Сұйықтар мен газдар механикасы

.

Ағын қимасының ауданы мен жылдамдығының көбейтіндісін сұйықтың немесе газдың элементарлы шығыны деп атайды.

м3сек,                                 (3.4)

мұндағы U – сұйықтың жергілікті жылдамдығы, м; - элементарлы көлем.

Белгілі уақыт ішінде сұйық қимасынан ағып өтетін сұйық массасын:

                     (3.5)

формуласымен есептейді.

Ал қима ауданы ағыншалар қималарының жиынтығына тең болады:

              (3.6)

Сұйықтың шығыны  (Q) деп барлық элементарлы ағыншалардың жиынтығын айтады:

Q  (3.7)

Сұйықтың массалық шығыны (m) – олардың әрбір элементарлы ағыншаларының массалық шығынының жиынтығына тең болады:

mm (3.8)

ылғалданған периметр () – сұйықтың көлденең қимасы периметрінің қатты қабырғамен жұғысқан жері. Мысалы, дөңгелек құбырдың толық қимасымен сұйықтың аққан кездегі ылғалданған периметрі құбыр шеңберінің  ұзындығына тең, яғни

Гидравикалық радиус (R) – құбырдың көлденең қимасы ауданының ылғалданған периметрінің қатынасына тең:

R .                                                 (3.9)

мысалы, құбырдағы сұйықтың толық қимасымен аққандағы гидравликалық радиус оның диаметрінің төрттен біріне тең:

R .

Сұйық ағынның орташа жылдамдығы сұйық шығыны қима ауданының қатынасына тең болады:

 

бұдан     

                                      (3.91)

 

         3.3  Сұйықтың үздіксіздік –  дифференциалды теңдеуі

Үздіксіз ағымдар деп ағысы үзілмей, арна кеңістігін толық толтырып ағатын ағындарды айтады. Бұл жағдайда қозғалыстағы сығылмайтын сұйық шамасының сандық уақыт аралығында өзгермейді (не үлкейтіп,не кішірейтпейді).Элементарлы параллелепипедтің қырынан (жанына)ағып өтетін сұйық массасын қарастырамыз(3.16 – сурет)  

 

 

 

                                                                  х

 

 

3.16 – сурет. Сұйықтың үздіксіздік – диференциалды теңдеуін дәлелдеу

Параллелепипедтің сол жақ қырынан ағып кіретін сұйықтың жылдамдығын  , ал оң жақ қырынан ағып шығатын жылдамдығын

                                           (            

деп белгілейді.

Ағын ішінен x, y, z координатты нүктені таңдап алып, нүктесіндегі сұйық ағынының жылдамдығын құраушы - y осі бойымен осі бойымен өтеді. Параллелепипедтің элементарлы ауданшасының нүктесіндегі уақыт аралығын  (dt) белгілейді. Сонымен, параллелепипедтің ішіне (dt) сұйық массасы ағып кіреді. Параллелепипедтің сол жақ қырыан нүктесінен dt уақыт аралығында dydz көлемінен нүктесіне жетеді де, x координатасында болады, ал ағып шыққан сұйық массасының көлемін былай табады

dydxdzdt( dxdydzdt.                                                                (3.10)

Демек, сұйық аққан кезде құраушы жылдамдығы Ux – o нүктесіндегі параллелепипедтің сұйық массасы dxdydzdt, ал оның ауданы

( dxdydz( dxdydzdt. 

Шамасына өзгереді. Паралеллепипедтің басқа қырынан    dxdydz көлемді. Сұйық осыған ұқсас өзгереді, оны былай табады.

   (dxdydzdt( dxdydzdt.                                                (3.11) 

Сұйық массасының өзгеруі жиынтығын (суммасы)  белгілеген   dxdydz ауданын

( ( ()       арқылы табады.

   Сұйық ауданының  тығыздығы dxdydz ауданымен шектелген dt өзгеруі мүмкін, ол оның массасы осы ауданда dt уақыт аралығында

              dxdydzdt( ( ()dxdydzdt         болады.

Dxdydz шамасы теңдеудің  екі жағында да бар, оны есептемесек, белгілі нүктедегі ағынның тоқтаусыз  ағу шарты бойынша 

 

                                             (3.12) 

                               

Бұл теңдеуді гидромеханикада сұйықтың үздіксіз ағу теідеуі деп аталады.

Егер ағын қалыптасқан қозғалыс түрінде болса , онда теңдеу(1.70) былай жазылады.

                                                                       (3.

Егер сұйық сығылмайтын болса, яғни онда

                                                                                  (3.)

(3.70) теңдеуді сұйықтың  үзілмеушілігінің диференциалды  формадағы сығылмайтын, өз бетімен  аққан суға арналған теңдеуі  деп атайды.(Л.Эйлер Сығылмайтын сұйықтың потенциалды қозғалысы үшін, функция потенциалды жылдамдығы дейді, жеке туындылардың (производный) координатадағы осі тең болады, олардың сәйкестелген жылдамдық проекциясына

 

                   Ux; Uy Uz                    келеді.

Осыған қарағанда үздіксіз ағу теңдеуін (3.70) былай жазады:

                                                                                      (3.13)

Бұл теңдеуді (3.13) Лаплас теңдеуі деп аталады.

Сұйық ағындағы көлденең қималар 1-1, 2-2, 3-3 (3.18 – сурет), бұлардың әрқайсысына мына теңдеу сәйкес келеді (3.). Барлық ағын қималарындағы онда

         .                                     (3.14)

 Бұл теңдеу сығылмайтын  сұйықтағы үздіксіз ағу теңдеуіне  жатады.

 

3.4. Идеалды сұйықтың элементарлы ағыншасына арналған Бернулли теңдеуі

Идеалды сұйықтың қалыптасқан қозғалысындағы элементарлы ағыншасына массалы күштің немесе салмақ күшінің әсерін зерттейміз және сұйықтың қысымы мен жылдамдықтағы қозғалысының арасындағы байланысының негізгі теңдеуін шешеміз.

Ағынды құраушы бір ағыншалы түтікшені алып (3.18 - сурет),оның 1- 1 және 2 – 2 қимасына сәйкес геометриялық биіктігіндегі элементарлы аудандарын d және салыстырмалы жазықтан 0 – 0 қимасының орталық салмақ нүктесіне дейінгі (dG) әр қиманың аралығына дейінгісін деп белгілейміз.

Dt уақыт аралығында ағыншаның учаскесін қима 1 – 1-ден 2 – 2- ден аралығында (d dсыртқы күштің әсерінен жылжып жетеді.Осы ағынша учаскесіне механикалық теориасын пайдалана отырып, жұмыс атқаратын күштің дене тигізетін әсерін кинетикалық энергияның кинетикалық энергиясының  өзгеруінің жұмыс істеуін есептейміз.

I –қимадағы қысым күшінің жұмысыddt;

    II – қиманың қысым күшінің жұмысы теріс бағытта болады (минус) - ddt   болса, онда сыртқы қысым күштерінің толық жұмысы болады.

ddt - ddt                                   (3.15)  

Салмақ күші жұмысының әсері потенциалды энергияның өзгеруіне әкеп соғады. 1-1 және 2 – 2 кесін дісінің  ауданы мен салмағы бір - біріне тең:

dG =                                        (3.16)

Сондықтан салмақ күшінің жұмысы оның биіктік айырмасы мен салмағының  көбейтіндісіне тең:

(                                                                      (3.17)

Қарастырылып отырған ағынша учаскесіндегі кинетикалық энергия ауданының қосымша осі мен dt уақыт аралығындағысын  есептеп табу үшін 1 – 2 кесіндісі ауданының  кинетикалық энергиясын алып тастау керек. Сонда 2 -, 1 -  кесіндісі ауданының кинетикалық энергиясының айырмасы ғана қалады. Сонымен, кинетикалық энергияның қосымша осін есептейміз.

( - ).    (3.18)

Қысым күші жұмысының  формуласын (3.15) салмақ күші жұмысының формуласымен (3.16) қосып, бұлардың кинеоикалық энергиясының қосымша осімен (3.18) теңестіріп табамыз:

ddt - ddt (( - ).              (3.19)

      Бұл теңдеуді  (3.18) салмақ күшінің  жұмысына (3.16) бөліп, қалғанын қысқартып табамыз:

                                                     (3.20)

Шығарамыз.

Бұл теңдеуді қысылмайтын идеалды сұйыққа арналған Бернулли теңдеуі деп аталады.

Бернули теңдеуі мүшелерінің тікелей өлшемін былай түсіндіреді:

Z – нивелирлік  биіктік немесе геометриялық тегеурін;пьезометрлік биіктік немесе пьезометрлік тегеурін; –жылдамдық биіктігі немесе жылдамдық тегеуріні; zтолық тегеурін.

Пьезометрлік биіктіктің өзгеру сызығын пьезометрлік сызық деп аталады.

Ағынның бойындағы үш биіктіктің (салыстырмалы жазықтан) өзгеруі 3.19 –суретте көрсетілген.

Енді Бернулли теңдеуінің энергетикалық массасын қарастырамыз. Сұйықтың меншікті энергиясын салмақ бірлігіне жатқызсақ,

e

мұндағыE –кинетикалық энергия; G – салмақ күші; z – меншікті энегияның биіктік жағдайы, сұйық бөлшегінің салмағы биіктіктегі энергияның салмақ бірлігіне қатынасы;

 

z

мұндағы – сұйық қозғалысының меншікті энергиясының қысымы; – сұйықтың меншікті кинетикалық энергиясы;z  - меншікті потенциалды энергия; Hzсұйық қозғалысының толық меншікті энергиясы немесе толық  гидродинамикалық тегеурін.

Беренулли теңдеуінің энергетикалық мағынасы табиғаттағы энергияның сақталу заңын көрсетеді:

z

Сонымен, Бернулли теңдеуі потенциалды(z) және кинетикалық () меншікті кинетикалық энергиялардың  қосындысынан тұрады.

 

3.5. Сұйықтың нақтылы  ағынына арналған Бернулли теңдеуі

Идеалды сұйықтың элементарлы ағыншасынан нақтылы (Ньютон сұйықтары) сұйық өту кезеңінде, қимадағы жылдамдық таралуының біркелкі еместігін еске алу қажет, сонымен қатар энергияның жол-жөнекей тегеурінінің жоғалу оның тұткырлығына байланысты болады. Тұтқырлы сұйықтықтың қатты арнамен ағу кезінде қабырғасы мен табанында жылдамдығы кемиді. Қарастырылып отырған әрбір нүктедегі гидростатикалық қысым бірдей тарады:

=const.

Сондықтан ағын қуаттылығы деген ұғым пайда болады. Ағын қуаттылығыдеп белгілі уақытта белгіленген қимадан сұйықтың ағып өтуінің толық энергиясын айтады.

Ағыншаның қуаттылығы дегеніміз сұйықтың толық меншікті энергиясының, сол нүктедегі элементарлы салмақ шығынының көбейтіндісіне тең, ол:

)                     (3.21)

 

Толық ағынның барлық қима ауданының (ω) қуаты

N=( немесе N=( +                    (3.22)

Сұйықтың орташа қимадағы толық меншікті энергиясының шамасын табу үшін ағынның толық қуатын салмақ шығынына бөлсек:

==           (3.23)

 

Соңғы мүшені көбейтіп және бөліп табамыз:

 

== · =                        (3.24)

 

мұндағы α- өлшемсіз немесе Кориолис коэффициенті, жылдамдықтың бөлініп таралуының айнымалылығын есептейді.

Егер формула (3.82) бөлшегінің алаымында және бөлімінде көбейтсек, α сол қимадағы ағынның нақтылы кинетикалық  энергияға қатысын көрсетеді  және қимадағы жылдамдықтың бір қалыпсыз таралуын бейнелейді:

 

=                                                 (3.25)

 

Сонымен ағынның нақтылы тұтқырлы сұйықта қимасы 2 деп алып, оның меншікті энергиясының орташа шамасын Hорт1 және Hорт 2 деп белгілеп табамыз.

 

                                                                       Н орт1=Норт 2+∑һV,(3.251)

 

мұндағы ∑һV— барлық меншікті энергиялардың қосындысы (3.20- сурет)

 

 

онда теңдеу (3.78)пайдалана отырып:

 

++=+++Ʃ                                                     (3,26)

 

 

Бұл формуланы тұтқырлы (Ньютонның) сұйыққа арналған Бернулли теңдеуі деп атайды.

Идеалды сұйықтың ағыншасына арналған Бернулли теңдеуі механика энергиясының сақталу заңын есепке алсақ, ағынның нақтылы сұйығына құрылған Бернулли теңдеуі —энергия балансының теңдеуі, бойындағы энергияның жоғалуын бірге есептегендегі шамасы

 

∑h=hүз+hжк.

 

Нақтылы сұйықтың қозғалу жағдайының көрсеткіштері үшін мынадай ұғым енгізіледі: геометриялық (i), пьезометрлік (in) және гидравликалық еңкіштіктер (J).

Сұйықтың ағыны бойындағы толық меншікті энергиясының орташа шамасының кемуінің оның ұзындық бірлігіне қатынасын гидравликалық еңкіштік деп атайды:

 

J==                                           (3.27)

 

Пьезометрлік сызықтағы потенциалды энергия айырмашылығының бірлік ұзындығына қатынасын пьезометрлік еңкіштік дейді:

 

==-                             (3.28)

 

мұндағы теріс таңба (-) қысымның ағында кемуін көрсетеді; (Z+P/Ƴ)- пьезометрлік (потенциалды) тегеурін.

Каналдың табан сызығының  деңгей айырмашылығының бірлік ұзындығына қатынасын геометриялық енкіштік деп атайды.

 

i==sin,

 

теңдеудегі α—канал табанының көкжиекке көлбеу бұрышы.

 

 

Бақылау сұрақтары

1. Гидродинамиканың зерттеу объектісі  және оның негізгі мақсаты.
2. Сұйықтың тұрақтылығын және тұрақталмаған қозғалысына анықтама беріңіз.
3. Сұйықтың бірқалыпты және бірқалыпсыз қозғалысы анықтамасы.
4. Қимыл,қима дегенді қалай түсінесіз және оның үш көрсеткішін (ауданы,ылғалданған периметрі және гидравикалық радиусы) түсіндіріп жазыңыз.
5. Су өтіміне және ағынның орташа жылдамдығына анықтама беріңіз, өлшем бірлігін атаңыз.
6. Ағыншалы сұйық туралы негізгі ұғымға анықтама беріңіз (сұйық бөлшектер, траектория, элементарлы ағыншаға, ток сызықтарына,ток құбыршаларына).
7. Элементарлы ағыншаның екі қасиетін түсіндіріңіз.
8. Сұйық ағыны дегеніміз не?
9. Су өтімі тұтқырлығының теңдеуін түсіндіріп жазыңыз.
10. Ағынның үзілмеушілігінің  маңызы неден тұрады?
11. Элементарлы ағыншаның  үздіксіз ағу теңдеуін түсіндіріңіз.
12. Сұйық ағынның энергиясы дегеніміз не?
13. Сұйық ағынына арналған Бернулли теңдеуін жазыңыз,ол нені көрсетеді және қалай оқылады? Оның физикалық мақсаты неде, мүшелерінің өлшемі қандай?
14. Гидродинамикалық тегеурін дегеніміз не?
15. Бернулли теңдеуінің  графикалық бейнеленуін сызып түсіндіріңіз  (пьезометрлік сызығын,тегеурін сызығын, бастапқы тегеурін сызығын).
16. Бернулли теңдеуінің практикада қолданылуы (Вентури су өлшеуіші,су ағыншалы сұйық сорғыш).
17. Пито түтікшесімен сұйықтың ағу жылдамдығын анықтаңыз.