Метод компании аналога

                   (4.5)

__iw_i= 0, __i e 0, w_i e 0, i =1,2 …, n.                                                           (4.6)

 - значение доходности i-ой ценной бумаги (актива) за рассматриваемой период времени, а P_iиP _i+1 – рыночные цены акций (активов) в период i и i +1.       (4.7)

E( r_i) _.= - среднее значение доходности i-ой акции (актива) за n периодов.   (4.8)

- значение ковариации между i-ой и  j-ой  ценными бумагами.                                                                                                                         (4.9)

E( r_{i год}) = E( r_{i мес.}) x 12– годовое значение доходности i-ой акции.                     (4.10)

Г _{ij год.} = Г _ijмес x 12 – годовое значение доходности ковариации между i-ой и  j-ой  ценными бумагами.                                                   (4.11)

Так как r (›) = n, а среди чисел , , , …,   имеются несовпадающие, к системе линейных уравнений можно применить метод Гаусса (последовательного исключения), который можно описать ниже следующим образом:

Пусть дана система

, в матричном виде  АХ=В

                    (4.12)

Если  , а также ведущие элементы  i = 2, 3, …, n, остальных строк, получаемые в процессе вычислений, отличны от нуля, то выше отмеченная система приводится к треугольному виду:

                                                                    (4.13)

и может быть записана в  матричном виде U X = Y , где U - верхняя  треугольная матрица. После построения матриц U и Y можно использовать обратную подстановку, чтобы решить систему UX=Y для Y.

                   (4.14)

Ведущие элементы  и коэффициенты системы находятся с помощью ниже следующих формул

,                                 (4.15)

где: k+1_ j _ n+1, k+1 _ i _ n+1, k =1,2…,n.

Обратный ход можно  совершить иначе, если обратить в  нуль и все коэффициенты, лежащие  выше главной диагонали. Например, элементы k-го столбца обращаются в нуль, если  умножить на и сложить с соответствующей строкой. Аналогично обращаются в нуль и все остальные столбцы. Если, кроме того, разделить затем каждое уравнение на соответствующий элемент, стоящий на главной диагонали, то матрица системы становится единичной.

Таким образом, после ряда последовательных преобразований методом  последовательных исключений (метод  Гаусса) получаем систему в виде таблицы №10.

Таблица системы уравнений (4.6) (матричная  форма) после преобразования по методу Гаусса в общем виде.

(Таблица №10)

w1	w2	…	wn	l1	l2	_1	_2	…	_n
1	0	…	0	0	0	C11	C12	…	C1n
0	1	…	0	0	0	C21	C22	…	C2n
…	…	…	…	….	…	…	…	…	…
0	0	…	1	0	0	Cn1	Cn2	…	Cnn
0	0	…	0	1	0	Cn+1,1	Cn+1,2	…	Cn+1,n
0	0	….	0	0	1	Cn+2,1	Cn+2,n	…	Cn+2,n

Поскольку на неизвестные l₁ и l₂ нет никаких ограничений, можно вычеркнуть два столбца, соответствующие этим значениям, и последние две строи. Получим систему линейных уравнений, записанную в ниже следующей таблице:

(Таблица №11)

w1	w2	…	wn	_1	_2	…	_n
1	0	…	0	C11	C12	…	C1n
0	1	…	0	C21	C22	…	C2n
…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	…	1	Cn1	Cn2	…	Cnn

Согласно теоремы Каруша-Джона , в точке локального минимума функция  достигает условный экстремум на множестве, в качестве которого выступают условия (4.3). При этом сама функция и ограничения дифференцируемы точке локального экстремума.  Тогда существуют такие множители Лагранжа, при которых выполняются условия для отмеченного ограничения:  __iw_i= 0, j =1,..n. Равенство __iw_i= 0, j=1,..n принято называть условиями дополняющей нежёсткости или условием комплиментарности, которое говорит о том, что недействующие ограничения имеют нулевой множитель.

Следовательно, учитывая, что __iиw_iявляются точками локального экстремума, то решения заданной системы уравнений должны удовлетворять условиям (4.6).

Таблица рыночных цен акций компаний-аналогов на Нью-wоркской фондовой бирже (NYSE), доллары США.

В ниже следующей таблице  приводятся рыночные значения акций  американских металлургических компаний аналогов, котирующихся в Нью-wорской фондовой бирже (NYSE).

(Таблица №12)

№ п/п	Дата	GERDAU	NUE	NX	SCHN	TONS
1.	Ноябрь 2003 г.	16,49	56,11	39,53	54,22	8,41
2.	Декабрь 2003 г.	20,22	56,00	46,10	60,5	13,49
3.	Январь 2004 г.	20,92	56,31	44,72	44,95	14,85
4.	Февраль 2004 г.	21,61	62,90	46,55	48,29	16,25
5.	Март 2004 г.	23,30	61,48	42,49	31,88	21,74
6.	Апрель 2004 г.	21,02	59,40	40,80	26,27	18,02
7.	Май 2004 г.	10,62	65,85	44,55	27,66	20
8.	Июнь 2004 г.	12,12	76,76	48,70	33,96	25,22
9.	Июль 2004 г.	14,22	83,65	45,50	30,93	23,74
10.	Август 2004 г.	16,45	78,29	46,08	28,1	24,15
11.	Сентябрь 2004 г.	16,35	91,37	51,28	32,35	23,82
12.	Октябрь 2004 г.	14,76	42,23	50,70	28,25	22,55
13.	Ноябрь 2004 г.	16,07	42,88	50,66	28,50	22,79

Далее подставляя значения формул (4.7) – (4.11), на основе которых  рассчитываются доходности акций и  значения их ковариаций в систему  уравнений (4.5) и запишем систему (4.5) в матричной форме в виде таблицы №13.                                  

Таблица системы уравнений (4.5) (матричная  форма) после преобразования по методу Гаусса исходных значений.

(Таблица №13)

w1	w2	w3	w4	w5	l1	l2	_1	_2	_3	_4	_5	Свободные  члены	Базисные  перемен-ные.
0,802	0,066	-0,024	0,015	0,287	1,000	0,161	-1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	l1
0,066	0,768	0,102	0,312	0,166	1,000	-0,007	0,000	-1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	l2
-0,024	0,102	0,134	0,253	0,174	1,000	0,310	0,000	0,000	-1,000	0,000	0,000	0,000	_1
0,015	0,312	0,253	0,703	0,173	1,000	-0,500	0,000	0,000	0,000	-1,000	0,000	0,000	_2
0,287	0,166	0,174	0,173	0,973	1,000	1,340	0,000	0,000	0,000	0,000	-1,000	0,000	_3
1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	1,000	_4
0,161	-0,007	0,310	-0,500	1,340	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,200	_5

Таким образом, после ряда преобразований методом последовательных исключений (метод Гаусса), алгоритм которого представлен выше в последовательности формул (4.11) – (4.15), получаем систему, представленную в виде таблицы №14.

Таблица системы уравнений (4.4) (матричная  форма) после преобразования по методу Гаусса.

(Таблица №14)

w1	w2	w3	w4	w5	l1	l2	_1	_2	_3	_4	_5	Свободные  члены	Базисные  переменные.
1	0	0	0	0	0	0	-1,025	0,238	0,436	0,239	0,113	0,210	-1,025
0	1	0	0	0	0	0	0,238	-1,531	0,722	0,564	0,007	0,083	0,238
0	0	1	0	0	0	0	0,436	0,722	-5,848	2,467	2,223	1,232	0,436
0	0	0	1	0	0	0	0,239	0,564	2,467	-1,947	-1,322	-0,265	0,239
0	0	0	0	1	0	0	0,113	0,007	2,223	-1,322	-1,020	-0,259	0,113
0	0	0	0	0	1	0	-0,252	-0,090	-1,129	0,131	0,339	-0,077	-0,252
0	0	0	0	0	0	1	0,209	0,034	-0,515	0,673	-0,401	0,065	0,209