), параллелограмм (б), прямоугольник (в). Найдите и  обозначьте сомнительные точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Можно ли из фигур а), б), в)  рисунка 6 составить квадрат со стороной пять клеток. Если нет, то определите какую фигуру следует добавить, чтобы получился указанный квадрат.

 

 

 

 

7. Какие многоугольники можно  сложить:

- из двух равных треугольников; 

- из трех равных прямоугольных треугольников?

8. Нарисуйте такой четырехугольник,  который можно разрезать одной прямой:

- на три треугольника;

- треугольник и пятиугольник.

9. Дан остроугольный треугольник.  Пристройте к нему равнобедренный  треугольник так, чтобы получился  новый треугольник. Выполните это разными способами.

Овладение методом разрезания фигур, формирование умения преобразовывать  чертеж при решении задач на перекраивание  служат целью второго этапа обучения.

Здесь операция перекраивание выполняется  учащимися практически. Из бумаги вырезается и разрезается на части данная фигура, из частей которой затем составляется новая фигура. Исследуемые задачи обладают важной особенностью. Они содержат в неявной форме проблему доказательства. Доказывать необходимо  два следующих утверждения:

- в составленной  фигуре сомнительных точек нет.

Например, параллелограмм разрезали  на две части и из этих частей составили новую фигуру (рис. 24). Доказательство отсутствия сомнительных точек  позволяет  сделать вывод только о том, что  полученная фигура является четырехугольником. Но пока нет веских оснований для утверждения, что новый четырехугольник – прямоугольник;

- составленная фигура обладает  требуемыми признаками.

В нашем случае необходимо доказать, что составленный четырехугольник  является прямоугольником. Следовательно, ученик должен установить существенные признаки, которыми новая фигура обладает.

                                                     

 

 

 

 

 

 

На данном этапе учащиеся имеют  возможность приобрести дополнительный наглядный и практический опыт работы с геометрическими фигурами. При решении задач на перекраивание необходимо использовать два чертежа. Сначала выполняется чертёж данной в условии фигуры. Затем работа продолжается с её моделью, которая преобразуется практически. Она разрезается, и из полученных частей  составляется модель новой фигуры, которая затем переносится на новый чертеж. Таким образом, получается два чертежа, на которых видно начало преобразования и конечный его результат. Сам процесс преобразования выполнялся практически. Следовательно, на этом этапе имело место практическое применение метода разрезания.

Убедиться в справедливости данного  тезиса можно при подробном рассмотрении решения задачи 15, которое будет  выполнено далее  (стр. 109).

Приведем некоторые задачи второго этапа обучения.

1. Квадрат разрезан на четыре  части так, как показано на  рисунке 1. Можно ли из полученных  частей составить равнобедренный треугольник?

2. В равностороннем треугольнике  отмечены середины сторон и  их проекции на основание. Через  отмеченные точки проведены две прямые так, как показано на рисунке 2. Можно ли из полученных при разрезании треугольника частей сложить квадрат?

3. Выпуклый четырехугольник разрезали  на четыре части по отрезкам, соединяющим середины его противоположных  сторон (рис. 3). Можно ли из этих частей сложить параллелограмм?

 

 

 

 

 

4. Два одинаковых выпуклых четырехугольника  разрезали: первый – по одной  из диагоналей, а второй – по  другой диагонали (рис. 4). Можно ли из четырех полученных треугольников составить параллелограмм?

 

 

 

 

5. Квадрат разрезан на четыре  части двумя взаимно перпендикулярными  прямыми, проходящими через его  центр, как показано на рис. 5. Можно ли из этих частей  составить параллелограмм?

6.Правильный шестиугольник разрезали  на пять треугольников, как  показано на рисунке 6. Можно ли из этих частей составить:

- ромб,

- прямоугольник?

 

 

 

 

 

 

7. Перекроите, сделав лишь один  разрез:

• квадрат в прямоугольный треугольник;
• прямоугольник в параллелограмм;
• остроугольный равнобедренный треугольник в тупоугольный;
• равнобедренную трапецию в прямоугольник.

Цель третьего этапа заключается в самостоятельном применении учащимися метода разрезания фигур при выводе формул площадей многоугольников.

Весь теоретический материал предлагается в виде задач: «выведите формулу  для нахождения площади параллелограмма (треугольника, трапеции, прямоугольника). Метод разрезания к этому моменту должен стать для учащихся инструментом в решении  задач, связанных с площадями. Кроме того, процесс преобразования данной фигуры выполняется  мысленно, а результат его  вносится как дополнение на исходный чертеж.

Прежде чем вывести формулы  площадей многоугольников решаются  задачи на сравнение площадей двух фигур без использования формулы. Такие задания являются подготовительными  для вывода формул площадей. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 17.

Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах равнобедренного  прямоугольного треугольника, равна  площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Для решения задачи достаточно разрезать квадраты, построенные на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника, на равные треугольники; выразить сумму площадей построенных квадратов через площадь треугольника, полученного при их разрезании; сделать окончательный вывод.

Решая такие задачи, ученик выполняет следующие действия: 1) преобразует данную в условии фигуру, т. е. выполняет с ней одну из четырех операций; 2) сравнивает площади фигур, используя свойства площадей.

По существу, именно здесь мы показываем ученикам, что при решении многих задач полезно пробовать преобразовывать фигуры.

Возможна различная последовательность изучения площадей многоугольников. Согласно традиции, можно начать изучение площадей с площади прямоугольника. Считая известной формулу нахождения площади  прямоугольника и применив метод разрезания фигур, возможно получение формулы площади любого другого многоугольника изображенного на рисунке 25.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ученик должен осознать, что изучение площадей можно начинать с любого многоугольника, главным  является метод, который при этом используется.

Формулы площадей всех многоугольников, изучаемых в данной теме, могут быть выведены учащимися самостоятельно на одном уроке. Для этого им предлагаются различные цепочки задач (рис. 26). Например, за основу берем площадь треугольника, считая при этом её известной. С помощью метода разрезания и формулы площади треугольника получаем формулы площадей остальных многоугольников.

 

 

 

 

 

 

 

Работа, проведенная с учениками  на первых двух этапах, позволяет предложить ученикам самостоятельно составить цепочки задач для вывода формул площадей многоугольников.

Приведем примеры некоторых  задач третьего этапа обучения.

1. Докажите, что площадь правильного  восьмиугольника равна произведению  наибольшей и наименьшей из  его диагоналей.

2. Противоположные стороны выпуклого  шестиугольника равны и параллельны.  Соединив отрезками три вершины  шестиугольника через одну, как  показано на рисунке 1, получим  треугольник. Докажите, что площадь  этого треугольника равна половине площади шестиугольника.               

3. В правильном восьмиугольнике  провели две  параллельные  диагонали. Докажите, что площадь  получившегося прямоугольника вдвое  меньше площади восьмиугольника (рис. 2).

4. Точку пересечения средних  линий выпуклого четырехугольника  соединили с его вершинами, как показано на рисунке 3. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей незаштрихованных треугольников.

 

 

 

 

 

 

5. На гипотенузе и катете равнобедренного  прямоугольного треугольника построены  квадраты. Докажите, что площадь  квадрата, построенного на гипотенузе в два раза больше площади квадрата, построенного на катете. Придумайте способ построения квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата.