Лекции по "Технологии"

Лекция 3.  Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости

Частные случаи интегрирования уравнений Эйлера

Покой жидкости под действием силы тяжести

Физический смысл основного закона гидростатики

Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью

Покой при равномерном вращении сосуда с жидкостью

 

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Они получены для общего случая относительного покоя жидкости. Возможны следующие варианты относительного покоя.

Первый вариант соответствует  абсолютному покою или равномерному движению сосуда с жидкостью. Такой вариант рассматривался при выводе основного уравнения гидростатики.

Второй вариант – вращение сосуда с жидкостью с постоянной угловой  скоростью ω вокруг центральной оси. Несмотря на то, что вся масса жидкости вращается вместе с сосудом,  частицы жидкости друг относительно друга не перемещаются, следовательно, весь объём жидкости, как и в первом случае, представляет собой как бы твёрдое тело. Давление в каждой точке жидкости не меняется во времени и зависит только от координат. По этим причинам жидкость подпадает под определение покоящейся.

Третий вариант аналогичен второму, только вращение осуществляется вокруг произвольно расположенной вертикальной оси. Во втором и третьем случае свободная  поверхность жидкости принимает  новую форму, соответствующую новому равновесному положению жидкости.

В четвёртом варианте сосуд с  жидкостью движется прямолинейно и  равноускоренно. Такой случай проявляется, например, в процессе разгона или  остановки автоцистерны с жидкостью. В этом случае жидкость занимает новое равновесное положение, свободная поверхность приобретает наклонное положение, которое сохраняется до изменения ускорения. Частицы жидкости друг относительно друга находятся в покое, и давление зависит только от координат.

Во всех перечисленных случаях на жидкость действуют, во-первых, силы веса, во-вторых, силы инерции, в-третьих, силы давления.

Рассмотрим в произвольной системе  координат X,Y,Z произвольную точку A. Вблизи этой точки выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого для простоты математических выражений параллельны координатным плоскостям.

 

 

Заметим следующее:

• давление является функцией координат (при этом в любой точке оно по всем направлениям одинаково),
• при переходе к точкам Ax( Ay, Az) меняется только одна координата на бесконечно малую величину dx( dy, dz), поэтому функция получает приращение только по одной координате,
• это приращение равно частному дифференциалу по соответствующей координате     

 Таким образом,  разность давлений, действующих  на противоположные грани параллелепипеда (внутрь рассматриваемого объёма), перпендикулярные  соответствующим осям, будет иметь вид:

 

Исходя из этого, определим  разности сил, вызванных давлением, в проекции на оси координат

Кроме сил давления на параллелепипед будут действовать  инерционные силы  в общем случае определяемые массой и ускорениями X, Y, Z на соответствующие оси

Учитывая, что параллелепипед находится в покое, сумма сил, действующих на него, равна 0:

Разделив систему уравнений  сил на массу рассматриваемого параллелепипеда, получим систему уравнений Эйлера:

На практике, чтобы  избавиться от частных производных, используют одно уравнение, заменяющее систему. Для этого первое уравнение  умножают на dx, второе на dy, третье на dz и складывают их:

В этой формуле сумма  в скобках является полным дифференциалом давления, который в результате оказывается  равным

Полученное уравнение  показывает, как изменяется давление при изменении координат внутри покоящейся жидкости для общего случая относительного покоя. Это уравнение впервые получил Леонард Эйлер в 1755

ПОВЕРХНОСТИ РАВНЫХ ДАВЛЕНИЙ

Поверхность, во всех точках которой значения гидростатического давления равны между собой, называют поверхностью равного давления или поверхностью уровня. На положение уровня свободной поверхности влияют силы тяжести и инерции.

Найдем величину равного  давления Р по трем частным производным. При Р=const и р # 0 значение полного дифференциала dP=0 и, следовательно, уравнение поверхности жидкости равного давления имеет вид

 

 

Это уравнение называется уравнением поверхности жидкости равного или постоянного давления. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи.

Первый случай, когда на покоящуюся жидкость действует одна внешняя сила, сила тяжести, тогда , , (направление ускорения свободного падения не совпадает с положительным направлением оси Z). В этом случае исходное  уравнение имеет вид

  или

т. е. получаем поверхности  равного давления, представляющие собой  семейство горизонтальных плоскостей. Каждому значению Z соответствует плоскость, точки которой имеют определенное постоянное значение давления. Свободная поверхность жидкости (для ограниченного объема), в данном случае—одна из плоскостей равного давления. Имеем в виду, что свободная поверхность — это поверхность на границе жидкой и газообразной сред. На свободную поверхность будет приложено постоянное давление равное атмосферному.

Сначала рассмотрим простейший случай покоя. Жидкость находится под действием силы тяжести. Это означает, что проекции ускорений на оси X и Y отсутствуют. Единственным ускорением является ускорение свободного падения g, т. е.:

,      ,      .

Тогда полный дифференциал давления после подстановки в  него ускорений примет вид:

.

После интегрирования этого  выражения получим:

.

Постоянную интегрирования, равную

^,

найдём, подставив параметры  свободной поверхности  и .

После подстановки этих значений в интеграл P будем иметь равенство:

 

Переписав это выражение  в другом виде, получим

Если обозначить (Z₀ - Z) через h, то приведённое равенство примет уже знакомый вид основного уравнения гидростатики

.

Из этого же равенства  можно получить следующий вид

,

или

Последнее выражение  часто называют основным законом гидростатики.

Физический смысл основного  закона гидростатики

 

Физический смысл основного закона гидростатики – закон сохранения энергии для покоящейся жидкости, который говорит о том, что механическая энергия любой частицы жидкости одинакова.

В этом выражении:

- потенциальная энергия единицы  веса жидкости, определяемая положением над нулевой линией,

- потенциальная энергия единицы  веса жидкости, зависящая от степени  её сжатия.

В геометрической интерпретации  константу  обозначают буквой H и называют гидростатическим напором, а саму формулу записывают в виде:

Слагаемые основного  закона гидростатики в этом случае называют:

- нивелирная высота,

- пьезометрическая высота.

 

Второй случай, когда поверхность равного давления может быть наклонной. Например, свободная поверхность бензина в железнодорожной цистерне, движущейся горизонтально с ускорением а (рис)

 

 

 В этом случае  единичная масса жидкости находится под действием силы тяжести Z= -1 *g и горизонтального ускорения силы инерции Х= -1*а (к цистерне приложена сила с ускорением а, а к жидкости—такая же по величине сила инерции с ускорением - а).

Составляющие массовых сил в уравнении получают значения:

 

Из вышеизложенного  следует, что свободная поверхность  бензина в цистерне представляет собой плоскость с углом наклона

 Уравнение в этом случае примет вид

После интегрирования получим зависимость распределения давления в любой точке цистерны с бензином:

 

 

Из этого выражения  следует, что наибольшее давление будет в точке z=0 и максимальным отрицательным значением х.

Покой при равномерном вращении сосуда с жидкостью

Рассмотрим сосуд с  жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью ω. На жидкость действуют внешнее давление, силы тяжести и инерционные силы. В результате их действия  жидкость принимает новое равновесное положение. Свободная поверхность принимает форму параболоида. Рассмотрим на этой поверхности произвольную точку N. Равнодействующая сила F, действующая в т. N, перпендикулярна к свободной поверхности. Величина этой силы увеличивается с увеличением радиуса, а угол её наклона к горизонту уменьшается. Из этого следует, что наклон этой поверхности к горизонту увеличивается с ростом радиуса. Таким образом, сила R определяет форму свободной поверхности. Найдём математическую формулу этой кривой.

 

 

Для данного случая относительного покоя силу F  можно разложить на две силы, сила тяжести G и инерции F_ин.

  

Силу инерции можно  разложить на две составляющие F_{ин х} и F_{ин y}.

 

 

Определим давление в жидкости, используя полный дифференциал давления

 

 

 

С учётом этого полный дифференциал давления примет вид

Проинтегрируем эту функцию

Результатом интегрирования будет являться выражение

Учитывая, что  , где r – радиус вращения, получим

Постоянную интегрирования C определим из условия, что при , тогда . Постоянная интегрирования с учётом принятых условий будет

Тогда формула, выражающая давление в жидкости, вращающейся  с постоянной угловой скоростью, примет вид

Заметим, что в итоговом выражении первое слагаемое, характеризует давление внешней среды. Второе слагаемое описывает давление, созданное столбом жидкости, находящейся ниже точки 0, т.е. глубиной под уровнем нулевой точки. Третье слагаемое характеризуется высотой над точкой 0, и, следовательно, описывает давление, создаваемое жидкостью, поднимающейся по краям сосуда, причём эта величина зависит от расстояния точки от оси вращения. Таким образом, оказывается, что давление в каждой точке жидкости, вращающейся с постоянной скоростью относительно вертикальной оси, складывается из внешнего давления и давления столба жидкости над этой точкой.

Найдем поверхности равного давления.

dр=0 то уравнение примет вид