Лекции по "Технологии"

Лекция 11.  Гидравлический удар в трубопроводах

Скорость распространения гидравлической ударной волны в трубопроводе

Ударное давление

Протекание гидравлического удара во времени

Разновидности гидроудара

 

Теоретическое и экспериментальное  исследование гидравлического удара в трубопроводах впервые было проведено известным русским учёным Николаем Егоровичем Жуковским в 1899 году. Это явление связано с тем, что при быстром закрытии трубопровода, по которому течёт жидкость, или быстром его открытии (т.е. соединении тупикового трубопровода с источником гидравлической энергии) возникает резкое, неодновременное по длине трубопровода изменение скорости и давления жидкости. Если в таком трубопроводе измерять скорость жидкости и давление, то обнаружится, что скорость меняется как по величине, так и по направлению, а давление - как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения по отношению к начальному. Это означает, что в трубопроводе возникает колебательный процесс, характеризующийся периодическим повышением и понижением давления. Такой процесс очень быстротечен и обусловлен упругими деформациями стенок трубы и самой жидкости.

Подробно рассмотрим его картину для случая полного и прямого гидравли ческого удара.

Будем считать, что в  исходном состоянии трубопровод  открыт. Жидкость движется по трубе со скоростью V>0. Давление в жидкости равно Р_о.

Трубопровод мгновенно  закрывается. Слои жидкости, натолкнувшись на заслонку крана, останавливаются. Кинетическая энергия жидкости переходит в деформацию стенок трубы (труба у заслонки расширится), и жидкости (давление у заслонки повысится на величину Р). На остановившиеся у заслонки слои жидкости будут набегать следующие, вызывая сжатие жидкости и рост давления, который будет с некоторой скоростью распространяться в сторону противоположную направлению скорости движения жидкости. Переходная область в сечении A-A называется ударной волной. Скорость перемещения сечения A-A(фронта волны) называется скоростью распростра нения ударной волны и обозначается буквой а. Такой процесс проходит в период времени .

В момент времени  весь трубопровод окажется расширенным, а жидкость сжатой и неподвижной. Но такое состояние неравновесное. Поскольку у источника давление Р_о, а в трубе Р = Р_о+ Р, то жидкость начнёт двигаться в сторону меньшего давления, т.е. из трубы в резервуар.

Этот процесс начинается от начала трубы. Жидкость будет вытекать из трубы в резервуар с некоторой скоростью V. Сечение A-A (ударная волна) начнёт перемещаться к концу трубы со скоростью а. При этом давление в трубе будет снижаться до P₀.

Этот процесс будет  происходить в период времени  .

Энергия деформации жидкости переходит  в кинетическую энергию, и жидкость приобретает некоторую скорость V, но направленную в обратную сторону. Во всём трубопроводе устанавливается давление Р_о. По инерции жидкость продолжает двигаться к началу трубы и начинает испытывать деформации растяжения, что приводит к уменьшению давления вблизи заслонки.

Возникает отрицательная ударная  волна, движущаяся от конца трубы  к началу со скоростью а, и за фронтом волны остается сжатая труба. Кинетическая энергия снова превращается в энергию деформации (сжатия).

В момент времени  вся труба окажется сжатой, а волна достигает начала трубы. Давление вблизи источника выше, чем во фронте. Из-за этого слои жидкости под действием перепада давления начинают двигаться к концу трубы (к заслонке) с некоторой скоростью V>0, а давление поднимается до Р_о.

Поэтому период времени  происходит процесс выравнивания давления в трубопроводе. При этом происходит движение ударной волны со скоростью а от начала трубы к её концу.

 

 

В момент времени  ударная волна достигает конца трубы.

Далее весь процесс начинается сначала. При исследовании этого процесса возникает три основных вопроса. Первый  - какова скорость протекания этого колебательного процесса и от чего она зависит? Второй вопрос – как сильно меняется давление в трубопроводе за счёт описанного процесса? И третий – как долго может протекать этот процесс?

Скорость распространения гидравлической ударной волны в трубопроводе

Изменения давления и скорости потока в трубопроводах происходят не мгновенно в связи с упругостью твёрдых стенок трубы и сжимаемостью рабочей среды, а с некоторой конечной скоростью, обусловленной необходимостью компенсации упругих деформаций жидкости и трубы. Рассмотрим случай когда в трубопроводе длиной L и площадью сечения ω под давлением Р находится жидкость, плотность которой ρ. Предположим, что в момент времени t в сечении 1 – 1 давление повысится на величину dp. Это повышение вызывает увеличение плотности на величину dρ, а также расширение внутреннего диаметра трубы. Следовательно, площадь проходного сечения увеличится на величину dω. В результате увеличится объём W участка трубы на величину dW. За счёт этого произойдет увеличение массы жидкости находящейся в трубе на участке длиной L. Масса увеличится за счёт увеличения, во-первых, плотности жидкости, во-вторых, за счёт увеличения объёма W.

Такая ситуация рассматривалась при  выводе уравнения неразрывности потока в дифференциальной форме, с той только разницей, что там рассматривалось лишь изменение массы во времени, без учёта вызвавших это изменение причин . По аналогии с приведённым уравнением запишем выражение, описывающее изменение массы за счёт изменения давления

.

Жидкость под действием  указанного повышения давления устремится с некоторой скоростью а в слои с меньшим давлением, в которых также будет повышаться плотность и увеличиваться напряжение в стенках трубопровода, способствующее увеличению площади трубопровода. В связи с этим потребуется некоторое время на распространение этих деформаций вдоль трубопровода.

С другой стороны, перемещение  массы dm за время dt происходит под влиянием результирующей F_р сил давления, действующих вдоль линии движения на торцовые поверхности цилиндрического объёма длиной L

 

В этом случае уравнение  импульса силы может быть представлено в следующем виде

.

Отсюда

.

Имея в виду, что  , и подставив это в предыдущее выражение, получим

Заметим, что произведение

Приравняем оба выражения  для  и получим:

.

Выразим из последнего равенства  величину a²

Разделим числитель  и знаменатель на W, а первое слагаемое в знаменателе искусственно умножим и разделим на ρ:

.

Обратим внимание на то, что  а . После подстановки этих равенств в последнее выражение и извлечения корня получим выражение для скорости распространения ударной волны, которая, по сути, является скоростью распространения упругих деформаций жидкости в трубе.

Здесь первое слагаемое  под корнем характеризует упругие  свойства рабочей среды (жидкости), а – второе упругие силы материала трубы.

Рассмотрим подробнее эти  слагаемые.

Как известно из гидростатики, сила, действующая на цилиндрическую поверхность, равна произведению давления на проекцию площади этой поверхности в направлении действия силы. На рассматриваемый участок трубы с толщиной стенок δ, длиной L и диаметром D действует изнутри давление P. Вследствие этого возникает разрывающая сила F, равная

.

В стенках трубы возникает  сила сопротивления , равная произведению площади сечения стенок трубы на внутренние напряжения в материале стенок трубы, т.е.

.

Если приравнять две  эти силы, получим равенство

,

из которого найдём выражение, определяющее  внутреннее напряжение в стенках трубы  :

Полагая, что относительное увеличение диаметра трубы, равное , прямо пропорционально напряжению в стенках трубы, можно записать

где Е_т  - коэффициент пропорциональности, который является модулем упругости материала трубы.

Из двух последних  выражений следует, что абсолютное приращение радиуса сечения трубы  может быть выражено формулой

Запишем выражение, определяющее увеличение площади сечения трубы:

где  ω – начальная площадь сечения трубы,

ω_р – площадь сечения трубы при давлении P.

Пренебрегая малой величиной  высшего порядка ΔR² и подставив выражение для ΔR, получим

Продифференцировав это  выражение по P и рассматривая ω как функцию, зависящую от P, получим:

В итоге слагаемое, описывающее  упругие свойства материала трубы  в выражении для скорости распространения  ударной волны, можно представить в следующем виде:

Теперь рассмотрим слагаемое, описывающее упругость жидкости . Ранее при рассмотрении свойств жидкости было установлено, что если изменение объёма происходит за счёт изменения плотности, то можно определить коэффициент сжимаемости жидкости β_w:

Часто этот коэффициент выражают через обратную величину, называемую модулем упругости жидкости E_ж, т. е.:

Отсюда следует, что  второе слагаемое, характеризующее  упругие свойства рабочей среды, может быть представлено в виде:

Таким образом, окончательно выражение для скорости распространения ударной волны в упругом трубопроводе можно переписать в следующем виде:

где  - плотность жидкости,

D - диаметр трубопровода,

- толщина стенки трубопровода,

Е_т – объёмный модуль упругости материала трубы,

Е_ж - объёмный модуль упругости жидкости.

Из формулы следует, что скорость распространения ударной  волны зависит от сжимаемости жидкости и упругих деформаций материала трубопровода.

Ударное давление

Для выяснения величины подъёма давления Р применим теорему о сохранении количества движения (импульса силы). Для этого рассмотрим элементарное перемещение участка жидкости длинной dL за время dt. Учтём, что  при прямом гидроударе кинетическая энергия ударной волны полностью превращается в потенциальную, т.е. скорость жидкости V становится равной нулю 0.

Импульс силы, под действием  которого происходит это движение, равен:

.

Изменение количества движения рассматриваемого объёма длиной dL будет:

,

Повторимся: скорость во второй скобке равна 0, т.к. рассматриваемый объём жидкости останавливается.

Приравнивая эти выражения  по теореме о сохранении количества движения, получим:

.

Отсюда выразим  величину повышения давления ΔP:

.

После замены дроби скоростью a, окончательно будем иметь:

,

где  V - скорость жидкости в трубопроводе до возникновения гидроудара,

  - плотность жидкости,

  а – скорость распространения ударной волны.

Если в эту формулу  подставить выражение описывающее a, то придём к формуле, носящей имя Жуковского:

Протекание гидравлического  удара во времени

Рассмотренный ранее  процесс распространения ударной  волны в трубопроводе не происходит бесконечно долго. В опытах Жуковского было зарегистрировано по 12 полных циклов. При этом величина ударного давления ∆P постепенно уменьшалась.

Уменьшение давления вызвано трением в трубе и  рассеиванием энергии в резервуаре, обеспечивающем исходный напор. На графике сплошной заштрихованной областью показано теоретическое изменение давления при гидроударе. Прерывистой линией показан примерный вид действительной картины изменения давления.

Разновидности гидроудара

Если трубопровод перекрыть  не полностью, то скорость жидкости изменится не до нуля, а до значения V₁ . В этом случае может возникнуть неполный гидроудар, при котором величина повышения давления (ударное давление) будет меньше, чем в первом случае, а формула Жуковского примет вид

Приведённые формулы  справедливы только в том случае, если время закрытия крана t_ЗАК меньше фазы гидравлического удара , т.е. .

В том случае, если , возникает непрямой гидроудар. Для него характерно то, что отразившаяся от резервуара в начале трубы ударная волна возвращается к заслонке крана раньше, чем он будет полностью закрыт. Величина Р в этом случае будет меньше, чем при прямом гидроударе. Её приближенно (считая, что изменение Р в трубопроводе происходит по линейному закону) можно определить по формуле:

В гидроприводах технологических  машин, станков и т.п. очень часто  возникает так называемый гидроудар в тупиковом трубопроводе. В этом случае возможно увеличение ударного давления в два раза. Пояснить это можно следующим рисунком.