Лекции по "Технологии"

Лекция 4. Давление жидкости на окружающие её стенки

Сила давления жидкости на плоскую стенку

Центр давления

Сила давления жидкости на криволинейную стенку

Круглая труба под действием гидростатического давления

Гидростатический парадокс

Основы теории плавания тел

 

Важнейшей задачей гидростатики является определение сил, с которыми жидкость действует на окружающие её твёрдые стенки. Очень часто необходимо знать величину, направление и точку приложения сил, вызванных давлением, чтобы правильно провести прочностные расчёты элементов конструкции гидропривода (гидравлических машин, аппаратов и арматуры). Подобные задачи необходимо решать и в ходе проектирования гидротехнических сооружений (плотин, дамб, причалов и т.д.). Проанализируем решение наиболее часто возникающих (типовых) задач.

Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим произвольную площадку ds, расположенную на плоской наклонной стенке сосуда с жидкостью на расстоянии Y от оси X, и определим силы, действующие на эту площадку. Сила от давления, действующего на элементарную площадку dS, будет описываться формулой:

Если проинтегрировать это выражение по площади, можно определить полную силу, действующую на всю площадь целиком

Из рисунка ясно, что  в последнем выражении  . Подставив значение h в предыдущее выражение, будем иметь:

Из теоретической механики известно, что интеграл есть ни что иное, как статический момент площади S относительно оси 0X. Он равен произведению этой площади на координату её центра тяжести, т.е. можно записать

где Y_с – расстояние от оси X до центра тяжести площади S.

Подставив формулу момента в выражение силы, получим:

Анализ второго слагаемого показывает, что произведение это глубина положения центра тяжести площадки, а - избыточное давление жидкости в центре тяжести площадки. С учётом этого можно записать

Сумма в скобках в последнем выражении является абсолютным давлением в центре тяжести рассматриваемой произвольной площадки. Таким образом, можно сделать вывод: полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению её площади на величину гидростатического давления в центре тяжести этой стенки.

Однако необходимо учесть, что эта  сила не сконцентрирована в точке, а  распределена по площади. И распределение  это неравномерно. По этой причине  для расчётов, кроме величины силы действующей на наклонную площадку, необходимо знать точку приложения равнодействующей.

Центр давления

Распределённую нагрузку, действующую на  наклонную стенку, заменим сконцентрированной. Для этого найдём на наклонной стенке положение точки D, в которой приложена равнодействующая силы давления. Точку, в которой приложена эта сила, называют центром давления. Как уже неоднократно рассматривалось, давление, действующее в любой точке, в соответствии с основным уравнением гидростатики складывается из двух частей: внешнего давления P₀, передающегося всем точкам жидкости одинаково, и давления столба жидкости P, определяемого глубиной погружения этой точки.

Давление P0 передаётся всем точкам площадки одинаково. Следовательно, равнодействующая Fвн этого давления будет приложена в центре тяжести площадки S. При этом надо учитывать, что в большинстве случаев это давление действует и со стороны жидкости и с наружной стороны стенки.	Давление P увеличивается с увеличением глубины. При этом величина равнодействующей этой силы Fизб известна и равна , а точку её приложения необходимо определить.

Для нахождения центра избыточного давления жидкости применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы относительно оси 0X равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

где Y_D  - координата точки приложения силы F_изб,

         Y – текущая глубина.

 

 

Заменив в этом выражении F_изб и Y_D интегралом, в соответствии с упомянутым уравнением механики, будем иметь:

Отсюда выразим Y_D при этом

Интеграл в числителе  дроби является статическим моментом инерции площади S относительно оси 0X  и обычно обозначается J_x

.

Из теоретической механики известно, что статический момент площади относительно оси вращения равен сумме собственного момента инерции (момента инерции этой площади относительно оси проходящей через её центр тяжести и параллельной первой оси) и произведению этой площади на квадрат расстояния от оси вращения до центра её тяжести

.

С учётом последнего определения Y_D окончательно можно выразить в виде:

.

Таким образом, разница  в положениях ∆Y (глубинах) центра тяжести площадки (т. C) и центра давления (т. D) составляет

.

В итоге можно сделать  следующие выводы. Если внешнее давление действует на стенку с обеих сторон, то найденная точка D будет являться центром давления. Если внешнее давление со стороны жидкости выше давления с противоположной стороны (например, атмосферного), то центр давления находится по правилам механики как точка приложения равнодействующей  двух сил: силы, создаваемой внешним давлением, и силы, создаваемой весом жидкости. При этом, чем больше внешнее давление, тем ближе располагается центр давления к центру тяжести.

В гидроприводе технологического оборудования внешние давления в  десятки и сотни раз превышают  давления, вызванные высотой столба жидкости. Поэтому в расчётах гидравлических машин и аппаратов положение центров давления принимаются совпадающими с центрами тяжести.

Графическим изображением изменения гидростатического давления вдоль плоской стенки служат эпюры давления (рис.  ). Площадь эпюры выражает силу давления, а центр тяжести эпюры — это точка, через которую проходит равнодействующая сила давления.

При построении эпюр учитывают, что давление направлено нормально  к стенке, а уравнение Р = Ро + yh, характеризующее распределение гидростатического давления по глубине, является уравнением прямой.

Чтобы построить эпюры давления на вертикальную стенку, откладывают в выбранном масштабе давление по горизонтальному направлению, совпадающему с направлением сил давления (на поверхности жидкости и у дна), соединив концы этих отрезков прямой линией.

       

 

Рис.   Примеры  построения эпюр давления на стенку:

 

Эпюра абсолютного гидростатического  давления представляет собой трапецию, а эпюра избыточного — треугольник (рис. а).

Если плоская стенка, на которую действует жидкость, наклонена к горизонту под углом a (рис.   б), то основное уравнение гидростатики принимает следующий вид:

Таким образом, эпюры  абсолютного и избыточного гидростатического давления на наклонную стенку представляют собой соответственно наклонную трапецию и наклонный треугольник.

Если плоская стенка, на которую с двух сторон оказывает  воздействие жидкость, вертикальна, то на нее будут действовать параллельные и противоположно направленные силы гидростатического давления. Эпюра гидростатического давления на вертикальную стенку представляет собой вертикальную трапецию.

Эпюра гидростатического  давления на горизонтальное дно резервуара представляет собой прямоугольник, так как при постоянной глубине избыточное давление на дно постоянно.

Сила давления жидкости на криволинейную  стенку

Чаще всего необходимо определить силу, действующую на цилиндрическую поверхность, имеющую вертикальную ось симметрии. Возможны два варианта. Первый вариант - жидкость воздействует на стенку изнутри.

Во втором варианте жидкость действует на стенку снаружи. Рассмотрим оба этих варианта.

В первом случае выделим  объём жидкости, ограниченный рассматриваемым участком цилиндрической поверхности AB, участком свободной поверхности CD, расположенным над участком AB, и двумя вертикальными поверхностями BC и CD, проходящими через точки A и B. Эти поверхности ограничивают объём ABCD, который находится в равновесии. Рассмотрим условия равновесия этого объёма в вертикальном и горизонтальном направлениях. Заметим, что, если жидкость действует на поверхность AB, c какой то силой F, то с такой же силой, но в обратном направлении, и поверхность действует на рассматриваемый объём жидкости. Эту силу, перпендикулярную поверхности AB, можно представить в виде горизонтальной F_г и вертикальной F_в составляющих.

Условие равновесия объёма ABCD в вертикальном направлении выглядит, так:

;

где     P₀ – внешнее давление,

S_г – площадь горизонтальной проекции поверхности AB,

G – вес выделенного объёма жидкости.

Условие равновесия этого объёма в горизонтальной плоскости запишем с учётом того, что силы, действующие на одинаковые вертикальные поверхности AD и CE, взаимно уравновешиваются. Остаётся только сила давления на площадь BE, которая пропорциональна вертикальной проекции S_в поверхности AB. С учётом частичного уравновешивания будем иметь условие равновесия сил в горизонтальном направлении в виде:

где h_с- глубина расположения центра тяжести поверхности AB.

Зная  F_г  и F_в  определим полную силу F, действующую на цилиндрическую поверхность

Во втором случае, когда жидкость воздействует на цилиндрическую поверхность снаружи, величина гидростатического давления во всех точках поверхности AB имеет те же значения, что и в первом случае, т.к. определяется такой же глубиной. Силы, действующие на поверхность в горизонтальном и вертикальном направлениях, определяются по тем же формулам, но имеют противоположное направление. При этом под величиной G надо понимать тот же объём жидкости ABCD, несмотря на то, что на самом деле он, в данном случае и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на цилиндрической стенке легко можно  найти, если известны силы F_г  и F_в и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести рассматриваемого объёма ABCD. Задача упрощается, если рассматриваемая поверхность является круговой, т.к. равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности. Это происходит из-за того, что силы давления всегда перпендикулярны поверхности, а перпендикуляр к окружности всегда проходит через её центр.

Круглая труба под действием гидростатического давления

В гидравлических системах технологического назначения жидкость в основном передаётся по трубам круглого сечения. В водопроводах, канализационных и многих других трубопроводных системах, гидротехнических сооружениях широко используются трубы и различные резервуары круглого сечения. По этой причине задача определения нагрузки на трубу является весьма распространённой. В таких расчётах используется полученная ранее формула горизонтальной составляющей силы, действующей со стороны жидкости на криволинейную поверхность

Для труб небольшого диаметра, которые применяются в машиностроительном гидроприводе, давлением столба жидкости можно пренебречь ввиду его малости. Тогда уравнение примет вид

где P₀ – внешнее давление.

Рассмотрим трубу длиной l с внутренним диаметром D и толщиной стенок δ, находящуюся под действием гидростатического давления P. Это давление порождает разрывающие силы F_x. Из-за симметричности трубы такие разрывающие силы будут действовать одинаково во всех  направлениях. Для вертикальной плоскости эта сила будет равна

,

где произведение Dl – есть вертикальная проекция площади стенки

трубы.

Разрывающей силе будут  противодействовать силы реакции F_R, возникающие в стенках трубы. Площадь стенок трубы в любом осевом сечении составит:

Под действием разрывающих сил в стенках трубы будет возникать суммарная сила реакция F_R, равная по величине разрывающей силе, но направленная в противоположную сторону:

Отсюда находится напряжение σ в стенках трубы, вызываемое давлением внутри трубы. Оно равняется

Гидростатический парадокс

Рассмотрим три сосуда разной формы, заполненные жидкостью  до одного уровня h_c. Все сосуды такие, что имеют одинаковую площадь дна.

 В соответствии с общей  формулой определения силы, действующей на плоскую поверхность

,

можно вычислить силу, действующую на дно сосуда. Для  всех трёх сосудов эти силы окажутся одинаковыми и независящими от веса жидкости в сосуде. Но на опору все сосуды будут действовать с разными силами, равными весу сосудов с жидкостью. Этот факт получил название гидростатического парадокса.

Основы теории плавания тел

Будем считать, что в  жидкость плотностью ρ погружено тело объёмом V. Выберем систему координат, ось Z которой направим вниз, а оси X и Y вдоль свободной поверхности. Рассмотрим усилия, действующие на тело со стороны жидкости. Все горизонтальные составляющие, как было установлено выше, будут уравновешиваться. Для определения вертикальных составляющих выделим в твёрдом теле элементарный  цилиндрический объём с площадью поперечного сечения dS. На торцевые поверхности этого объёма действуют силы dF₁ сверху и dF₂ снизу.