Сұйықтар мен газдар механикасы

 

4-тарау. Сұйық  қозғалысы.

4.1. Сұйық қозғалысының  режимі. Рейнольдс саны.

 

Сұйық қозғалысының екі режимі бар екені бұрыннан белгілі: ламинарлы (латын сөзі «Laminar»-қабат),қозғалысы кезінде сұйық ағыны қабат-қабат болып аралас ағады және турбулентті (латын сөзі «turbulents»-тәртіпсіз ағу) қозғалыс кезіндегі сұйық бөлшектері тәртіпсіз қорытынды түрде араласып ағады. Табиғаттағы сұйықтың ламинарлы режим қозғалысы кезінде өте жоғары тұтқырлықта болады, олар: мұнай,мазут,майланатын материалдар,жерасты суларының топырақ кеуегіндегі қозғалысы.

Сұйықтың турбулентті қозғалысы өте аз тұтқырлы сұйықтықта кездеседі,(су,бензин,спирт) олар құбырда, каналда, өзенде ағады. Сұйық қозғалысы режимінің түрі оған түсіп тұрған күшке байланысты болады. Сұйық қозғалысы кезінде тұтқырлық ішкі үйкеліс күшіне байланысты болады. Егер сұйық қозғалысы кезінде тұтқырлық күші басым болса, онда ламинарлы режимде болады, ал егер инерция күші басым болса онда тубулентті режимді сұйық болады. Бұл жайлы орыс ғалымы Д.И.Менделеев 1880 жылы «Сұйықтың кедергісі туралы және әуеде ұшу» деген еңбегінде жазып қалдырған. Осы туралы ағылшын ғалымы О.Ренольдс 1883 жылы толық зерттеп, тәжірибені оңай қондырғымен дәлелдеген. Бак,әйнекті құбырша жалғасқан вентилі (3) арқылы құбыршадағы (2) сұйықтың жылдамдығын реттейді.

Ыдыстағысия (4) түтік (5) арқылы суды бояу ағады. Вентиль аз ашылса құбырша (2) жылдамдықпен ағады. Егер ағынға сияны ағысса онда құбыршадан боялған сұйық ағады. 4.21.-суреттегі сұйық қозғалысының режимі:2-әйнектен жасалған құбырша; 3-вентиль; 4-сия құйылған ыдыс; 5-түтік; а-ламинарлы;б-турбулетті режим.

Тәжірибеде сұйық жіп сияқты айналасындағы сұйықтықпен араласпай ағады. Мұндай ағын қозғалысын ламинарлы қозғалыс деп атайды. Егер вентиль көбірек ашылса,құбыршадағы сұйық ағынының жылдамдығы артады да жіп сияқты аққан сия бұзылып, диффузияға айналып, құбырша қимасымен толып ағады.Мұндай қозғалысты О.Рейнольдс турбулентті қозғалыс деп атайды.

О.Рейнольдстің тәжірибесі бойынша сұйық қозғалысының ламинарлы режимінен турбулентті режиміне белгілі бір жылдамдықтың кезінде өтуін ауыспалы кезең (критический) деп атайды.

Жүргізілген тәжірибеге қарағанда, жылдамдық шамасы тура пропорционалды болады, оның кинематикалық тұтқырлығынажәне трубканың диаметріне d кері пропорционалды болады:

=                       (4.1)

Бұл теңдеуді көбінесе былай жазады:

                            (4.2)

мұндағы шемсіз Рейнольдс саны.

Сұйықтың ламинарлы режим кезіндегі қозғалысы турбуленттік режимге ауысса, оны ауыспалы кезең деп атайды, таңбасымен белгілейді. Тәжірибиеде ламинарлы режимнен турбулентті режимге ауысу кезең санын (2320) анықтап тапқан. Егер де құбырдағы сұйықтың қозғалысы  Re<2320 болса-ламинарлы,ал Re>2320 болса – турбулентті қозғалыста болады.

Егер сұйық қозғалысы қысымсыз болса, Рейнольдс санын құбырдың диаметрінсіз, оның орнына гидравикалық радиустың мағынасын қою арқылы табады (R):

Re=                                                         (4.3)

Мұндағы  Re= , яғни сұйық қозғалысы қысымсыз болғанда, ауыспалы кезеңдегі Рейнольдс 4 есе кем болады.          Құбырдағы қозғалысымен салыстырғанда      =580. Сонымен, ағынның қысымсыз ағу кезінде Re<580 кем болса – ламинарлы режим,ал Re>580 артық блоса – турбулентті режим қозғалысы балады.

 

Цилиндрлі құбырдағы сұйықтың ламинарлы қозғалысының сұлбасын телескоп арқылы бейнелейді, яғни сұйық қозғалысы құбыр осіндегі сұйық қабатының шексіз, өте көп әрі жұқа орталықтанған бөлшектерінен құралады(4.22-сурет). Былайша айтқандай, цилиндрлі құбырдағы сұйықтың ламинарлы қозғалысы жылдамдығының қимадағы бөлініп таралуы парабола түрінде болады: құбыр қабырғасындағы сұйықтың жылдамдығы 0-ге тең, ал қабырғадан қашықтаған сайын оның жылдамдығы ақырындап өсе береді де, құбырдың осінде ең жоғарғы шегіне (максимально) жетеді. Қысымсыз ашық бетті ағындағы жылдамдықтың ламинарлық режиміндегі бөлініп таралуы 4.22, б-суретте көрсетілген.

Ағынның ламинарлы режиміндегі жылдамдығының қимадағы бөлініп таралу заңдылығын анықтаймыз. Ол үшін көлденең құбыр ішіндегі цилиндр сызық сұйық көлемін r радиусымен және ұзылдығы l (4.23 – сурет) және барлық әсер ететін күштерге тепе-теңдік жағдайындағысына теңдеу құрамыз:

()=-2                                              (4.4)

мұндағы()-1 және 2- қимадағы қысым күштерінің айырмасы

 

-2 

Бұл – цилиндрлі беттің жақтауына түсетін үйкеліс күші. Алдындағы теріс (минус) белгісі Ньютонның формуласындағы теріс бағытта (минус), неге десеңіз, ұлғайған сайын ондағы жылдамдық кемиді.

Сұйықтың бір қалыпты қозғалысының кезіндегі, ағын бойының барлық қимасының пішіні мен мөлшері бірдей болады, сонымен қатар қимадағы лайықты нүктелердегі жылдамдығы  да бірдей болады, жылдамдығы-тек қана оның бір функциясы:

du=-dr                                                   (4.5)

Гидравикалық еңкіштігімен есептесек: J== , бұдан dU=-dr болып шығады.

 

Құбыр қимасымен интегралдап r=r және r= теңестіреміз, сосын жылдамдықтың бөлініп таралу заңын табамыз:

U=

Орталық ағыны үшін r=0,

Құбырдан аққан сұйықтың шығынын былай есептейміз:

Q=

Q=

Осыдан орташа жылдамдықты теңдеуі арқылы шығарамыз, ал максималды және орташа жылдамдықтың қатынасы  сұйық қозғалысының турбулентті режимі  кезінде сұйық бөлшектері жүйесіз, бейберекет қозғалады. Бұл режимде сұйық бөлшектері  белгісіз траекториямен қозғалып, әр түрлі жылдамдықпен қозғала отырып, ағынның әр түрлі  нүктесінде шамасы да, сонымен қатар бағыты да өзгеріп отырады (оның орташа мағынасына қарағанда). Уақық аралығындағы лезде өзгеріп жергілікті жылдамдықты жылдамдық пульсациясы деп атайды. Уқыт аралығындағы орташа жылдамдығын, орташаланған жергілікті жылдамдықтың аналитикалық байланысын былай шығарады:

U=

Мұндағы  T-бақылау кезеңі.

Су құбыры ағынының орташаланған жылдамдығы, оның болініп таралуының тәжірибе түріндегі нұсқасы 2.24-суретте көрсетілген.

 

Суретте көрсетілгендей, ағын жылдамдығының бөлініп таралуы сұйықтың ламинарлы режимдегі қозғалысынан бөлек. Тек қана шекаралық қабатына құбырмен сұйықтың жұқа жерінде ламинарлы қабыршақтың өтер қабаты  ағын жылдамдығы ламинарлы  режим қозғалысында сондай өзгереді. Өтер аймақта құйынды ағыс пайда болады, ағынның жылдамдығы артуынан және қабырғаның кедір-бұдырлығының әсерінен:кедір-бұдырлығы ламинарлы қабыршақтан кем болса, онда құбыр қабырғасы гидравикалық жылтыр болады. Егер кедір-бұдырлығы ламинарлы қабыршақтан биік болса, қабырғаның кедір-бұдырлығынан сұйықтың бей-берекет қозғалысы артады да, қабырға гидравликалы кедір-бұдырлы болады. Шекара  қабатында пайда болатын  ағыс ағынның ортасына жетеді де, турбулентті ағыстың ядросын  құрады. Турбулетті ядродағы ағын ішінде тоқтаусыз және қарқынды түрде сұйық бөлшектері араласуымен болады да, қосымша кернеу күші пайда болады.

 

4.2.Сұйықтың бірқалыпты  қозғалысы кезіндегі тегеуріннің  жоғалуы (меншікті энергия)

Сұйықтың қозғалысы кезінде пайда болатын кедергіні гидравликалық кедергі деп атайды. Ағын кезінде кедергіні жеңуге кететін (қабырғадағы, каналдағы, сұйық арасындағы) меншікті энергияның бөлігін меншікті энергияның жоғалуы немесе тегеуріннің жоғалуы дейді.

     Бернулли теңдеуіндегі ағынның нақтылы сұйықтағы меншікті механикалық ағынының жолындағы кедергілерді жоюға жұмсалуын тегеурін деп атайды.

Ағын бойында кездесетін кедергілерді гидравликалық кедергілер деп атайды, олар мынадай екі түрге бөлінеді:

     -гидравликалық  ұзындықтағы кедергілер. Оған ағынның  ұзындығына байланысты өзгеретін  кедергілер жатады. Ұзындық кедергілеріне  сұйық бөлшектерінің арасындағы  өзара үйкеліс кедергілері кіреді. Бұл кедергілер ағынның ұзындығына  байланысты болады;

    - жергілікті кедергілер, олар ағынның кейбір жеке-жеке жерлерінде кездеседі де, өздігінен табиғи және жасанды болып бөлінеді. Табиғи жергілікті кедергілерге өзен арнасының кенеттен кеңейгендігі және кенеттен тартылған жерлері, каналдың айналма бұрылмасы жатады; жасанды жергілікті кедергілерге құбырдағы үйкеліс, ысырма,  вентиль, кран, диафрагма, т.с.с. ағынның белгілі бір жерінде ғана кездесетін әр түрлі құбыр жабдықтары жатады.

Гидравликалық кедергілердің түріне байланысты тегеурін шығындарын да екі түрге бөледі:

   А) ағынның кейбір  жеке-жеке жерлерінде кездесетін  тегеурін шығындары деп атайды  да, оны деп белгілейді. Бұл шығындар шамасы ағын ұзындығына байланысты болмай, тек жергілікті кедергілеріне байланысты өзгереді;

   Ә) ағын арнасының  ұзындығына қарай өсетін тегеурін  шығындарын ұзындық шығыны деп  атайды.

Сонымен, сұйық қозғалысы кезіндегі тегеуріннің жоғалуы барлық үйкелістерін жоғалтатын тегеурін ағын бойындағы гидравликалық кедергілерінің қосындысынан тұрады, яғни, толық тегеурін шығыны

                           = ∑+∑                                                     (4.6)

Болып өрнектеледі. Мұндағы ∑ – ағынның барлық учаскелеріндегі ұзындық шығындарының қосындысы;∑ – барлық жергілікті шығындардың қосындысы.

 

 

4.3. Сұйықтың бірқалыпты  қозғалысының негізгі теңдеуі

   Сұйықтың бірқалыпты  қозғалысы ағынның барлық бойындағы  қимасының пішінінде және оның  өлшемдеріне де, сонымен қатар  қималарындағы нүктелерінің жылдамдығына  да бірдей болады. Мысалы, сұйықтың бірқалыпты қозғалысына құбырдағы сұйықтың тұрақты шығынмен ағуы.

 

Суретте көрсетілгендей, ағынның бірқалыпты қозғалысы кезіндегі сұйық бөлшегінің барлық қималарындағы жылдамдығын бірдей деп аламыз.

Осылай алған кезде есепті шешу оңай болады, себебі тек құбыр қабырғасындағы үйкеліс кедергісін ғана есептеп, сұйық қозғалысы кезіндегі бөлшектерінің арасындағы үйкеліс кедергісін ескермейміз. Біз қарастырып отырған жағдайда, ағын бойындағы гидравликалық  кедергінің әсерінен тегеуріні жоғалады, яғни =. Екі қима үшін 1-1 және 2-2 ағын учаскесіне Бернулли теңдеуін жазамыз:

+ + + +                    (4.7)

Немесе жылдамдықтары бірдей болғандықтан

                               = ( + ) – ( + ),                                         (4.8)

Яғни ағынның бірқалыпты қозғалысы кезінде тегеуріннің ағын бойында жоғалуы меншікті потенциалды энергиясының айырмасына тең.

  Осы айырманы табу үшін, бөлініп алынған ағын бөлігіне (4.25-сурет) түсетін, сырттан әсер етуші күштерді ағын өсіне суммалы проекция күштерін құрамыз.

- Gcos – T = O                               (4.9)

Мұндағы және – 1-1 және 2-2 қимасындағы күштер; G- бөлініп алынған ағынның салмақ күші; Т-ағынның құбыр қабырғасына немесе арнасына түсетінүйкеліс күші.

     Теңдеуді орнына  қойып, шешеміз:

  (4.10)

Табылған теңдеуді   бөліп, табамыз:

()- () =                                                                                   (4.11)

 

Теңдеудің сол жағы тең, онда:

 

                                                                                       (4.12)

Бұл теңдеу – сұйықтың бірқалыпты қозғалысының негізгі теңдеуі болып табылады.

 

4.4. Канал бойындағы  тегеуріннің жоғалуы

 

     Арнаның дөңгелек қимасындағы r0=d/2 және

                                   J=P1-P2/(4.13)

мағыналардан  орташа жылдамдық формуласына қойып,

 (4.15)

табамыз.

Осы теңдеудегі J арқылы шешеміз:

              J=32.                                                                           (4.16)

Табылған теңдеудің сол жағы,құбырдағы тегеуріннің жоғалуы  1-2 және 2-2 қимадағы

           h                                                                              (4.17)

болады.

Теңдеудің бөлімін және алымын ( –ге көбейтіп,сосын алмастырып табамыз:

          h.                                                                           (4.18)

және  алмастыру арқылы шешеміз:

                      h.                                                                            (4.19)

Бұл формула сұйықтың ламинарлы режимдегі қозғалысында тегеуріннің жоғалуын анықтауға арналған.

Мұндағы 64/Re=λайырбастасақ,Вейсбах-Дарсидың формуласын қолданамыз,онда:

              h.      (4.20)                                                                болып шығады. Мұндағы  *–ағын бойындағы гидравликалық үйкеліс коэффиценті. Сұйықтың ламинарлы режим қозғалысы үшін

                               *=(4.21)

қолданылады.

 

4.5. Канал арнасының  әр түрлі пішіндегі қимасының   көрсеткіштері

 

Әр түрлі формадағы каналдың бойындағы тегеуріннің жоғалуын,сұйықтың бірқалыпты қозғалысының теңдеуі арқылы табады. Ол үшін, Шезидің ұсынысы бойынша, шамасы жылдамдық квадратына пропорционалды деп алу керек.

(4.22)

немесе

 

мұндағы –коэффицентінің пропорционалдылығы. Бұл формуланы (11)жылдамдығы арқылы шешсек, онда:

(4.24)

Мұндағы J=h-гидравликалық еңістік. Бұл формула Шези коэффиценті деп аталады. Шези коэффицентінің өлшемі-M1/2/C. Шези формуласы су құрылыстарының гидравликалық есептеулерін,сұйықтың қысымсыз қозғалысын шешуге арналған.

Ал, негізінен, практикалық жағдайда С коэффицентінің өлшемсіз болуы өте ыңғайлы, сондықтан пайдалануға мынадай формула ұсынылады:

                                        C=(4.25)

мұндағы *-ұзындықтағы гидравликалық үйкеліс коэффиценті, Формулаға ұсынылған алмастырушыны қойып табамыз:

.                                              (4.26)

Дөңгелек құбырдың қимасы үшін 4R=d . Қажетті алмастыруларын  қойып,белгілі Вейсбах-Дарси формуласын табамыз. Оны Никурадзе кестесі бойынша анықтайды. Бұл кесте үшке бөлінеді:бірінші зона-ламинарлық режим зонасы бойынша құрылған түзу сызықтан тұрады, оның кедір-бұдырлығы әр түрлі құбырлар үшін анықталған, сызықтарының бәрі де I жән II түзу сызық бойымен өтеді. Бұл зона туралы қорытындыласақ: a)Рейнольдс санының шамасы Re<2320(lgRe<3.36); ә)тегеурін шығыны құбырдың кедір-бұдырлығына емес, оның Рейнольдс снына байланысты өзгереді;  б)тегеурін шығындары бірінші жылдамдыққа тура пропорционал  болып өседі ;және (*= ) ;в)үйкеліс коэффиценті  *=формуласымен анықталады