Формирование понятия числа в курсе математики в начальных классах (на примере концентра многозначных чисел)

Следующие за 20 числа пишутся так: 21; 22; 23; и т.д.

Заметим, что здесь нет разницы между названием и написанием чисел: как мы называем число, так его и пишем.

Дальнейшие числа от 30 до 100 будут записываться по образцу записи чисел от 20 до 30.

Значит, единицы числа пишутся на первом месте справа, а десятки – на втором месте, т. е. левее единиц.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, возникающие в процессе счета, называются натуральными (целыми) числами, а совокупность этих чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральном рядом.

Наименьшим числом натурального ряда является единица, а наибольшего числа нет, так как, какое бы большое число мы ни взяли, увеличив его на единицу, получим новое число. Эту мысль можно выразить так: натуральный ряд чисел бесконечен [2; 3].

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий.

 

1.2 Гуманитарные  подходы к изучению нумерации  чисел

 

Богатые возможности для реализации гуманитарного подхода к обучению математике содержит в себе учебный материал темы «Нумерация чисел», в которой изложены сведения об обозначении чисел в речи и на письме. Эти сведения изучаются при работе по любым программам. (В математике сведения о принципах и правилах записи и чтения чисел, правилах выполнения арифметических действий с числами, записанными определенным образом, составляют содержание раздела «Системы счисления»).

Традиционно изучение системы записи и чтения чисел в начальной школе сводится к обучению детей записывать и по записи читать числа в десятичной системе. Десятичная система, десятичная запись при этом воспринимаются как единственно возможные. Чаще всего дети и не подозревают о том, что существуют и другие системы записи, системы обозначения чисел, что десятичная система - результат многовековой работы мысли человечества над решением проблемы: как бесконечное множество чисел записать конечным числом знаков так, чтобы запись легко читалась и облегчала сравнение чисел и выполнение действий с ними. Воспринимая действующую систему записи и чтения чисел как нечто абсолютное и неизменное, дети не отделяют содержание записи от самой записи, содержание и смысл понятия числа от формы обозначения его в речи и на письме. Последнее же значительно затрудняет понимание и освоение, как понятия числа, так и способов, и форм его обозначения.

В настоящее время в некоторых экспериментальных курсах сделаны попытки преодолеть отмеченные недостатки традиционного обучения. Наиболее полно вопросы обозначения чисел представлены в программах и учебниках, разработанных на основе концепции развивающего обучения В. В. Давыдова. Однако рассмотрение их полностью подчинено идее построения теории числа на основе понятия величины. Необходимость строить и изучение систем записи на основе этой теории мешает авторам показать проблему обозначения чисел всесторонне. Представленный в этих программах и учебниках подход в силу той же необходимости не может быть применен вне системы изучения чисел на основе понятия величины. Кроме того, и в этой системе не раскрывается и не ставится названная выше проблема, приведшая к созданию позиционных систем счисления и, в частности десятичной (хотя многое и сделано в этом направлении).

Изложим суть подхода, который, как показывает многолетняя опытная проверка, вполне доступен каждому учителю. Основу его составляют осознание детьми общей проблемы обозначения знаний и проблемы обозначения чисел; осознание гуманитарных, общекультурных аспектов знания о числе и способах его обозначения.

Числовые представления возникают у детей задолго до их поступления в школу. Слова-обозначения чисел приходят в жизнь ребенка из жизни взрослых и приобретают абстрактный смысл по мере накопления конкретных смыслов (два яблока, два пальца, две руки, две тысячи рублей, два шага, два метра, две куклы, две машины, два литра; один, два, три, и т. п.). Уровень, характер, содержание, степень осознанности этих представлений у разных детей различны и зависят как от обстоятельств их жизни, так и от индивидуальных особенностей. Представления об обозначении чисел в речи первоначально неразрывно связаны с числовыми представлениями, неотделимы от них.

При изучении чисел, на наш взгляд, сразу же должна вставать проблема их обозначения. Первоначально эта проблема возникает при обобщении и уточнении числовых представлений первоклассников. Средством такого обобщения и уточнения может быть конструирование способов количественного сравнения предметов и групп предметов по различным качествам — признакам, свойствам, а также конструирование способов обозначения результатов этого сравнения в речи и на письме.

Количественное сравнение предметов и групп предметов может проводиться на двух уровнях: установление отношений «больше», «меньше» или «столько же»; установление кратного отношения «сколько раз» без использования мерки-посредника и с ее применением. Количественное сравнение проводится после установления общего качества - признака, по которому возможно количественное сравнение. Например, книгу и тетрадь можно количественно сравнивать по длине каких-либо сторон, по массе, по объему, по числу страниц, по стоимости, по площади каких-либо поверхностей, по площади общей суммарной поверхности каждого предмета. Несколько кружков и несколько квадратов количественно можно сравнивать по длине составленных из них рядов, по ограничиваемой ими площади поверхности, по количеству отдельных предметов в группах (по количеству «штук» кружков и квадратов), по массе, по объему.

Уже при установлении отношений «больше», «меньше» или «столько же» («равно») полезно поставить перед детьми проблему обозначения результатов сравнения: «Мы вчера с вами сравнивали (по количеству «штук»), чего в этой коробке больше: квадратов или треугольников. Но я не помню результат. Плохо, что мы вчера никак не записали, никак не обозначили его. Придется заново сравнивать. Как бы вы предложили обозначить, записать, что квадратов меньше, чем треугольников?» Полезно сравнить различные способы выражения результатов сравнения — в слове, в предметных действиях, в графических знаках. При выполнении заданий на сравнение необходимо обращать внимание детей на то, что сказал, сообщил, показал, изобразил ученик, чтобы мы узнали результаты сравниваемых им предметов (групп предметов); как он сказал, показал, изобразил — с помощью каких слов, жестов, движений, действий с предметами, рисунков, письменных (графических) знаков; насколько точно, понятно удалось ему сообщить то, что он хотел; все ли одинаково его поняли.

Действенным средством осознания различий между содержанием знания и способом его выражения, осознания роли способа выражения в овладении этим знанием является отыскание детьми различных способов выражения одного и того же знания, различных способов его обозначения в речи, в предметных действиях, на письме. Покажем, как это средство может быть использовано при формировании понятия числа. Например, учащимся предлагаем сравнить две группы предметов, пересчитать которые они еще не в состоянии. С помощью составления пар дети устанавливают, что в обеих группах предметов поровну. Учитель предлагает обозначить количество отдельных предметов в одной из групп каким-либо словом, рисунком, графическим знаком (произвольным), какой-либо буквой. Принимается несколько предложений ребят. Слова, рисунки, знаки, буквы выносятся на доску (пять-шесть предложенных детьми вариантов). Затем учитель спрашивает:

- Они знают, что этих предметов  столько же, сколько этих (показывает  вначале первую, обозначенную группу, затем вторую). Количество этих предметов мы обозначили так «..» (показывает первый набор обозначений, предложенный детьми). Как же обозначить количество этих предметов (показывает другую группу предметов)? Не было еще случая, чтобы дети не догадались, что для обозначения одинакового количества целесообразно использовать одинаковые обозначения.

- Почему по этим обозначениям  можно сразу же догадаться, что  предметов поровну? Затем они демонстрируют еще одну группу предметов, подобранную им так, что предметов в этой группе столько же, сколько их в каждой из ранее рассмотренных.

Нам известно, что из этих предметов столько же, сколько и этих (показывает на одну из ранее рассмотренных групп). Кто не верит, может проверить, составив пары. Обозначьте их количество словом, рисунком, знаком так, чтобы сразу было ясно, что их столько же, сколько и этих предметов (показывает на одну из ранее рассмотренных групп).

Объясните, почему вы обозначили так? (Если количество этих предметов обозначено так то и количество этих предметов, поскольку их столько же, обозначу тем же словом, знаком, рисунком, буквой.). А теперь сосчитайте (посчитаем вместе) количество отдельных предметов в каждой группе. Как принято в математике обозначать это количество? (Словами — числительными, знаком — соответствующей цифрой или цифрами, рисунком, например точечным). Значит, придуманные нами слова, знаки — это «заменители» названий, обозначений чисел. И мы могли бы ими пользоваться точно так же, как соответствующим названием и обозначением числа. Рассмотрение разных способов обозначения результатов количественного сравнения (в том числе и приводящего к появлению числа), их сопоставление, обсуждение достоинств и недостатков, обнаружение этих достоинств и недостатков при попытках использовать придуманные детьми обозначения чисел создают ту атмосферу осознания единства и различий смысла и знака, означаемого и означающего, которая в дальнейшем позволяет обсуждать и другие проблемы познания, проблемы хранения и передачи знания одним человеком другому, одним поколением другому. 
1.3 Методика изучения числа в концентре «Сотня»

 

В концентре "Сотня" изучаются следующие вопросы: нумерация чисел, сложение и вычитание, умножение и деление. Эти вопросы выделяются в особый концентр по следующим причинам:

- учащиеся знакомятся  с новой счетной единицей - десятком  и новым понятием - понятием разряда;

- учащиеся овладевают  приемами устных и письменных  вычислений на основе свойства  арифметических действий, связи  между их компонентами и результатом;

- учащиеся усваивают таблицы  сложения и умножения и соответствующие  случаи обратных действий - вычитания  и деления;

- вводятся составные задачи  и продолжается работа над  простыми задачами;

- изучаются математические  выражения, продолжается изучение  геометрического материала.

В результате изучения нумерации в пределах 100, учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

- научиться считать предметы  десятками и усвоить образование, название двузначных чисел;

- усвоить порядок следования  чисел при счете, используя предшествующее  и последующее число;

- уметь сравнивать числа, опираясь на их место в натуральной  последовательности, а также на  десятичный состав чисел;

- уметь читать и записывать  числа в пределах 100.

Нумерация в концентра "Сотня" изучается в два этапа: 1) устная нумерация; 2) письменная нумерация.

Подготовительной работой к изучению нумерации в пределах 10 является повторение нумерации в пределах 10: образование числа (присчитывание и отсчитывание по 1), последовательность чисел от 1 до 10, прямой и обратный счет. Каждый раз учитель говорит: эти же приемы мы будем использовать при изучении нумерации чисел больше 10, но там вместо единиц мы будем употреблять десятки.

Изучение устной нумерации в пределах 100 начинается с формирования у учащихся понятия о десятке. Предлагается отсчитать десять палочек и завязать их в пучок. Можно сказать "десять", "десяток" - т.е. десять единиц образуют десяток. Отсчитав по 10 палочек, мы получим еще 1 десяток и будет 2 десятка и т.д. Практически выясняем, что эти десятки можно сложить и вычитать как простые единицы.

После ознакомления с понятием "десяток", повторяем основные упражнения по образованию чисел в пределах 10 и то же самое проделываем используя термин "десяток": считаем 1 десяток, 2 десятка, ... и наоборот, выясняем: к 1 десятку прибавим 3 десятка, получим 4 десятка; из 7 десятков вычитаем 2 десятка, получим 5 десятков и т.д. Учащиеся должны понять, что при изучении

нумерации принципы и приемы работы с числами переходят из одного концентра в другое.

При изучении образования чисел от 11 до 20 из десятков и единиц может быть проведена такая практическая работа с дидактическим материалом: отсчитайте10 палочек, как сказать иначе, сколько у вас палочек? (1 десяток.) Завяжите палочки в пучок. Положите 1 палочку на десяток палочек. Сколько стало всего палочек? (Один – на - дцать.) Сколько здесь десятков палочек? Возьмите десяток в левую руку и покажите. Покажите, сколько еще есть отдельных палочек. Значит, сколько десятков и единиц содержится в числе 11? Положите на десяток еще 1 палочку. Сколько палочек лежит на десятке? (Две.) Сколько всего палочек? Сколько десятков и сколько от дельных палочек? Сколько единиц и сколько десятков в числе "две – на - дцать"? Вместо палочек можно работать с полосками (рис.1.3.1)

Рисунок 1.3.1 – Изучение разрядов в сотне

Аналогично рассматриваются следующие числа второго десятка, после чего надо обратить внимание детей на то, что в названиях чисел от 11 до 19 первая часть слова обозначает число единиц, а в числе 20 первая часть слова обозначает число десятков.

Для закрепления устной нумерации учитель подбирает такие упражнения:

1) Отсчитайте 14 палочек, покажите  сколько десятков и сколько  единиц.

2) У меня в руках 1 десяток  палочек и 8 отдельных палочек. Каким  числом вы это назовете?

3) Положите 12 палочек, передвигайте  по одной палочке и называйте, сколько палочек стало.