Основы моделирования динамических процессов ПТМ

Второй способ получения критериев подобия заключается в приведении уравнений, описывающих процесс механического разрушения грунта, к безразмерному виду. Анализ системы дифференциальных уравнений дает возможность использовать для вывода критериев подобия один из трех способов, получивших наибольшее распространение: подобных преобразований; интегральных аналогов; приведения уравнений к безразмерному виду.

Анализ размерностей позволяет отыскать критерии подобия, основываясь на общих законах, на которых построена система единиц измерения величин. Преимущество заключается в возможности получения критериев подобия без знания математической зависимости между физическими величинами изучаемого процесса. Однако в ряде случаев такой метод может привести к ошибочным результатам, если неправильно определено число и вид величин, характеризующих процесс. При математическом моделировании применяют метод анализа уравнений, так как в этом случае уравнения известны. При физическом моделировании можно использовать оба метода.

Допустим, что для систем, изображенных на рис. 1.5, значения слагаемых уравнения определяются следующим образом:

Общее количество физических величин, характеризующих процессы, протекающие в системах, равно пяти: М — масса; с—жесткость; х - - линейный размер; l — время; W - сопротивление.

Для рассматриваемой системы  число независимых единиц измерения равно трем (например, для величин Р, l, t, т — 3). Применяй π-теорему, находят число критериев k — п — т — 5 — 3 — 2. Так как размерности всех п физических величин известны, то, составив из них два (так как п — т. — 2) безразмерных комплекса, получают критерии подобия без написания функциональной зависимости. Критермальное уравнение имеет вид П₁= φ(П₂).

Порядок составления безразмерных комплексов критериев подобия методом анализа размерностей [1] следующий: 1) составляют перечень параметров, определяющих процесс (М, с, I, U W и т. д.); 2) устанавливают формулы размерностей каждого из параметров; 3) заменяют в формулах основные единицы измерения соответствующими физическими величинами: М=Wt²/l, с=Wl и т.д.; 4) делят соответствующую величину на полученные выражения и получают искомые критерии подобия: П₁₌ Ml/(Wt²/l); П₂= cl/W т. д.; 5) составляют критериальное уравнение: П₁= φ(П₂).

Анализ уравнений позволяет получить критерии подобия на основании положения, что у подобных явлений описывающие их уравнения тождественно равны. Полагая, что для систем, приведенных на рис. 1.5, справедливы уравнения получаем для каждой системы:

Так как процессы в оригинале  и модели подобны, то отношения всех характеризующих их величин должны выражаться с помощью масштабов подобия:

Введя выражение k_w, k_t в уравнение для модели и разделив все члены уравнения на k_w, kW_M: получают уравнение в безразмерной форме записи:

Тождественность полученных уравнений следует из  равенства индикаторов подобия  единице.

Из совместного анализа  выражений получают:

Метод интегральных аналогов заключается в следующем:

1) уравнение приводят к безразмерному виду делением всех членов на один из них.

2) опускают знаки дифференцирования  и интегрирования, а знаки соотношения между членами заменяют на знаки пропорциональности.

3) полученные безразмерные комплексы,  составленные из переменных величин и параметров, являются критериями подобия.

4) для лучшего выявления физического  смысла критериев делят и умножают некоторые из них друг на друга или па одну и ту же величину.

5) записывают один из критериев  как функцию п — т критериев, получая критериальное уравнение.

Пример:

Основным исследуемым параметром является вертикальная деформация кранового  моста  , которая зависит от ряда параметров, основными из которых являются:

- приведенная масса металлоконструкции кранового моста;

- масса крановой тележки;

- жесткость металлоконструкции  кранового моста;

- жесткость каната;

- коэффициент демпфирования металлоконструкции кранового моста;

- коэффициент демпфирования  каната;

- изменение координаты каната  привода механизма подъема груза.

В связи с этим можно записать:

.

Определение критериев подобия выполнено методом интегральных аналогов.

Как известно, одним из способов описания процесса подъема груза есть использование дифференциальных уравнений второго порядка:

.

Приведем уравнение к безразмерному  виду делением на одно из составляющих ( ):

.

Опуская знаки дифференцирования, и заменяя знаки соотношения  между составляющими на знаки  пропорциональности, после соответствующих  арифметических преобразований получим

~ ~ ~ ~ 1.

Полученные безразмерные комплексы, составленные из переменных величин и параметров, являются критериями подобия:

; ; ; .

Согласно третьей теореме подобия, необходимым и достаточным условием подобия двух объектов есть равенство определяющих критериев подобия:

; ; ; .

 

Условия моделирования  металлоконструкций

и технология изготовления моделей

 

Качество дорожно-строительных машин, построенных с учетом реализации научно-технических достижений, а также машин традиционного типа во многом определяется совершенством металлоконструкций машин. Разработка и развитие методов расчета на базе математического моделирования и реализации машинных программ на ЭBM открывают широкие перспективы совершенствования металлоконструкций и методов их расчета и проектирования. Однако экспериментальное исследование металлоконструкций и отдельных узлов, включая важный этап проверки полученных машинных решений до изготовления опытного образца машины натуральных размеров, представляет группу задач, имеющих большое научное и практическое значение. Число работ, содержащих анализ подобия или использующих результаты этого анализа при расчетах прочности, велико. Известны многочисленные примеры и систематизированные данные но использованию моделирования при комплексном исследовании металлоконструкций мощных гидротурбин и тяжелых прессов, динамической прочности судового оборудования, прочности металлургических машин, металлоконструкций сельскохозяйственных машин и др. Эти исследования явились основой для разработки методов физического моделирования металлоконструкций дорожно-строительных машин.

Условия подобия  работы металлоконструкции при изучении ее напряженного состояния следует находить с использованием дополнительного положения о подобии сложных систем. Металлоконструкцию рассматривают как совокупность отдельных подсистем (балки, стержни, соединения, обшивка, сосредоточенные массы и упругие опоры). Из уравнений напряженного состояния металлоконструкции следует система инвариантов, включающая ряд безразмерных комбинаций, определяющих механическое подобие упругих тел, в форме критериев динамического подобия:

Если объемными силами являются силы тяжести (наличие ускорения свободного падения g) и силы, вызванные неравномерным перемещением тел (наличие ускорения а), а поверхностными — сосредоточенные внешние нагрузки Р, то критерии динамического подобия принимают  вид:

 

Условия перехода от параметров модели к параметрам оригинала

Параметр	Масштаб	Формула перехода
Линейный размер
Масса
Жесткость
Нагрузка
Время
Скорость
Ускорение
Материал	-
Перемещение

Определяющими критериями в этом случае будут

Исследование работы металлоконструкций на моделях

 

При моделировании наибольшее влияние на изменение условий трения в элементах разъемных соединений и последующее перераспределение напряжений оказывает различие материалов модели и натурного образца. Различие напряжений для отдельных элементов пластмассовой и металлической моделей траверсы пресса составляет от 20 до 250%.

Тензодатчики сопротивления с  узкой решеткой целесообразно использовать как наиболее эффективные для замера напряжений в несущих элементах конструкций моделей. Необходимы тензодатчики с шириной решетки и базой, значения которых близки в масштабе изготовления модели к тензодатчикам, используемым при испытаниях реальных образцов. Важно при этом обеспечить подобие ширины датчиков.

 

2 Упругие колебания. Общие положения

 

Классификация механических колебаний

 

Все колебательные процессы, с которыми приходится встречаться в физике и технике, можно классифицировать в соответствии с законом, по которому величина, характеризующая колебательный процесс, изменяется во времени. Такую классификацию можно назвать кинематической в широком смысле этого слова. Колебания могут быть периодическими и непериодическими. Кроме того, имеется широкий промежуточный класс так называемых почти периодических колебаний.

Периодические колебания описываются  периодической функцией, значение которой повторяется через определенный отрезок времени Т, называемый периодом колебаний, т.е.

при любом значении переменной t.

Непериодическими  называются функции, не удовлетворяющие указанному условию.

Почти периодические функции определяются условием

при любом  , где и – определенные постоянные величины. Очевидно, что если ε очень мало по сравнению со средним значением модуля функции за время , то почти периодическая функция будет близка к периодической, в которой будет почти периодом.

К наиболее распространенным периодическим  колебаниям относятся гармонические колебания,

Непериодические колебания гораздо  разнообразнее периодических. Такие  колебания чаще всего являются затухающими (рис. 2.1, а) или нарастающими (рис. 2.1, б) гармоническими колебаниями. Затухающие колебания математически могут быть представлены выражением

,    (2.1)

где , , и – постоянные величины; – время.

 

Рисунок 2.1 – Развертки затухающих (а) и нарастающих (б) колебаний

 

Нарастающие гармонические колебания  математически описываются аналогично (2.1), только знак при должен быть заменен на противоположный (плюс).

Строго говоря, название «затухающие  гармонические колебания» не совсем логично, так как гармонические колебания не могут затухать, Тем не менее на практике этим названием пользуются.

Классификация колебательных  процессов по внешним признакам не является достаточной, а потому она должна быть дополнена классификацией колебаний по основным физическим признакам рассматриваемых колебательных систем.

При исследовании колебательных  движений упругих систем важно знать, какое число независимых параметров определяет положение системы в каждый данный момент времени. Число таких параметров называется числом степеней свободы.

В простейших случаях  положение системы может быть определено одной величиной, Такие  системы называются системами с одной степенью свободы. Колебательная система, состоящая из груза , подвешенного на пружине (рис. 2.2), будучи устроена так, что возможны только вертикальные перемещения груза, является системой с одной степенью свободы. Ее положение в любой момент времени может быть определено одним параметром – перемещением по вертикали.